Fisica medica - Legge di Gauss

Legge di Gauss e sue applicazioni

Legge di Gauss e sue applicazioni 1

Introduzione

Calcolare il campo con la legge di Coulomb quando si conosce E la distribuzione delle cariche elettriche è sempre possibile, ma eccetto casi semplici, il calcolo è molto laborioso.

La legge di Gauss rappresenta una forma diversa e più elegante di esprimere la legge di Coulomb e permette di calcolare il campo prodotto da una distribuzione di cariche, se queste E hanno una qualche simmetria geometrica (es. sferica, piana, cilindrica).

La legge di Gauss si basa sul concetto di “flusso del campo E” attraverso una superficie.

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Flusso di E attraverso una S (caso di E uniforme)

Si consideri una superficie S di area A attraversata dalle linee di campo di E uniforme: E u N   E E

Si definisce flusso del campo E attraverso la superficie A di area A:      E E A u E A cosA Nu dove u è il versore alla superficie (che si guarda), orientato nel N verso di avanzamento di una vite che ruoti in senso antiorario.

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Il flusso è > 0 se    (E) 2A    (E) 2, flusso uscente.

Il flusso è < 0 se A   E 2, flusso entrante.

Se E è tangente alla superficie: e quindi   (E) 0A

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Flusso di E attraverso una superficie chiusa

Si consideri una carica puntiforme Q al centro di una superficie sferica S di raggio r.   P S si ha che il campo E è quello di una carica puntiforme. 

Quindi E è sempre alla superficie S, ha direzione radiale e E u vale: N Q1  E u r Q dA24 r0 dove u indica la direzione radiale di E. r r

Si suddivida la superficie S in un numero N molto grande di elementi di superficie dA, in modo che dA sia abbastanza piccola da poter essere considerata piana e da poter ritenere su tutto l’elemento di area costante dA. E

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  Il flusso totale E di E attraverso l'intera superficie S è la S somma di tutti i singoli contributi elementari di flusso attraverso ciascun elemento di superfici e dA     E u dA con i 1, 2,..........., Ni iN

  N N N         E E u dA E u u dA E dArS i i iN N  i 1 i 1 i 1

  Infatti il prodotto scalare u u 1 ed E ha modulo costante r N   P S    Q Q     2 2E E 4 r 4 r S   24 r 00

  Quindi E attraverso la sfera è proporzionale alla Q e non ES  dipende da r.

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Q S 1S 2 Il flusso di E attraverso ognuna delle superfici sferiche concentriche Q S oppure S è: 1 2 0

Si può dimostrare che questo risultato vale per ogni superficie chiusa di forma qualsiasi, indipendentemente dalla posizione della carica totale Q.

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Legge di Gauss (1785)

Il flusso del campo E attraverso una qualsiasi superficie chiusa S che racchiude una carica netta Q è:   Q  E S 0

Le dimensioni del flusso sono:   N      2E E S m (S.I