Riassunto Fisica II - Elettromagnetismo

Interazione elettrostatica

Legge di Coulomb nel vuoto

Legge di Coulomb (nel vuoto)

F = k_e * (q₁q₂ / r²) * u_r [N]

k_e = 8.9874 N m²/C²

Principi fondamentali

Principio di conservazione della carica

La carica netta totale di un sistema isolato non cambia.

Principio di sovrapposizione degli effetti

L'interazione elettrostatica si somma in modo lineare.

Campo elettrico e potenziale

Campo elettrico – forza che agisce su carica di prova unitaria E = F/q indipendente da valore o segno di q⁰

Distribuzione di carica – E = ∫ (ρ d³r')/(4πε₀ |r-r'|²)

[E] = C/m

Il campo elettrostatico è conservativo

• ∮ E · ds = 0
• Esiste V(r) tale che ∫_A^B E · ds = -(V_B – V_A)

Potenziale lavoro fatto su carica di prova

V = E – grad V

Potenziale – carica puntiforme V(r) = q/(4πε₀ r)

Distribuzione di carica V(r) = 1/(4πε₀) ∫ ρ d³r'

Lavoro e superfici equipotenziali

Lavoro

L_AB = -qΔV_AB = -ΔE_pot

F – grad E_pot

Superfici equipotenziali

Stesso potenziale elettrico in ogni punto.

Legge di Gauss e distribuzioni di carica

Legge di Gauss

∮ E · ds = Σ_i q_i/ε₀

Forma differenziale

div E = ρ/ε₀

Equazione di Poisson

Legge di Gauss + conservatività

Densità superficiale di carica σ = dq/dA

[σ] = C/m²

Distribuzione di carica piana uniforme indefinita

E = σ/(2ε₀)

Da piani infiniti uniformemente carichi

E – E₀

Interazione elettrostatica

Legge di Coulomb

^F = k_e ^q₁q₂/_{r² r̂}

Principio di conservazione della carica

La carica netta totale di un sistema isolato non cambia.

Principio di sovrapposizione degli effetti

L'interazione elettrostatica si somma in modo lineare.

Campo elettrico → forza che agisce su carica di prova unitaria:

_F/^q₀ = _q1(4πϵ₀r²)^-1 _r̂

Distribuzione di carica:

^E = ∫ _^ρ(ŕ⁾/^{4πε₀(r-ŕ)2} dV

[^E] = C/m

Il campo elettrostatico è conservativo

∮ ^E·ds = 0

Esiste V(r) tale che ∫_A^{B E}·d_s = -(V_B-V_A)

*Potenziale* carica puntiforme V(r) = q/(4πε₀r)

Lavoro: W_AB = -qΔV_AB = -ΔE_pot

^F = -∇E_pot

Superfici equipotenziali → stesso potenziale elettrico in ogni punto.

Legge di Gauss

Forma integrale ∮ ^E·d^s = Σ_i q_i/ε₀

Forma differenziale ∇·^E = ^ρ/_ε0

Legge di Gauss + conservatività = Equazione di Poisson

σ = ^dq/_dA

Densità superficiale di carica σ =

Distribuzione di carica piana uniforme indefinita:

^E =

Conduttore in campo elettrico

Conduttore in campo elettrico: le cariche si dispongono sulle superfici, creando un campo elettrico interno che, all'equilibrio, annulla il campo esterno.

Campo misurato = nullo all'interno, perpendicolare alle superfici

Condensatore

Condensatore

Q = C · ΔV   C: capacità

[C] =      = F (Farad)

Lavoro per caricare un condensatore

W_e = ½ Q ΔV = ½ C(ΔV)² = W energia del campo elettrostatico

Densità di energia del campo elettrostatico

w = ½ ε₀ E²

In presenza di un dielettrico → C = ε_r C₀     ε₀ → E =     ε₀

Polarizzazione e materiali

Polarizzazione

P = ε₀ χ_e E

Q = P · S

Campo elettrico in un materiale

E_M = E + P/ε₀

E =      +     

E_M = E0/ (1 + χ_e )

Legge di Gauss

∫ dS = Q/ε₀

Corrente elettrica e leggi

Corrente elettrica

I = ΔQ/Δt

[I] = C/s = A (Ampere)

Densità di corrente

j = nqq

[j] = A/m²

Legge di Ohm

ΔV = R · I

E · L = R · I · S

ρ = R · S/L

Potenza elettrica

P = I ΔV = RI²

Interazione magnetica

Forza di Lorentz

Forza di Lorentz

\(\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}\)

\([\vec{B}] = \frac{N s}{C m} = T\) (tesla)

\(\vec{F} = m \vec{a} = q \vec{v} \times \vec{B} \Rightarrow \vec{v} \; \text{non compie lavoro} \; (\vec{B} \; \text{non compie lavoro})\)

