Fisica III - la conservatività

1. Rotore del campo elettrostatico

3. Conservatività in forma locale

Dalla conservatività del campo elettrico discendono le relazioni che legano le componenti del campo stesso al potenziale: E_x = −∂V/∂x; E_y = −∂V/∂y; E_z = −∂V/∂z.

Poiché il campo elettrostatico è conservativo, esso sarà caratterizzato dall’avere circuitazione nulla: ∮_L E·dl = 0 su qualunque linea chiusa appartenente al dominio di definizione del campo stesso.

Se sussistono le ipotesi del teorema di Stokes (il campo vettoriale in questione deve avere componenti continue insieme alla sue derivate parziali prime su tutti i punti di S e di L), allora si può affermare, per il teorema suddetto, che la circuitazione di E lungo una linea chiusa L (che è nulla per la conservatività del campo) è pari al flusso del rotore di E attraverso la superficie S racchiusa da L: ∮_L E·dl = ∫_S rotE·dS = 0.

Derivando opportunamente ognuna delle precedenti relazioni si ricava: ∂E_y/∂x = −∂²V/∂x∂y; ∂E_x/∂y = −∂²V/∂y∂x; ∂E_z/∂x = −∂²V/∂x∂z; ∂E_x/∂z = −∂²V/∂z∂x; ∂E_z/∂y = −∂²V/∂y∂z; ∂E_y/∂z = −∂²V/∂z∂y.

Ma, per il teorema di Schwartz, le derivate seconde miste sono indipendenti dall’ordine di derivazione e, dunque, si ha: (1) e (3) ⇒ ∂E_y/∂x = ∂E_x/∂y; (2) e (5) ⇒ ∂E_z/∂x = ∂E_x/∂z; (4) e (6) ⇒ ∂E_z/∂y = ∂E_y/∂z.

Queste tre relazioni implicano che il rotore del campo è nullo, infatti: rotE = ∇ × E = (∂E_z/∂y − ∂E_y/∂z)i + (∂E_x/∂z − ∂E_z/∂x)j + (∂E_y/∂x − ∂E_x/∂y)k = 0.

Poiché questa relazione vale per ciascuna linea chiusa e per ciascuna superficie che abbia tale linea come contorno, deve essere nullo l’integrando: rotE = ∇ × E = 0.

Tale uguaglianza esprime la conservatività del campo in forma locale e si enuncia dicendo che il campo elettrostatico è irrotazionale.

All’inverso, la relazione rotE = 0 non implica necessariamente che il campo elettrostatico sia conservativo ma ciò avviene certamente se il dominio di definizione del campo stesso risulta essere semplicemente connesso.

Quest’ultima proprietà significa che due punti qualsiasi del campo devono essere congiungibili con una linea continua tutta appartenente al campo stesso e che qualunque linea chiusa appartenente al campo può essere fatta convergere ad un punto qualsiasi continuando ad appartenere al campo stesso.

La proprietà precedente può essere anche ricavata osservando che, dalla conservatività del campo elettrostatico, segue l’esistenza della funzione potenziale tale che E = −∇V e, dunque: rotE = ∇ × E = −∇ × ∇V = −rot gradV = 0, perché il rotore del gradiente di qualsiasi funzione scalare della posizione che ammetta derivate parziali continue fino al secondo ordine è nullo.

Per dimostrare questo basta osservare che: rot gradV = i(∂²V/∂y∂z − ∂²V/∂z∂y) + j(∂²V/∂z∂x − ∂²V/∂x∂z) + k(∂²V/∂x∂y − ∂²V/∂y∂x).

Ma, per il teorema di Schwartz, le derivate seconde miste sono indipendenti dall’ordine di derivazione, il che comporta che le tre componenti di rot gradV siano nulle.

2. Campo dal potenziale

La definizione di potenziale elettrico comporta che esso sia legato al campo elettrico dalla seguente relazione differenziale: E·dl = −dV (*).

Ciò implica che il campo elettrico può essere ricavato a partire dal potenziale applicando un opportuno operatore differenziale. Per mostrare ciò basta osservare che, se siamo in coordinate cartesiane, allora si avrà: dV = (∂V/∂x)dx + (∂V/∂y)dy + (∂V/∂z)dz (**).

Uguagliando la (*) con la (**) si ottiene: E·dl = −gradV·dl, con dl = (dx, dy, dz).

Inoltre, dalla relazione: dV = (∂V/∂x)dx + (∂V/∂y)dy + (∂V/∂z)dz = gradV·dx + gradV·dy + gradV·dz, che deve valere per qualunque valore di dl = (dx, dy, dz), si ricavano, per confronto fra secondo e terzo membro, le espressioni delle componenti cartesiane del campo elettrico in funzione del potenziale: E = −gradV; E_x = −∂V/∂x; E_y = −∂V/∂y; E_z = −∂V/∂z.

