Flessione, taglio, torsione

Flessione semplice allo SLU

Ipotesi:

• Stress block per il calcestruzzo compresso.
• Elasto-plastico perfetto senza controllo per l’acciaio.
• Crisi per schiacciamento del calcestruzzo compresso.
• Armatura tesa snervata.

La normativa NTC 08 ci dà dei limiti per le sezioni inflesse.

Se mettiamo il minimo di armatura previsto, allora l’armatura sarà sicuramente snervata. Lo dimostreremo in un’altra lezione.

Semplice armatura

Verificata.

Doppia armatura

Ipotesi aggiuntiva: entrambe le armature snervate.

Altrimenti.

Dimostrazione flessione retta allo SLU

Completiamo quello che abbiamo iniziato la volta scorsa sulla flessione retta. Avevamo ottenuto una formuletta: 0,8 Xy = h (ω-ω’) = c.

Poi avevamo imposto un limite della normativa: c’era l’ipotesi di armatura snervata, ma avevamo anche detto che implicitamente, rispettando il limite di normativa, si soddisfava l’ipotesi che ci portava a questa equazione.

Avevamo detto che alla base del procedimento per determinare X c’è il limite di normativa, dobbiamo dimostrare questa considerazione.

Sfruttiamo le due equazioni su scritte. La prima la possiamo scrivere anche come:

Possiamo ricordarci che:

Anziché scrivere (ω-ω’).

E scrivere quindi al suo posto.

Si ottiene quindi:

Da questa seconda equazione poi, se noi imponiamo il segno di uguaglianza e ci riferiamo solo alla limitazione superiore, troviamo:

Si ottiene che la posizione dell’asse neutro, quando si impone la crisi del calcestruzzo compresso per schiacciamento e armatura tesa snervata, è funzione della classe di resistenza del calcestruzzo. E allora al variare della classe noi otteniamo:

Noi dobbiamo dimostrare che l’aver imposto questa limitazione vale a dire che l’armatura è snervata.

Disegniamoci, con riferimento alla sola retta di deformazione, la posizione dell’asse neutro che corrisponde allo snervamento dell’armatura tesa.

Quando invece siamo nella condizione di crisi, che varia a seconda della classe del calcestruzzo, otterremo una retta di deformazione con una profondità dell’asse neutro che è più piccolina:

Flessione retta composta o pressoflessione retta

Vediamo cosa succede quanto intervengono contemporaneamente momento e anche sforzo normale.

Anche qui vediamo il problema da due punti di vista:

• Formule semplificate che non fanno uso delle regioni di rottura.
• Dominio del momento ultimo semplificato.

Formule semplificate

Quali ipotesi poniamo alla base del nostro calcolo:

• Stress block per il calcestruzzo compresso.
• Elasto-plastico perfetto senza controllo per l’acciaio.
• Crisi per schiacciamento del calcestruzzo compresso.
• Armatura tesa snervata.
• Sezione parzializzata, l’asse neutro taglia la sezione.

L’ultima ipotesi afferma che è improbabile che nei pilastri l’asse neutro vada a finire a più o infinito come accade nelle regioni di rottura 1 e 6.

Rispetto a prima cambia che l’ipotesi di armatura snervata la imponiamo ora ma poi la dovremo verificare.

Nella pressoflessione non basta soddisfare il limite normativo di armatura come accade invece nella flessione semplice.

Limite di normativa armatura: se noi rispettiamo il limite non è detto che l’ipotesi venga soddisfatta.

Alla fine andrà anche verificato che la sezione sia parzializzata, anche se è quasi certo che lo sia.

C’è una differenza ulteriore rispetto al caso della flessione: se A_s = A’_s, l’ipotesi di entrambe le armature snervate può continuare a esistere. Nella flessione invece, se le due armature fossero uguali, vorrebbe dire che l’armatura a compressione non potrebbe mai essere snervata altrimenti non ci sarebbe l’equilibrio alla traslazione.

Lo sforzo normale nei pilastri tende a ridurre la duttilità.

Determinato Xc dalla formula dell’equilibrio alla traslazione, prima di passare al momento ultimo si devono verificare le ipotesi 4 e 5.

Equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro geometrico (G).

E queste sono le formule semplificate con le quali fare verifica, progetto o semiprogetto di una sezione pressoinflessa senza ricorrere alle regioni di rottura.

Vediamo ora come costruire in modo semplificato il dominio ultimo.

Dominio ultimo, caso semplice di armatura simmetrica

A_s = A’_s.

Per il caso di semplice armatura basta disegnare il dominio M-N solo nei primi due quadranti, negli altri due quadranti sarebbe esattamente speculare.

Questo metodo si basa solo sull’individuazione di 5 punti del dominio.

Punto A, trazione semplice

Il cls non reagisce a trazione.

Punto B, compressione semplice

Punto C, flessione semplice

Lo calcoliamo in modo molto semplificato, considerando solo il contributo delle due armature, trascurando il contributo del cls che avrebbe ridotto il braccio della coppia interna, per cui più o meno si sarebbe giunti alle stesse conclusioni.

