Appunti teoria Meccanica delle vibrazioni

Equazione di moto

L'equazione del moto è espressa come:

müx + mẋ + Kx = F(t)

Condizioni: Caso banale

Consideriamo il caso banale con:

müx + mẋ + Kx = 0

Dove K = 0, si tratta di un sistema non smorzato (omogeneo). Sostituendo nell'equazione (A):

λ²m + K = 0

Risolvendo l'equazione otteniamo: λ_1,2 = ± i √K/m

La pulsazione propria è data da:

ω₀ = √K/m

Soluzione integrale generale

La soluzione generale è:

x = X₁e^{i ω₀} + X₂e^{-i ω₀}

X è la condizione di contorno al tempo t = 0. Le soluzioni sono reali solo se X₁ e X₂ non sono complesse e coniugate, cioè simmetriche rispetto all'asse dei numeri reali:

x = A cos ωt + i B sin ωt = C cos (ωt + φ)

Dove il periodo T = 2π / ω

Se ω aumenta, allora K aumenta o m diminuisce.

Soluzioni graficamente armoniche

Consideriamo ora il caso smorzato (omogeneo):

müx + mẋ + Kx = 0

Le soluzioni generiche sono:

x(t) = x̄ e^{λ t}

ẋ(t) = x̄ λ e^{λ t}

üx(t) = x̄ λ² e^{λ t}

Sostituendo nell'equazione (A), il sistema oscillante ha una frequenza caratteristica definita come:

1. H = h / 2mω₀ (fattore di smorzamento)
2. H_c = 2mω₀ (smorzamento critico) per Δ = 0

Risolvendo:

λ_1,2 = -ω₀h ± ω₀√(h² - 1)

Δ definisce la frontiera fra un sistema che vibra e uno che non vibra:

• Δ > 0: il sistema non oscilla
• Δ = 0: il sistema oscilla

Equazione di moto: caso non smorzato

Consideriamo di nuovo l'equazione del moto:

müx + mẋ + Kx = F(t)

Caso banale

müx + mẋ + Kx = 0

Dove K = 0, sistema non smorzato (omogeneo). Sostituendo in (a):

λ²m + K = 0

Risolvendo l'equazione:

λ = ±i √K/m

Pulsazione propria ω = √K/m

Soluzione integrale generale

X = X₁ e^iωt + X₂ e^-iωt

Dove X₁ e X₂ sono condizioni di contorno a t=0. La soluzione reale è possibile solo se X₁ e X₂ sono complesse e coniugate, simmetriche rispetto all'asse dei numeri reali:

X = A cos ωt + iB sin ωt = E cos (ωt + φ)

Il periodo T = 2π/ω. Se ω aumenta, allora K aumenta o m diminuisce.

Soluzioni graficamente armoniche

Per K ≠ 0, smorzato (omogeneo):

müx + mẋ + Kx = 0

Soluzioni generiche:

x(t) = x̄ e^λt

ẋ(t) = x̄ λ e^λt

üx(t) = x̄ λ² e^λt

Note: il sistema oscillante ha una frequenza caratteristica. Definiamo:

1. H = h / 2mω₀ (fattore di smorzamento)
2. H_c = 2mω₀ (smorzamento critico) per Δ=0

Risolvendo:

λ_1,2 = -ω₀h ± ω₀√(h²-1)

Il Δ definisce la frontiera fra un sistema che vibra e che non vibra. Se Δ > 0, IR non oscilla.

Fattore di smorzamento

Il fattore di smorzamento domina il moto e si distingue in tre casi:

Sistema sotto smorzato

λ₁,₂ = -ω₀ h ± i ω₀ √(1-h²) = -α ± i ω_D

Integrale generale:

x(t) = x_A e^-αt cos(ω_Dt) + x₂ e^-αt sin(ω_Dt) = e^-αt (x_A e^{i ω_Dt} + x₂ e^{-i ω_Dt}) = e^{-i ω₀t} (A cos ω_Dt + B sin ω_Dt) = e^-ω₀t (cos( ω_Dt + ψ))

Graficamente, l'ampiezza decresce esponenzialmente con il tempo.

Sistema sovra smorzato

ω₀ h > ω₀ h > 1-ω₀ h ± ω₀ √(h²-1)

Soluzione generale:

x = x_A e^λ₁t + x₂ e^λ₂t

Poiché |ω₀| > ω₀ √(h²-1), il sistema torna in equilibrio senza compiere oscillazioni.

Caso critico

λ₁,₂ = -λ₁ / 2m

Moto forzato

Consideriamo una funzione di trasferimento da un istante t (in risposta del sistema a una fonte del tipo F(t) = F₀ e^iωt).

Somma di funzioni combinabili

1. F(t) = costante per contro la posizione di equilibrio
2. F(t) = periodica

Sistema:

m..x + XKx = F₀ e^iωt

x(t) = x_g(t) + x_p(t) soluzione particolare:

x_p(t) = X₀ e^iωt

Nel piano delle fasi cos ωt = Re (...)

Relazione tra F₀ cos ωt e sin x_i(t)