Fisica tecnica - 34 domande

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Termodinamica

Domanda 1

Ricavare le relazioni monomie (ad esempio applicabili alle trasformazioni=kpv cost) adiabatiche di un gas a comportamento ideale. Per un processo adiabatico il calore scambiato è nullo (dQ = 0). Questo implica che il primo principio della termodinamica assuma la forma dQ = dU + dL = 0.

Processo senza deflusso, reversibile

• Dal primo principio della termodinamica si pone l'equazione uguale a zero perché in un processo adiabatico (senza scambio di calore) dQ = 0. Se il gas è ideale e il processo è reversibile senza deflusso di massa, du = dT mentre dL = c_pdv.

dQ = du + dL = 0

dT + c_pdv = 0

Sapendo che pv = nRT e considerando una sola mole si ricava nRT = RT.

dT + dv = 0

c_vvdT + dv = 0

R + T = 0

Si può riesprimere sapendo che c = R + c quindi c = 1.

c_vc_R ≠ ≠ c c_R, c c_c

kp v p vc c c_vv v

dT dv + 1 = 0

c_v ≠ T c_vv v

dT + (k - 1) = 0

c_v ≠ T v

ln + (k - 1) ln = 0

c_v ≠ T v

T v = 1

c_v ≠ T v

T v₁ ≠ T v1 ≠ T v2 ≠ T v2 ≠ T v₁ ≠ T v1

≠ T v₁

= (1)

k ≠ T v cost

Dalla (1) per mezzo dell'equazione di stato si arriva alle altre relazioni. Sapendo che RT = T cost e considerando una costante:

R k ≠ 1

RT = T cost

p = 1 ≠ kT T cost

k ≠ 1p

1 ≠ kT p cost k = 1

Oppure sapendo che pv = T e considerando una costante:

R pv = k ≠ 1

v cost R = k pv cost

Queste relazioni sono molto importanti nella tecnica dato che i processi nei compressori e negli espansori sono con grande approssimazione adiabatici e il comportamento dei gas tecnici è prossimo a quello del gas ideale per pressioni non elevate. Queste formule presuppongono che i calori specifici e quindi il rapporto non varino con la temperatura. Si nota che queste equazioni non sono equazioni di stato ma descrivono il legame fra due delle tre grandezze p, v, T durante un processo reversibile nel quale il sistema non scambia calore con l'esterno.

Processo con deflusso, reversibile

• Nel caso in cui il processo avvenga con deflusso di massa il primo principio della termodinamica è esprimibile come dQ = dh + dL. Se il gas è ideale e il processo reversibile con deflusso di massa, dh = dT mentre dL = c_vdp.

p dT = 0 ≠ c_vdp p

Sapendo che pv = nRT e considerando una sola mole si ricava RT = p v.

dT + dp = 0 ≠ c_pp T dp

R + T = 0 ≠ c_pp T

Si può riesprimere sapendo che c = R, perciò k ≠ 1 = .cR

c c v_pc c c kp p

dT + 1 dp ≠ k = 0 ≠ T k p

dT + 1 dp ≠ k = 0 ≠ T k p

1 1k ≠ 1

T p₁ ≠ T p₂ ≠ T p₁ ≠ T p₂

1 ≠ k 1 ≠ k = Tp cost k

Domanda 2

A partire dal Ciclo di Carnot, ricavare l'eguaglianza e la diseguaglianza di Clausius. A partire dai suddetti risultati, giustificare, inoltre, l'introduzione della coordinata termodinamica entropia.