Punto D

È quel punto che avrà lo stesso momento di C ma dovrà avere uno sforzo normale Nd diverso da zero.

Noi dobbiamo aggiungere qualcosa allo stato di sollecitazione che c’era nel punto C, che però faccia in modo che si generi un po’ di sforzo normale.

Punto E

Sarà quel punto che ha uno sforzo normale N pari a N_E/2.

Avrà un momento ultimo diverso che dovremmo calcolarci.

La costruzione prevede di unire i 5 punti con una spezzata, questa operazione è lecita perché sappiamo che il dominio della pressoflessione è un dominio convesso.

La nostra spezzata è un qualcosa che va sempre a vantaggio di statica.

Solo che voler andare a costruire tutto il dominio significa o utilizzare la procedura con le regioni di rottura oppure significa usare gli abachi che sono sui libri di testo.

Invece, se uno al volo non vuole perdere molto tempo, con un calcolo che richiede 5 minuti riesce a ottenere 5 punti con cui ottenere questo dominio ultimo semplificato.

Dominio ultimo, caso armatura asimmetrica

A_s ≠ A’_s.

Punto A’

Se noi supponiamo che l’armatura è più piccola dell’armatura tesa, siamo a trazione.

Visto che i due sforzi non sono uguali, nascerà un momento che tende le fibre inferiori.

Punto B’

I punti C, D ed E che fine fanno?

Si può usare una semplificazione di questo diagramma. Se noi congiungiamo con una retta i punti A’ e B’, questa retta intersecherà l’asse delle ascisse proprio in N_E, e quindi individuati A’ e B’, tracciamo la retta, prendiamo il dominio della pressoflessione retta e lo ruotiamo dell’angolo che ci interessa.

Lo stesso si conserva al variare del rapporto tra armatura tesa e armatura compressa.

Quindi tutte le rette che uniscono i punti estremi della trazione e della compressione centrata appartengono al fascio dove il polo è rappresentato da N_E.

E quindi la costruzione di questi domini ultimi anche nel caso di armatura asimmetrica è molto semplice perché basta trovare le posizioni di A’ e B’, prendere il dominio della sezione simmetrica e ruotarlo quanto serve.

Flessione deviata semplice o composta

Distinguiamo quello che succede per gli SLE e per gli SLU. Cominciamo con il caso più semplice, flessione deviata semplice.

Impostiamo così il problema. Consideriamo la classica sezione rettangolare con gli assi principali X e Y.

Nel caso della flessione deviata l’asse vettore del momento esterno non coincide con uno dei due assi principali della sezione. E conseguenza di ciò è che l’asse neutro non è perpendicolare all’asse di sollecitazione.

Se il momento della flessione deviata lo decomponiamo nelle due aliquote, allora noi potremmo pensare di studiare la sezione una prima volta solo sollecitata da M_Dx, e successivamente che venga sollecitata solo da M_Dy, sommando alla fine i due contributi.

Questo nel nostro caso non è possibile, perché questo ragionamento vale solo per materiali omogenei e isotropi.

Perciò la flessione deviata non può essere studiata analizzando separatamente le due flessioni rette.

Il problema va impostato allora in modo un po’ più generale.

n-n ed s-s non sono perpendicolari.

In questo caso le due armature vanno considerate come singole barre con la loro posizione, perché in questo caso non ho più un lembo e sicuramente le singole armature saranno sollecitate in modo diverso.

Per cui se ci fossero armature di perimetro, io dovrei dare per ognuna di loro la corretta posizione.

Incognite del problema

Quali sono le incognite nel problema che ho impostato?

• Direzione asse neutro.
• Posizione asse neutro.
• Tensioni CLS/acciaio [SLE], ovviamente l’incognita è una sola perché nota una tensione con la similitudine dei triangoli si ricavano le altre.
• M_U [SLU], siamo in flessione semplice, non c’è lo sforzo normale.

Abbiamo quindi tre incognite da determinare, quali equazioni abbiamo a disposizione?

• Equilibrio alla traslazione (S_N = 0), sommatoria degli sforzi normali interni.

Questa equazione quando lavoriamo in esercizio a cosa corrisponde?

Corrisponde a dire che il momento statico rispetto all’asse neutro è uguale a zero.

• Equilibrio alla rotazione attorno all’asse di sollecitazione.
• Equilibrio alla rotazione attorno all’asse neutro.

Almeno sulla carta il problema sembra risolto, perché noi abbiamo tre incognite e tre equazioni.

In realtà il problema è un po’ più complicato perché anche in esercizio l’ipotesi di diagramma delle tensioni lineari non è detto che sia verificato in modo esatto e sicuramente non lo è allo SLU.

E quindi in generale il problema è un po’ difficile perché abbiamo da risolvere un sistema di tre equazioni dove c’è un termine integrale e che in generale hanno una legge non lineare, perché la varia con legge non lineare.