4. Energia del campo elettrostatico

Ci proponiamo di ricavare l’energia elettrostatica in termini di campo elettrostatico. Consideriamo a tal fine l’energia di una distribuzione continua di carica: U = 1/2 ∫_V ρVdτ, dove ρ(x,y,z) rappresenta la densità di carica, V il potenziale in τ e dτ l’elemento di volume intorno al punto.

Tenuto conto della prima equazione di Maxwell, secondo cui ∇·E = ρ/ε₀, la precedente espressione può essere così trasformata: U = ε₀/2 ∫_V V∇·Edτ.

Ricorrendo alla definizione dell’operatore nabla, si dimostra facilmente la seguente proprietà generale: ∇·(VE) = ∇V·E + V∇·E = −E² + V∇·E, avendo ricordato che ∇V = −E.

Tenendo conto di ciò, l’espressione dell’energia può essere ulteriormente trasformata: U = ε₀/2 ∫_V V∇·Edτ = ε₀/2 ∫_V [∇·(VE) + E²]dτ.

D’altra parte, per il teorema della divergenza, si ha: ∫_V ∇·(VE)dτ = ∫_S VE·dS, da cui: U = ε₀/2 ∫_S VE·dS + ε₀/2 ∫_V E²dτ.

Dove τ è un qualunque volume che comprende tutta la distribuzione di carica al suo interno ed S è la superficie che racchiude τ.

Il secondo termine della somma, che è l’integrale di volume di una quantità definita positiva, all’aumentare del volume va aumentando, almeno fino a che non diviene così grande da contenere tutto lo spazio in cui il campo elettrostatico prodotto dalla distribuzione di carica sia apprezzabilmente diverso da zero.

Di pari passo, va diminuendo il valore del primo termine della somma, siccome V è proporzionale ad 1/r ed E ad 1/r², per r che diverge, l’integrando va a zero come 1/r³ e, se il volume di integrazione diviene così grande da contenere tutto lo spazio in cui il campo è apprezzabilmente non nullo, allora si annulla il contributo dell’integrale di superficie e si può scrivere: U = ε₀/2 ∫_{TUTTO LO SPAZIO} E²dτ.

Può essere, dunque, introdotta la quantità: u = ε₀E²/2 (*) che viene denominata densità di energia elettrostatica e rappresenta l’energia di un sistema di cariche per unità di volume.

Per ottenere l’energia di una distribuzione di carica la (*) deve essere integrata su tutto lo spazio, dunque tale definizione non dà un’idea della localizzazione dell’energia.

5. Densità d’energia elettrostatica

L’energia elettrostatica di un sistema di cariche può essere calcolata in un punto dello spazio (x, y, z) in termini del campo elettrico e del potenziale come segue: U = ε₀/2 ∫_S VE·dS + ε₀/2 ∫_τ E²dτ.

Dove V rappresenta il potenziale nel punto considerato, τ è un qualunque volume che comprende tutta la distribuzione di carica al suo interno ed S è la superficie che racchiude τ.

Fissata la distribuzione di carica, il secondo termine della somma, che è l’integrale di volume di una quantità definita positiva, all’aumentare del volume va aumentando, almeno fino a che non diviene così grande da contenere tutto lo spazio in cui il campo elettrostatico prodotto dalla distribuzione di carica sia apprezzabilmente diverso da zero.

Di pari passo, va diminuendo il valore del primo termine della somma, siccome V è proporzionale ad 1/r ed E ad 1/r², per r che diverge, l’integrando va a zero come 1/r³ e, se il volume di integrazione diviene così grande da contenere tutto lo spazio in cui il campo è apprezzabilmente non nullo, allora si annulla il contributo dell’integrale di superficie e si può scrivere: U = ε₀/2 ∫_{TUTTO LO SPAZIO} E²dτ.

Può essere, dunque, introdotta la quantità: u = ε₀E²/2 (*) che viene denominata densità di energia elettrostatica e rappresenta l’energia di un sistema di cariche per unità di volume.

Si può così interpretare l’energia elettrostatica di un sistema di cariche come una quantità dislocata nello spazio ovunque il campo elettrico risulti diverso da zero e caratterizzata da una densità di energia data dalla (*).

Integrando la densità di energia su tutto lo spazio si può ricavare, quindi, l’energia elettrostatica del sistema di cariche in esame: U = ∫_{TUTTO LO SPAZIO} udτ.

Qualora l’integrale della densità di energia venga, però, eseguito su un volume dτ più piccolo di quello contenente interamente il campo elettrostatico, per ottenere l’energia elettrostatica del sistema si deve tener conto di un termine aggiuntivo esprimibile come integrale di superficie, quindi: U = ε₀/2 ∫_S VE·dS + ∫_τ udτ.

Ne deriva che una tale definizione di densità di energia non dà un’idea della localizzazione dell’energia stessa.