Si vuole dimostrare che per un ciclo reversibile sussiste la relazione:

∫ dQ = 0 (2) T_REV

Se si considera un ciclo di Carnot in un intervallo di temperatura vale che:

|Q₁| |Q₂| = T₁ T₂

Ma se si tiene conto del valore relativo del calore scambiato dal sistema si nota che per un ciclo diretto Q₁ < 0 mentre Q₂ > 0 in quanto calore ceduto. Quindi si può scrivere:

Q₁/T₁ + Q₂/T₂ = 0

Allora la 2 è verificata. Si consideri un ciclo chiuso, quindi reversibile, come quello rappresentato dalla curva circolare, lo si divida con un certo numero di adiabatiche e si consideri il ciclo rappresentato dalla spezzata formata da un segmento di adiabatica e da un segmento di isoterma scelti in modo tale che il calore scambiato in ogni tratto di isoterma sia il medesimo di quello scambiato dal tratto di ciclo reale. Ogni ciclo come AB, UV, CD, ST, EF, QR è un ciclo di Carnot e per essi si può scrivere:

∑ Q_i/T_i = 0

Se si fa tendere all'infinito il numero di strisce in cui si divide il ciclo e quindi divenendo infinitesimi i processi isotermi, ogni termine relativo ad ogni segmento si approssima al termine relativo al ciclo reale compreso tra le stesse adiabatiche. Si può scrivere quindi che per ogni ciclo reversibile:

∫ dQ/T_REV = 0

Questa relazione che rappresenta il II principio della termodinamica e l'uguaglianza di Clausius porta a dire che se si considera una trasformazione reversibile aperta, non ciclica, tra uno stato A e uno stato B, l'integrale calcolato tra due stati non dipende dal percorso ma solo dagli stati estremi, cioè costituisce un differenziale esatto di una funzione S.

dQ = TdS

La funzione S è detta entropia ed è un'altra funzione di stato ed ha un valore definito a meno di una costante additiva arbitraria, per ogni stato di un sistema in equilibrio. Per ogni processo reversibile si ha dunque:

dQ = TdS

Diseguaglianza di Clausius

In un ciclo reale sono sempre presenti irreversibilità causate da fenomeni di attrito nel deflusso del fluido. Esiste una naturale irreversibilità nello scambio di calore dalla sorgente calda al sistema, per il fatto che durante questo scambio il sistema è a una temperatura inferiore a T₁. Esiste anche irreversibilità nello scambio di calore dal sistema alla sorgente fredda, per il fatto che il sistema è a temperatura maggiore di T₂. Tutto avviene come se il ciclo agisse reversibilmente fra due sorgenti a temperatura T₁ e T₂. Il suo rendimento è quindi:

|Q₂|/T₂ = 1 - |Q₁| T₁

In realtà, dato che T₂ > T₁ allora:

|Q₂|/T₂ < |Q₁| T₁

Q₁/T₁ + Q₂/T₂ < 0

Estendendo ad un numero infinitesimo di sorgenti come nel caso precedente vale la diseguaglianza di Clausius:

∫ dQ/T_IRR < 0

Quindi per un ciclo irreversibile si può scrivere che:

dQ = TdS + dS_irr > 0

dove dS_irr rappresenta l'aumento infinitesimo sempre positivo di entropia dovuto all'irreversibilità. In conclusione lungo un processo il sistema subisce una variazione di entropia che è data dalla somma di dQ/T e di dS_irr.

In un processo reversibile ogni volta che del calore entra nel sistema l'entropia aumenterà, ogni volta che esce diminuirà.

Se si considera un ciclo in parte reversibile e in parte irreversibile:

dQ_B/T_A + dQ_A/T_B < 0

(S_B - S_A) < T_A S_IRR

dQ_B (S_A) ≠ S_B T_A S_IRR

dQ_B (S_A) ≠ S_B T_A S_IRR

dQ ≠ S_A S_IRR T

Se la quantità è pari al valore dell'integrale il processo è reversibile, mentre se è maggiore il processo è irreversibile, infatti si può scrivere:

dQ/T = S +

Quando è pari a zero il processo è reversibile, mentre quando è maggiore di zero è irreversibile.

Domanda 3

A partire dal Teorema di Carnot, ricavare la scala termodinamica di temperatura. Dimostrarne l'equivalenza con la scala di temperatura basata sul gas ideale.