Principio di sovrapposizione

Legge di Ampere - Laplace e Biot - Savart

Legge di Ampere - Laplace

Sperimentale (Bornet)

\(\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{q \vec{v} \times \hat{u_r}}{|\vec{F} - \vec{r}|^2}\)

Legge di Biot - Savart

Campo magnetico generato da corrente rettilinea di lunghezza infinita:

\(\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} \hat{u_\theta}\)

Legge di Gauss e legge di Ampere

Legge di Gauss

Forma integrale

\(\Phi_B (\vec{S}) = \oint_S \vec{B} \cdot \; d\vec{s} = 0\)

Forma differenziale

\(\nabla \cdot \vec{B} = 0\)

Legge di Ampere

Forma integrale

\(\oint_\gamma \vec{B} \cdot \; d\vec{e} = \mu_0 I_\gamma\)

Forma differenziale

\(\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j}\)

Solenoide

Solenoide

Campo magnetico interno

\(\vec{B} = \frac{N}{L} \cdot n \cdot \vec{I}\)

Campo elettromagnetico nel tempo

Legge di Faraday - Henry

Legge di Faraday - Henry / legge dell'induzione elettromagnetica

fem = - d/dt ∫_S(_c(t)) B · dS → ∮ E · dl = - d/dt ∫_S(_P) B · dS

Forma differenziale:

∇ x E = - ∂B/∂t

Autoinduzione

Autoinduzione

∅_S(c)(t) = L i

L = ∫_S(c) (μ₀/4π) (∮ (dr̅ x ûr)/r² - r̅'²) û_n dS

Coefficiente di autoinduzione [L] = Wb/A = H

fem. autoindotta: V_L = -L di/dt

La legge di Ohm diventa V₀ + V_L - L di/dt = R i (legge di Ohm per circuiti RL)

Lavoro fatto dal generatore all'accensione e disperso in B:

W_S = ∫ L i di = ½ L i²

Accensione circuito:

i(t) = V₀/R (1 - e^-Rt/L)

Circuiti accoppiati

Circuiti accoppiati

∅₁ (B₂) = M i₂ ⇒ M = H

∅₂ (B₁) = M i₁

M₁₁ = ∫ (b²/2) i₂² + ¼ L₁ i₁² + M i₁ i₂

Proprietà magnetiche della materia

Vettore magnetizzazione

Vettore magnetizzazione - momento di dipolo magnetico per unità di volume

M = n m̅ / m

[M] = A/m

1 elettrone ⇒ m̅ = -S x ɡ

(dipoli magnetici microscopici)

Se c'è un ɡ, suo spin assegna coppia che tende a mettere m̅ ‖ B

I elettroni che si muovono in verso opposto → dipolo magnetico

(materiali privi di momento magnetico)

Momento di dipolo magnetico totale:

M(S·ɡ) = M̄·S

Materiali paramagnetici ⟨∇·M⟩_microscopico ≈ T_θ0^M

Campo magnetizzato

_B = μ₀(_H + _M), _H = _B/μ₀

Materiale: ferromagnetico

Energia del campo elettromagnetico

Energia del campo elettromagnetico:

W_E = 1/2 ε₀ E²

W_B = B²/μ₀ μ_r

Legge di Ampere-Maxwell ed equazioni di Maxwell

Corrente generalizzata

Legge di Ampere-Maxwell

∮_S j · d_S = -dq/dt

∮_S ρ d_S = -q = ε₀ ∮_S E · d_S

Densità di corrente generalizzata

Legge di Ampere - Maxwell

Forma integrale ∮_S B · d_l = μ₀ ∮_S(cp) J_t

Forma differenziale ∇ x _B = μ₀ J_t + μ₀ ε₀ ∂_E/∂_t

Equazioni di Maxwell

Equazioni di Maxwell

I) ∮_S ε₀ E = q/ε₀

II) ∮_S B · d_l = 0

IV) ∇ x _B = -∂_B/∂_t

III) ∮_S E · d_l = -∂_B/∂_t

Onde elettromagnetiche

Riscittura della legge di Faraday-Henry

Onde elettromagnetiche

Riscittura legge di Faraday-Henry

F-H: ∮E ⃗ ·dℓ⃗ = -d/dt ∫S(t) B ⃗ ·dS ⃗ d/dt ∮E ⃗ ·dℓ⃗ = -dB/dt ⌠∂E/∂t. (non dipende dal tempo)