7. Interno dei conduttori

Un conduttore è un oggetto, molto spesso metallico, nel quale vi sono elettroni liberi di muoversi sotto l’azione di un campo elettrico.

Si dice che un corpo siffatto è in equilibrio elettrostatico quando la sua distribuzione di carica è costante nel tempo, cioè quando le cariche in esso immagazzinate sono ferme.

Poiché le cariche interne ad un conduttore si muovono se sottoposte ad un campo elettrico, in elettrostatica il campo elettrico internamente ai conduttori è nullo.

Ciò implica che, in condizioni stazionarie, il lavoro necessario per spostare una carica da un punto all’altro dell’interno di un conduttore è quasi nullo.

Inoltre, siccome internamente al conduttore E = −gradV = 0, si ha che il volume interno del conduttore stesso è equipotenziale.

Infine, essendo E = 0 in tutti i punti interni al conduttore, si avrà che Φ = ∫_S E·dS = 0 per qualsiasi superficie interna al conduttore o, equivalentemente, che divE = 0.

Dunque, essendo per il teorema di Gauss divE = ρ/ε₀, si ottiene che la densità di carica è nulla in tutti i punti interni al conduttore e, cioè, che la carica immagazzinata in un conduttore in equilibrio elettrostatico si dispone lungo sua la superficie.

8. Condensatore sferico mediante Laplace

Per calcolare la capacità di un condensatore sferico utilizziamo l’equazione di Laplace e, in particolare, data la specifica simmetria del problema, la sua forma in coordinate sferiche: ∇²V = 1/r² ∂/∂r(r²∂V/∂r) + 1/(r²sinθ) ∂/∂θ(sinθ∂V/∂θ) + 1/(r²sin²θ) ∂²V/∂φ² = 0.

Essendo V indipendente da θ e φ, per il caso in esame si riduce a: 1/r² d/dr(r²dV/dr) = 0.

Affinché tale equazione sia soddisfatta si deve necessariamente avere che r²dV/dr = k, da cui si ricava l’espressione del campo elettrico in funzione di k e, da quest’ultima, l’espressione del potenziale elettrostatico: dV/dr = k/r²; E = −dV/dr = −k/r²; V = k/r + A (*), essendo A una qualunque costante di integrazione.

Per ricavare k basta osservare che la carica sulla prima armatura di raggio R₁ risulta: Q = σ4πR₁², in cui σ è la densità superficiale di carica e 4πR₁² l’area dell’armatura.

D’altra parte, per il teorema di Coulomb, si ha: E(R₁) = Q/(4πε₀R₁²) e, sostituendo l’espressione trovata per il campo elettrico, si può, infine, ricavare k: −k/R₁² = Q/(4πε₀R₁²) ⇒ k = −Q/(4πε₀).

Sostituendo questa espressione nella (*) si ottiene la tensione ΔV = V(R₂) − V(R₁) = Q/(4πε₀)(1/R₁ − 1/R₂) e, da questa, la capacità cercata: C = Q/ΔV = 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁).

16. Poisson e Laplace

Consideriamo una certa distribuzione di carica fissa nello spazio vuoto descritta dalla funzione densità di carica ρ(x, y, z). Il campo elettrostatico generato dal sistema di cariche soddisferà le equazioni: divE = ρ/ε₀, rotE = 0 (*).

La seconda relazione esprime in forma locale la conservatività del campo elettrostatico ed implica l’esistenza della funzione potenziale V₀ legata ad E dalla relazione: E = −gradV₀ (**).

Dalla (*) e dalla (**) si ricava che: div gradV₀ = ∇·∇V₀ = −ρ/ε₀, da cui: ∇²V₀ = −ρ/ε₀ (***).

L’operatore nabla quadro è detto laplaciano e la relazione (***) prende il nome di equazione di Poisson.

Il teorema di unicità della soluzione dell’equazione di Poisson afferma che, fissata la funzione ρ(x, y, z) localizzata in una porzione finita di spazio, la (***) ammette una sola soluzione che soddisfi specificate condizioni al contorno del dominio di definizione.

L’equazione di Poisson può essere semplificata nel caso non siano presenti cariche localizzate ed il campo elettrico sia generato da un sistema di conduttori i = 1, ..., N aventi geometria e potenziali noti, problema di Dirichlet.

In tal caso la (***) si riduce alla relazione: ∇²V₀ = 0, detta equazione di Laplace, che può essere univocamente risolta per determinare il valore del potenziale V₀(x, y, z) in tutto lo spazio circostante i conduttori.

9. Equazioni di continuità

Consideriamo una superficie chiusa Σ che, all’istante t, racchiuda la carica totale: Q = ∫_τ ρdτ.

11. Potenziale elettrostatico

Ogni campo vettoriale avente componenti continue insieme alle loro derivate parziali prime può essere espresso tramite la combinazione del gradiente di un campo scalare e del rotore di un campo.