Si ricorre ad un approccio iterativo, che cambia a seconda della verifica che dobbiamo fare; stavolta quindi dobbiamo essere un po’ più precisi e distinguere SLE e SLU.

L’argomento ora affrontato potrà essere discusso solo alla prova orale.

SLE

Primo passo, fissare una direzione di tentativo dell’asse neutro n₁-n₁. Possiamo scegliere un qualunque valore, però ci dobbiamo ricordare che se partiamo da un valore lontano ci metteremo un sacco a convergere alla soluzione, per cui andrà scelto un valore della direzione prossimo a quello reale.

In esercizio come asse neutro conviene prendere quello che avremmo nel caso di sezione tutta reagente anche se sappiamo che poi c’è parzializzazione.

E allora c’è una procedura che sfrutta la conoscenza dell’ellisse centrale d’inerzia. Nota l’ellisse e noto l’asse s-s, individuo i due punti di intersezione 1 e 2, e in questi punti traccio le tangenti all’ellisse centrale d’inerzia, queste due rette mi daranno la direzione dell’asse neutro di tentativo.

Asse neutro per flessione deviata per sezione interamente reagente.

Secondo passo, determinata la direzione bisogna valutare la posizione dell’asse n₁-n₁. Siamo in esercizio, i diagrammi delle tensioni sono approssimativamente lineari, possiamo far uso della prima equazione semplificata in S_n = 0. Trovata la posizione andiamo al passo successivo.

Terzo passo, verificare la direzione di tentativo di n₁-n₁. Se la direzione per quella posizione è quella giusta, allora il momento centrifugo deve essere pari a zero. (I_ns = 0).

Se è ≠ 0 dobbiamo tornare al passo 1 e ripetere i passaggi. Mentre se è = 0 proseguiamo col passo successivo.

Quarto passo, calcolo delle tensioni con Navier.

SLU

Cosa cambia in questa procedura iterativa.

Primo passo, determinare la direzione dell’asse neutro, partiamo comunque dal metodo dell’ellisse centrale in mancanza d’altro, anche se considerare la sezione omogenea e isotropa in questo caso non sarebbe la cosa migliore.

Secondo passo, per direzione assegnata dobbiamo trovare la posizione di n₁-n₁. Stavolta non possiamo più usare la relazione S_n = 0 perché i legami sono non lineari, ma dobbiamo scrivere la classica equazione di equilibrio alla traslazione.

Terzo passo, verifica della direzione di tentativo. Questa verifica può essere fatta in due modi diversi:

3A, procedimento grafico

Avendo fissato posizione e direzione, andiamo a determinare il punto di applicazione della risultante degli sforzi di compressione (C) e il punto di applicazione della risultante degli sforzi di trazione (T).

Se unisco i due punti ottengo la traccia sul piano trasversale dell’asse di sollecitazione, che per definizione deve essere ortogonale all’asse vettore del momento esterno.

Devo verificare che quest’angolo sia di 90°, verifica grafica, altrimenti ritorno al passo 1.

3B, approccio analitico

Noti posizione e direzione dell’asse neutro, possiamo calcolare M_u. Di questo momento ultimo ci calcoliamo le aliquote secondo le due direzioni principali.

In questo modo possiamo dire di quanto è inclinato l’asse vettore del M_u. β_d è invece l’inclinazione dell’asse vettore del momento esterno, ed è una quantità nota.

La direzione che noi abbiamo scelto è giusta se β_u è uguale a β_d.

Se usiamo l’approccio 3B non c’è il passo 4, poiché abbiamo già calcolato a monte M_u; usando 3A andrebbe calcolato dopo, incognita momento flettente allo SLU.

Entrambi gli approcci sono un po’ laboriosi, a risolvere gli integrali non ci siamo messi, a tentativi si potrebbe andare se avessimo solo una sezione, ma fare per un edificio questo calcolo iterativo per calcolare il nostro momento ultimo è molto complicato.

Generalmente verifica e progetto si fanno utilizzando dei domini ultimi, analoghi ai domini della pressoflessione. Possono capitare agli esercizi di esame.

Domini ultimi di flessione deviata

Parliamo solo ed esclusivamente di SLU.

Costruiamo il dominio della flessione deviata solo in quadrante, supponendo che per simmetria negli altri quadranti ci siano forme analoghe.

Se suppongo che l’asse neutro è orizzontale, in pratica sto calcolando il momento per la flessione retta M_xu e per me l’angolo α che quest’asse neutro forma con l’asse delle x è zero.

Analogamente per la direzione verticale.

Non stiamo studiando la flessione deviata come somma degli effetti delle singole flessioni, ma stiamo solo studiando i casi in cui la flessione deviata degenera nella flessione retta quando l’asse neutro ha una direzione orizzontale oppure verticale.

Ora ci occupiamo di capire come calcolare il generico punto in questo dominio nella flessione deviata. La procedura poi vale per tutti gli altri.

Dall’asse a.