Per definire la scala della temperatura termodinamica, legata al rendimento del ciclo di Carnot, si considerano tre macchine di Carnot che operano secondo il seguente schema:

Per le tre macchine si ha come rendimento:

|Q₂|/|Q₃| = 1 - A; |Q₃|/|Q₁| = 1 - B; |Q₃|/|Q₂| = 1 - C

Si può scrivere anche:

|Q₂|/|Q₁| = f(T₁, T₂); |Q₃|/|Q₂| = f(T₂, T₃); |Q₃|/|Q₁| = f(T₁, T₃)

Poiché:

|Q₁|/|Q₁| = |Q₁|/|Q₁| / |Q₂| / |Q₃|

si ottiene: f(T₁, T₃) = f(T₁, T₂) f(T₂, T₃)

Dove si è tenuto conto che la temperatura è arbitraria, e dato che non appare a primo membro dell'equazione, la si può eliminare anche nel rapporto a secondo membro. Il rapporto a secondo membro si definisce come rapporto fra due temperature termodinamiche o temperature Kelvin.

|Q₁|/|Q₂| = |Q₂|/|Q₁|/|Q₂|/|Q₁|

I valori di due temperature termodinamiche stanno fra loro come i valori assoluti delle quantità di calore assorbite e cedute da una macchina di Carnot che opera tra due sorgenti a queste temperature. La scala termodinamica si ottiene usando come riferimento la temperatura del punto triplo dell'acqua. Con ciò, per una macchina di Carnot che opera fra due sorgenti a temperature generiche, si ha:

|Q| = |Q| T T

Perciò il rapporto tra calore scambiato e la temperatura termodinamica è una costante.

Eguaglianza tra temperatura termodinamica e temperatura del termometro a gas ideale

Dato che il rendimento del ciclo di Carnot non dipende dalla sostanza che lo percorre, si può supporre di utilizzare un gas ideale. Il primo principio della termodinamica porge, per una trasformazione reversibile di un gas ideale:

dQ = dT + c_pdv v

Si possono ricavare le quantità e integrando rispettivamente sulle isoterme e |Q₁| |Q₂| AB DC,1 2 con riferimento in figura:

v_B / v_B = RT v_B

= PDV = ln B v₁/ v_A

v_C = RT v_C

PDV = ln C v₂ / v_D

1 2 ln T B v₁ |Q₁| T₁

1 2 |Q₁| ln T₂ T₂ v_C / v_D

Si può dimostrare che i due logaritmi sono uguali, infatti per le adiabatiche e si può scrivere:

dT / dv = c dT + v C v B = ln B

c / pdvv

Integrando si ottiene:

dT / dv = T v₂ c v_vC v_B = ln v_C B v_C T v

1 B dT / dv = T v₂ c v_vD v_D = ln v_D A v_D T v

1 A dQ = 0 per entrambe, si possono eguagliare:

v B ln = ln v A v C v D

v = B A v C v D

Quindi la 3 diventa: (T )|Q₁| T₁ 1 = (T )|Q₂| T₂ 2

Domanda 4

Descrivere il Ciclo di Carnot inverso, chiarendo la differenza tra ciclo frigorifero e pompa di calore e ricavando i parametri caratteristici utilizzati per valutarne le prestazioni (COP/EER). Spiegare le problematiche che ne impediscono la realizzazione pratica ed illustrare il funzionamento di un ciclo inverso a compressione di vapore effettivamente realizzabile. Preparare uno schema del ciclo ed illustrare le trasformazioni su di un piano T-s.

Un ciclo di Carnot è sempre completamente reversibile, quindi è possibile attuare un ciclo invertendo tutte e quattro le trasformazioni con la conseguenza che anche gli scambi di calore avvengono con segni opposti. Con l'inversione delle trasformazioni il ciclo viene detto ciclo inverso di Carnot. Nei cicli inversi il sistema assorbe una certa quantità di calore da una sorgente a temperatura più bassa tramite una spesa di lavoro esterno mentre nel caso di ciclo diretto si ha trasformazione in lavoro meccanico del calore che il sistema riceve. In un diagramma termico, la linea chiusa è percorsa in senso antiorario. Asportare calore da un corpo freddo ad uno più caldo richiede tanto più lavoro quanto più bassa è la temperatura di tale corpo.

