Fisica matematica - Teoria

Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti

Omogenea

x(t) + a x_̇(t) + b x(t) = 0
λ² + a λ + b = 0
λ_1,2 = ^{-a ± √Δ} / ₂
Δ = a² - 4b

1. Δ > 0

x(t) = C₁ e^λ₁t + C₂ e^λ₂t

2. Δ = 0

x(t) = C₁ e^λ_tt + t C₂ e^λt

3. Δ < 0

d = -^α / ₂ β = ^√-Δ / ₂
x(t) = e^dt ( C₁ cos βt + C₂ sin βt )

Non omogenea

x(t) + a x_̇(t) + b x(t) = f(t)

1. Ricorrese l'equazione omogenea associata e trovere la soluzione particolare x₀(t)
2. Integrare pert. oltre dell'equazione non omogenea x_p(t)

x(t) = x_o(t) + x_p(t)

m x_̇̇ + k x = G₀
x_part = ^G₀ / _k
m x_̇̇ + k x_̇ = G₀
x_part = ^G₀ / _k

Equazioni differenziali di secondo ordine a coefficienti costanti

X^¨(t) + a X^˙(t) + b X(t) = f(t)
f(t)=0 Omogenea
f(t)≠0 Non omogenea

Omogenea

X^¨(t) + a X^˙(t) + b X(t) = 0
Si costruisce l'equazione caratteristica associata al sistema
λ² + a λ + b = 0
λ_1,2 = ^{-a ± √Δ}/₂
Δ = a² - 4b

1. Δ > 0 λ₁ ≠ λ₂

X(t) = C₁ e^λ₁t + C₂ e^λ₂t

2. Δ = 0 λ

X(t) = C₁ e^λt + t C₂ e^λt

3. Δ < 0 soluzioni complesse α = ^-a/₂ β = ^√-Δ/₂

X(t) = e^αt (C₁ cos βt + C₂ sin βt)

Non omogenea

X^¨(t) + a X^˙(t) + b X(t) = f(t)

1. Risolvere l'equazione omogenea associata e trovare la soluzione particolare X₀(t)
2. Integrare particolare dell'equazione non omogenea X_p(t)

X(t) = X₀(t) + X_p(t)

m X^¨ + k X˙ = G₀
X_part = ^G₀/_k

Il momento di una forza

Il momento di una forza non dipende dal suo punto di applicazione

Ma = (P - Q) x F

Prendo ora in considerazione (F-Q')
(P-Q') = (P-Q) + (Q-Q')
Calcolo ora il momento in A:
Ma = (P-Q') x F = (P-Q) x F + (Q-Q') x F
Però il vettore (P-Q') è // a F pertanto il loro prodotto vettoriale è nullo Ma = 0
Riscrivo così l'equazione:
0 = Ma + (Q-Q') x F
Ma = (P-Q) x F = (Q-Q') x F
Con ciò abbiamo dimostrato che il momento rispetto ad un polo E dipende della distanza tra il polo e il reto di applicazione

Sistema di vettori

{(p_i; F_i)} i = 1,...,N

R̄ = Σ_i=1^N F_i

M̄_a = Σ_i=1^N (p_i - a) x F_i

Sistema equilibrato o bilanciato => R̄ = 0 & M̄_a = 0

Trasformazione di coordinate

(x,y) → (ρ,φ)

Il punto non viene più univocamente determinato

Eleviamo tutto il quadrato e sommiamo → x² + y² = ρ² cos² φ + ρ² sen² φ
x² + y² = ρ² → ρ = √(x² + y²)
Dividiamo la seconda espressione per la prima → y/x = sen φ/cos φ
Y/X = tan φ → φ = arc tan Y/X

(x,y,z) → (ρ,φ,β)

{X = ρ cos φ sen β
Y = ρ sen φ sen β
Z = ρ cos φ

Eleviamo tutto il quadrato e sommiamo → x² + y² + z² = ρ² cos² β sen² φ + ρ² sen² φ sen² β + ρ² cos² φ cos² β
x² + y² + z² = ρ² → ρ = √(x² + y² + z²)
Divido le seconde per la prima → y/x = φ sen β cos φ
Dividiamo la prima e la seconda per la terza → β = arc tan Z/√(x² + y²)

Curva regolare

Una curva è regolare se:

1. X: I di classe ^C∞
2. X' è invertibile