Fisica II - Elettromagnetismo

Fisica II

Indice

• Elettrostatica
• Carica elettrica
• Densità di carica elettrica
• Legge di Coulomb
• Campo elettrico
• Teorema di Gauss
• Flusso di un campo vettoriale
• Flusso del campo elettrico
• Teorema di Gauss
• Potenziale elettrico
• Energia potenziale elettrica
• Condensatore
• Capacità
• Condensatore piano
• Condensatore cilindrico
• Condensatore sferico
• Condensatori in serie e in parallelo
• Energia immagazzinata nel condensatore
• Densità di energia elettrostatica
• Corrente elettrica
• Densità di corrente
• Resistenza
• Prima legge di Ohm
• Seconda legge di Ohm
• Resistori in serie e in parallelo
• Potenza
• Circuiti elettrici
• Forza elettromotrice
• Leggi di Kirchhoff
• Circuiti RC
• Circuitazione
• Magnetismo
• Campo magnetico
• Forza di Lorentz
• Cariche in moto circolare uniforme
• Effetto Hall
• Forza magnetica su cariche in moto
• Spira percorsa da corrente in un campo magnetico
• Lavoro ed energia potenziale magnetica
• Legge di Ampere
• Legge di Laplace
• Legge di Biot-Savart
• Spira circolare
• Legge di Ampere
• Solenoidi e toroidi
• Induzione elettromagnetica
• Legge dell'induzione di Faraday
• Legge di Lenz
• Autoinduzione e induttanza
• Induttore
• Energia immagazzinata nel campo magnetico
• Circuiti RL
• Equazioni di Maxwell
• Equazioni di Maxwell in forma integrale
• Legge di Gauss del campo elettrico
• Legge di Gauss del campo magnetico
• Legge di Faraday-Neumann-Lenz
• Legge di Ampere-Maxwell
• Considerazioni finali
• Formulario di Fisica II
• Costanti fondamentali

Elettrostatica

Carica Elettrica = 1.6021 ⋅ La carica elettrica è sempre un multiplo della carica dell’elettrone o detta carica elementare: e−1910 [C] si misura in Coulomb C

Densità di carica

La densità di carica, o la distribuzione di carica, indica il rapporto tra la quantità di carica presente in una data regione e la regione stessa.

dq Q= =

Densità di carica lineare: se la linea è uniformemente carica allora λ(x) L λdl Ldq Q= =

Densità di carica superficiale: se la superficie è uniformemente carica allora σ(x, y) S σdS Sdq Q= =

Densità di carica volumica: se il volume è uniformemente carico allora ρ(x, y, z) V ρdV V

È utile riferirsi alla densità di carica quando si hanno degli oggetti uniformemente carichi, poiché abbiamo una relazione che lega la carica con la geometria del corpo.

Legge di Coulomb

La legge di Coulomb è stata formulata sperimentalmente e descrive la forza che sentono due oggetti carichi, in genere particelle puntiformi ferme nello spazio, quando si trovano a una certa distanza r⁍ dove è il versore che indica la direzione che congiunge le due cariche e il verso della forza è stabilito dal ur −12= 8.854 ⋅ 10 F segno delle cariche. Inoltre è la permettività elettrica o costante dielettrica del vuoto. ϵ 0 m 1Q Q1 2=

La legge si può trovare anche nella forma , dove è la costante elettrica che vale . Si F k u ke r e 4πϵ2r 0 noti l’analogia con la legge di gravitazione universale di Newton.

Campo Elettrico

Campo Elettrico (x, Il Campo Elettrico è un campo vettoriale di forze che assegna ad ogni punto dello spazio un vettore E y, z) forza. Il campo elettrico è generato dalla presenza di cariche elettriche.

F F −1= [ ] = ⋅ E E N Cq0q Q0= Sia con una carica di prova posizionata nello spazio a una distanza dalla carica sorgente F u q r0r24πϵ r0, la carica di prova sentirà la forza data dal Campo Elettrico generato dalla carica sorgente . Quindi Q q F Q0= ⋅ . F q E0

Nel caso di cariche puntiformi il campo elettrico sarà dato dalla seguente legge: Q(x, =E y, z) 4πϵ 2r0 Il Campo Elettrico può essere rappresentato attraverso le sue linee di forza nel seguente modo: con linee uscenti per le cariche positive e con linee entranti per cariche negative. Il Campo elettrico gode della proprietà di sovrapposizione: n= + + ... + = ∑ E E E E E1 2TOT n ii=1

Teorema di Gauss

Flusso

Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata, ed è l'integrale di superficie del prodotto scalare del campo vettoriale con il versore normale della superficie, esteso su tutta la superficie stessa. ⁍

Flusso del Campo Elettrico

Il flusso elettrico misura il campo elettrico su una data superficie. E’ proporzionale al numero di linee di campo elettrico che attraversano una superficie. ⁍ Φ = ⋅ =

Se il Campo Elettrico è uniforme, allora il flusso è E S E S cosθ E

Teorema di Gauss

Il flusso del Campo Elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale al rapporto tra la carica totale interna e la costante dielettrica: ⁍

Quindi il flusso del campo elettrico in una superficie chiusa esiste solo se la carica che genera il campo si trova dentro la superficie chiusa, altrimenti una carica esterna genera linee di campo elettrico che entrando e uscendo dalla superficie chiusa danno un contribuiscono al flusso elettrico pari a zero. Il teorema di Gauss rappresenta la prima delle quattro equazioni di Maxwell.