Ciclo frigorifero

Le macchine frigorifere utilizzano il ciclo frigorifero per asportare calore da una sorgente a temperatura inferiore di quella ambiente che si trova a temperatura maggiore. L'indice di efficienza energetica è dato dal rapporto tra calore sottratto e lavoro speso:

|Q₂| = EER |L|

Pompa di calore

Le pompe di calore rendono disponibile calore prelevato da una sorgente termica a temperatura inferiore. La resa è data dal coefficiente di prestazione:

|Q₂| + |Q₁| / |L| = COP = EER + 1 = |L|

Il ciclo inverso di Carnot presenta però delle difficoltà nella realizzazione pratica: l'espansore, organo comunque costoso e che anche idealmente recupererebbe una modesta frazione del lavoro necessario nella compressione, non trova possibilità di realizzazione dovendo trattare un fluido bifase ad elevato contenuto di liquido. Si preferisce nella pratica sostituire l'espansore con un semplice organo di laminazione, rinunciando alla possibilità di recupero esterno di lavoro; si usano valvole 0, a volte, tubi capillari. Il processo di riferimento è dunque irreversibile e, in quanto adiabatico, ha luogo con aumento di entropia del fluido. Conviene poi evitare la compressione nella zona del vapore saturo umido; nei compressori volumetrici alternativi insorge il pericolo di rottura della testata del compressore stesso per "colpo di liquido", in quanto la fase liquida, pressoché incomprimibile, tende a raccogliersi nel volume nocivo. Si preferisce pertanto prolungare l'evaporazione fino ad ottenere almeno vapore saturo secco all'uscita dell'evaporatore. Il fluido refrigerante quindi durante la successiva fase di compressione si surriscalda ed all'uscita dal compressore raggiunge un valore di temperatura più elevato della temperatura di saturazione. Con queste modifiche si ottiene un ciclo inverso a compressione di vapore ideale.

1-2 Compressione isoentropica del fluido refrigerante fino alla temperatura maggiore della T₂ temperatura di saturazione. 2-3 Cessione di calore a pressione costante nel condensatore. Si passa da vapore surriscaldato a liquido saturo. 3-4 Laminazione fino alla pressione dell'evaporatore e temperatura che scende al di sotto della temperatura dell'ambiente refrigerato. Questa trasformazione è irreversibile. 4-1 Assorbimento di calore da parte del fluido refrigerante con conseguente evaporazione.

Domanda 5

A partire dal primo principio della termodinamica e dalla definizione di entropia ricavare una le relazioni per calcolare la variazione di entropia del gas a comportamento ideale. Sulla base delle relazioni ricavate, tracciare su di un diagramma le curve T-s corrispondenti a trasformazioni isocore (volume costante) e isobare (pressione costante). Discutere la relazione tra pendenza di una curva e calore specifico.

Il primo principio della termodinamica per un gas ideale assume la forma:

dS = dT + T c_pdv v

dT p dS = + dv c_v T T

dT dv dS = + c R v T v

Integrando e tenendo conto che c_p/R = c_v/c_v = k, si trova:

dT dv T V₂ 2 dS = + c R v T vT V₁ 1

T V₂ 2 = ln + s c R cost v T V₁ 1

R V₂ 2 = ln + c cost v T c V₁ 1 v

T V₂ 2 = ln + c cost v T V₁ 1

e quindi s = ln(T ) + k ≠ 1 1 s c v cost v

La costante si determina imponendo lo zero dell'entropia per = T ≠ 273.15 e per il volume T =1

0 = ln(T ) k ≠ 1 ≠ c cost v

L'espressione dell'entropia di un gas ideale diventa, supponendo che i calori specifici rimangano costanti:

T v ≠ ln s c v T v 0 0

Volendo esprimerla in funzione di pressione e volume ci si avvale dell'equazione di stato = pv RTC

pv/R v ≠ ln s cv p v /R v 0 0 0

p v/v ≠ ln cv p v v 0 0 0

kp v ≠ ln (4) cv p v 0 0

Volendo esprimerla in funzione di temperatura e volume ci si avvale sempre dell'equazione di stato.