Riscittura della legge di Ampère-Maxwell

Riscittura legge di Ampère-Maxwell

A-H: ∮B ⃗ ·dℓ⃗ = μ₀I + μ₀ϵ₀d/dt∫S(t) E ⃗ ·dS ⃗

-d²E/dx² = μ₀ϵ₀d²E/dt² - d²B/dx² μ₀ϵ₀d²E/dt² = d²B/dx²

d²E/dx²=-μ₀ϵ₀d²E/dt² d²B/dx²=-μ₀ϵ₀d²B/dt²

d²/dx² = μ₀ϵ₀d²/dt²

d²Ε/dx²=-1/c²d²Ε/dt² = μ₀ϵ₀d²E/dt²

Equazione d'Alembert e onde

Equazione di d'Alembert (equazione d'onda)

Sol: f(x+ct)+f(x-ct) (progressiva, regressiva)

d²E/dx²=μ₀ϵ₀d²E/dt²

E(x,t)=E₀cos(kx⎯ωt)+E(x⎯ct) B(x⎯ct), E(x⎯ct)

E(x,t)= E ̲ ₀sin[k(x⎯ct)]

B(x,t)= B ̲ ₀sin[k(x⎯ct)]

c = 1/sqrt(μ₀ϵ₀) c=3·10⁸ m/s velocità di propagazione delle onde E.M. nel vuoto

⌈E⃗⊥B⃗, ⌈E ̂, B ̂

E=CB (modulo) λ=cν=1/T

Fronti d'onda → superfici che ad ogni istante t presentano la stessa fase

Raggio - direzione di propagazione, ⊥ fronti d'onda

Sorgente dell'onda: dipolo oscillante → onda sinusoidale

p(t) = p₀ sin (ω t) → frequenza controllata dalla sorgente

Nel mezzo e indice di rifrazione

Nel mezzo:

μ₀ → μ_rμ₀

ε₀ → ε_rε₀ = 1 / √(μ₀ε₀) = c / √(μ_rε_r)

μ_rε_r 1 = c / √(ε_r)

n: indice di rifrazione

Teorema di Poynting

Potenza e flusso di energia

Teorema di Poynting

Volume V circondato da superficie S, con dentro N cariche in moto / unità di vol

= Fa su q ℰ̲ → potenza → q ℰ̲ · v̲

= ℰ forza → q ℰ̲ · v̲ → potenza → q v̲ x B̲ · v̲ = 0

Solo ℰ̲ fa lavoro

⇒ Potenza in volume:

∫_v q ℰ̲ · v̲ dV = ∫_v 1 / μ₀ ℰ̲ dV

Dalla (IV) di Maxwell Macros: j̲ → ∫_v 1 / μ₀ ∇̲ · (ℰ̲ x B̲) dV - ∂ / ∂t ∫_v (B² / 2μ₀ + ε₀ ℰ² / 2) dV/sub> 1/2 · ∂B² / ∂t

= μ₀ ε₀ ∂ℰ² / ∂t

= > ∂ / ∂t ∫_v (B² / 2μ₀ + ℰ² / 2) dV = - ∫_v j̲ · ℰ̲ dV - ∫_s ℰxB / μ₀ dS

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Variazione en elettrica e magnetica nelle volume

Lavoro sulle cariche

Flusso di energia EM che passa nella superficie S

Energia di fluire con il campo il campo EM trasporta energia

Vettore di Poynting

ℰxB̲ / μ₀

Energia E.M. "fluente" (W_em energia "residente")

= > ℰ → q ℰ̲ → ΔW = ∫ ℰ̲ dV

= > q ℰ → v̲ → ∫_v 1/ε₀ ℰ̲ · v̲

= 0

Ho cariche in moto con F̲ = q v̲ x B̲ → j̲ → F̲ = q v̲ x B̲

= direzione e verso di propagazione

F̲ esprime su superficie

ΔW / Δt = q E v

Δp = qvB = qv ℰ̲ = q Δp = ΔW / c

Δp = W_em / c

= > p = (W_em) / c quantità di moto dell'onda E.M.

Assorbimento totale → F̲ su = W̲_em

Riflessione totale → F̲ su = 2 W_em

Potenza media per unità di superficie

1/T ∫₀^T |Ē × B̅|/μ₀ dt = E₀²/2cμ₀

Sfera -> = E₀²/4πr²

Esperimento di Hertz

Esperimento di Hertz (1886)

Tutta l'energia viene riflessa

E(x,t) = E₀ e^i(kx-wt) - E₀ e^-i(kx+wt)

B_z(x,t) = B₀ e^i(kx-wt) + B₀ e^-i(kx+wt)

B_(x,t) = 2B₀sin(wt)cos(kx)

Se vedo spirale nei nodi la corrente in esso ė ammolle

Distanza tra i nodi cos 2π/λ x = 0 x = λ/2λ

Misurata per la prima volta

Elettromagnetismo e relatività

Elettromagnetismo e relatività

y', y'n x₀, x_y

Ovedo fermi (sorgente è ricevente fermi) l₀ = c Δt₀

l = c Δt₀

Contrazione delle lunghezze