Fisica II (generale)

Teorema di Gauss

Superficie chiusa

\[ \int \vec{E} \cdot \hat{n} \, ds = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{q \, d\ell}{r^2} \cdot \hat{n} \, ds \]

\[ = \frac{1}{\epsilon_0} \int \vec{E} \cdot d\vec{\Omega} \]

\[ \int d\Omega = \frac{q}{\epsilon_0} \]

Abbiamo trovato le prime equazioni di Maxwell in forma integrale.

Teorema di Gauss

\[ \int \vec{E} \cdot \hat{n} \, ds = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0} \]

Applicazione del teorema

Consideriamo un filo infinito\[ \vec{dE}_1 \] \[ \vec{dE}_2 \] Se voglio il campo in un punto prossimale un cilindro

\[\Phi_E = \int_S \vec{E} \cdot \hat{n} \, ds = \int_S \vec{E}(\vec{r}) \, ds = \vec{E}(\vec{r}) \, dS = \vec{E}(\vec{r}) (2 \pi r \, \ell) \]

Versione normale alla superficie

d_Φ1 = Ē_tot·n̂ dS = (ZĒ·n̂)·n̂ dS - Σ(Ē_I·n̂ dS) = Ż d_Φ

Φ₁^tot = ∮₁·d_Φ1^tot = ∫(Ż d_Φ...) = Σ ∫ d_Φ = Σ̇q_I/ε₀

Abbiamo quindi le prime equazioni di Maxwell in forme integrali.

Teorema di Gauss

∮Ē·n̂ dS = Q_int/ε₀

Applicazione del teorema

Consideriamo un filo infinito. Se vogliamo calcolare il campo in un punto esterno a un cilindro:

\[\Phi;_E = ∮Ē·n̂ dS = ∮Ē(_I) dS = Ε̇ (x̂) (2π ε l)\]

A questo punto per il teorema di Gauss:

\[_E = E(r)(2πrL) = Q_int / ε₀ \rightarrow E(r) = λ / 2πε₀r\]

Consideriamo un piano infinito

Calcoliamo il flusso attraverso il parallelepipedo. Oppure consideriamo un cilindro. _E = EA + EA = 2EA → per Gauss* = Q_int / ε₀ = σA / ε₀ → E = σ / ε₀

Consideriamo una sfera minimamente carica

Elettrica di fuori dalle sfere:

\[p = Q / (4/3\pi;R³)\]

Risolviamo dell'integrale

_E = E(r)(4πr²) = Q_int / ε₀ - Q / ε₀GaussE(r) = Q / 4πε₀ r

Consideriamo di là dentro le sfere:

\[Q_intE = E(r)(4πr²) = Q_int / ε₀ - p (4/3\pi;r³) / ε₀\]

\[E(r) = pr / 3ε₀^rr \]

Grafico del campo E

E(r)α = proporzionale campo elettrico

dE₁ = |^σdS₁/_4πε0r²|= ^{σ dΩ}/_4πε0

dE₂ = ^σdS₁/_4πε0r² = ^{σ dΩ}/_4πε0

dE₁ + dE₂ = 0

Consideriamo una superficie chiusa e il suo flusso

\[\Phi; = ^ⓢ∮&c^→· dSV_s = racchiuso da S₁ = S_a + S_b\]

V_i = racchiuso da S₂ = S_b + S_ab Flusso da S₁ + S₂

Calcoliamo

\[\Phi;_s = flusso attraverso S₁ = ⌠_dS2∮Ē^→· dS + ⌠_Sab∮&c^→\]

\[\Phi;_i = flusso attraverso S₂ = ⌠_S2∮Ē^→· dS + ⌠_Sab∮&c^→n₂ dS\]

Sommando ottengo:

\[\Phi;_i + ∮Ē^→· dS = ⌠_S2∮c_s d· Ē, dS = Φ∅₂ = ∫_C2\]

  ∅₂ = ∫_C2  ∅₂ =∅₂ = -C_x(1)(Δy)Δz + [C_x(1) + дx/дx Δx](Δy)Δz) == − д/(dcy;x) [C_x(1)(Δx)(Δy)(Δz) = дC_x дx (ΔV)]&;amp;emptyset;_Tot = ∅₁ + ∅₂ + ∅₃ + ∅₄ + ∅₅ + ∅₆ = [−∅(dcy;x) + ∅(dcy;y) + ∅(dcy;z)]∅ΔV_C di ∅ =∅ = ∫_V    ∅ = ( ∅ )&Emptyset; di &empty