Fisica Medica - Moto Oscillatorio

Moto oscillatorio

Moto oscillatorio 1

Definizioni

• Moto periodico: si ripete ad intervalli uguali di tempo (es.: moto circolare uniforme, rotazione di un pianeta).
• Moto oscillatorio: è un moto periodico in cui si ripercorre la stessa traiettoria muovendosi avanti e indietro sullo stesso percorso (es.: moto del pendolo).

Moto oscillatorio 2

Oscillatore armonico semplice

Si consideri una particella di k m massa m oscillante tra due punti  x e x in presenza di una -x O +x m mm m     forza elastica: F x kx   F kxm.

Un punto materiale che si -x O +xm m muove con questo tipo di forza   F kx chiamasi: oscillatore armonico semplice (O.A.S.). x-x O +xm m

Moto oscillatorio 3

L’oscillatore armonico semplice è importante per due motivi:

a) ogni problema in cui esistono delle oscillazioni si riduce ad un O.A.S. per piccole ampiezze di vibrazione intorno all’origine;

b) O.A.S. si incontrano in tutti i campi della Fisica: Meccanica, Acustica, Ottica, Elettromagnetismo, Fisica nucleare, Medicina nucleare etc.).

Moto oscillatorio 4

Equazione del moto di un O.A.S.

    Per la seconda legge di Newton: F m a con F kxi  

2dv d dx d x          (in modulo) F kx ma m m m   2dt dt dt dt

2 2d x d x      F m kx m 2 2dt dt

2 2d x d x k      m kx x 2 2 mdt d t

Quindi per ogni m soggetta ad una forza di richiamo, vale tale equazione del moto.

Moto oscillatorio 5

Equazione oraria dell’O.A.S.

    L'equazione oraria x t dell'O.A.S. deve essere una f t tale che   la sua derivata seconda è la stessa x t cambiata di segno, a parte       la costante k / m. Le funzioni f t sen t e f t cos t soddisfano questa proprietà. Infatti:

d           se f t sen t f t sen t cos t dtd         f t cos t sen tdt

d            se f t cos t f t cos t sen t dtd          f t sen t cos tdt

Moto oscillatorio 6

  L'equazione oraria x t dell'O.A.S. è in generale:

        x t A cos t

    A, , sono delle costanti così definite:

•  A ampiezza dell'oscillazione
•   Pulsazione oppure frequenza angolare
•   Costante di fase del moto

xx = A Tm 0 t-x = -Am

Moto oscillatorio 7

  Significato fisico di A, ,

  Abbiamo visto che l'equazione oraria x t dell'O.A.S. è in generale:

        x t A cos t

Ampiezza di oscillazione A

         Per t 0, , 2 .......... n :

          cos t 1 x(t) A

A rappresenta il max valore dello spostamento x nei due versi opposti, durante l'oscillazione di m.

Moto oscillatorio 8

“A” dipende dall’energia impressa all’oscillazione

xA’ TA  x’(t) = A’ cos( t)0  x(t) = A cos( t)t-A-A’ 

I due moti armonici x'(t) e x(t) hanno la stessa , ma ampiezza diversa.

Moto oscillatorio 9

 Pulsazione o frequenza angolare

        Si dimostra che l'equazione oraria x t A cos t

2d x   è soluzione dell'equazione del moto kx m 2dt

k   2 solo se m 

Quindi, al contrario di "A", dipende dai parametri fisici dell'O.A.S. (i.e. k, m).

    Per capire cosa è , poniamo 0 nell'equazione oraria

  ωtx(t) = A cos

   essendo il moto periodico x (t ) x (t T); cioè lo spostamento x (t ) riassume lo stesso valore quando è  trascorso un periodo T

Moto oscillatorio 10

    x (t ) A cos( t )             A cos t A cos t T  

         x (t T) A cos t T   

              cos t cos t T T 2 (infatti la funzione coseno riprende lo ste