Potenziale Elettrico

Energia Potenziale Elettrica

Come nella meccanica bisogna distinguere i diversi tipi di forze, conservative e non conservative. Ricordiamo che ΔU ΔU = −L l’energia potenziale è definita solo per forze conservative. E si ha che . Si dimostra che la AB AB forza elettrica è una forza conservativa, cioè che il lavoro compiuto per spostare un corpo da un punto a un AB∫= ⋅ punto non dipende dal percorso, . Si noti l’analogia della forza elettrica con la forza B L F dS AB A q q m m1 2 1 2= = gravitazione di Newton: entrambe sono inversamente F k F G elettrica gravitazionale 2 2 r r proporzionali all’inverso del quadrato, ed entrambe le forze sono conservative. Quindi possiamo definire una Energia Potenziale Elettrica. L'energia potenziale elettrica di un sistema di particelle puntiformi fisse è uguale al lavoro che un agente esterno deve fornire per aggregare il sistema stesso, trasportando ogni carica nella sua posizione finale da una distanza infinita. Si suppone che le cariche siano in quiete nelle posizioni iniziale e finale. q Q= l’energia potenziale elettrica in un punto è il lavoro per portare una carica da una distanza U A A 4πϵ r0 A infinita alla posizione . A

[ ] 1 1 1 B r r q Q∫ ∫ ∫ B B= ⋅ = = = − = L F d S F dr dr AB e 24πϵ 4πϵ r r 0 0 A r A A r A

( )1 1 q Q q Q q Q= − = − = − = − ΔU U U A B AB 4πϵ 4πϵ 4πϵ r r r r 0 0 0 A B A B q Q= +∞ → 0 Se il punto iniziale si trova a una distanza infinita, quindi , allora possiamo definire A r A 4πϵ r0 A= −L solamente l’energia potenziale nel punto come: , con il lavoro compiuto da un agente B U L B AB A B esterno per portare la carica da una posizione a distanza infinita , fino alla posizione finale . q A B

Potenziale Elettrico

L’energia potenziale dipende dalla carica di prova che si muove in un campo elettrico generato da una carica sorgente. Il potenziale elettrostatico dipende solo dalla carica sorgente ed è un campo scalare che ad ogni punto dello spazio associa un valore scalare di potenziale. È un analogo del campo elettrostatico ma con la differenza che non è un vettore. Ecco alcune formule:

• L_AB = − ΔV → Differenza di Potenziale (d.d.p.)
• ΔU B∫= ΔV ΔV = − ⋅ = −∇V → →E dl E q

( )∂V ∂V ∂V = − ,− ,− in coordinate cartesiane significa: E ∂x ∂y ∂z

Le cariche positive vanno sempre verso il potenziale minore. Mentre quelle negative verso il potenziale maggiore. (x , , ) Quindi dato il punto e il punto . Non ci interessa molto il valore effettivo del potenziale in A(x, y, z) P y z0 0 0, ma dato un punto di riferimento ad un un certo potenziale noi possiamo calcolare il potenziale A P V V P A ΔV conoscendo la differenza di potenziale , associando a un potenziale qualunque, per esempio zero. V P P

∫ΔV = − = − ⋅ V V E dl A P A x,y,z∫= + ΔV = (x , , ) − ⋅V V V y z E dl0 0 0 A P ,y ,zx 0 0 0

Nel caso di una carica puntiforme, il potenziale di riferimento si può scegliere a una distanza infinita e ha valore zero. In generale il potenziale ha una simmetria sferica e si calcola: Q=V A 4πϵ r0 A

Le linee di campo elettrico vanno dai punti a potenziale maggiore verso i punti a potenziale minore.

Formule riassuntive

Condensatori

Capacità

La capacità di un conduttore è una grandezza fisica che esprime la “capacità” (o l’attitudine) di contenere carica elettrica mantenendo un certo potenziale elettrico. ⁍1 C1 = L’unità di misura è il faraday → .F F 1 V La capacità dipende dalla geometria del conduttore.

Condensatori

Il condensatore è un dispositivo in grado di immagazzinare energia potenziale.

+Q −Q È costituito da due conduttori chiamati armature. Se i conduttori sono carichi con e allora il ∣Q∣ condensatore si dice che è carico con una carica . Q= ΔV La capacità di un conduttore è dove è la d.d.p. ai capi del condensatore. C ΔV

Condensatore Piano

2σ σd∫= ΔV = ⋅ = = In un condensatore piano , quindi dove è la distanza tra le armature. E E d l Ed dϵ ϵ0 01Q A= = = Inoltre . Quindi Q σA C ϵ 0ΔV d

Condensatore Cilindrico

Il calcolo della capacità in un condensatore cilindrico è il seguente:

Φ = = = 2πrL Sapendo che la superficie del cilindro è ES E2πrL SQ Q Φ = = Dal teorema di Gauss sappiamo che , allora E 2πϵϵ rL0 0 Dati e rispettivamente il raggio del cilindro interno e di quello esterno, R R1 2 ( )R Q R2∫ 2ΔV = ⋅ =E d r ln2πϵ L R0 1R 1 2πϵQ L0= =C ΔV ( )R2ln R1

Condensatore Sferico

Q=E 24πϵ r0 ( )R 2 Q R R∫ 1 2ΔV = − ⋅ =E d r 4πϵ −