Fisica generale - la meccanica statica

Meccanica

Cenni di statica

Meccanica: cenni di statica (I)

Statica

Un caso particolare della dinamica del corpo rigido è la statica del corpo rigido che significa lo studio delle condizioni per cui un corpo rigido è in equilibrio.

Il corpo rigido non può essere considerato come un punto materiale in quanto un corpo reale ha forma, dimensioni e massa distribuita.

Equilibrio

Per un corpo di questo tipo le condizioni di equilibrio sono che la risultante delle forze applicate sia nulla e che il corpo non abbia tendenza a ruotare e cioè più formalmente:

• La risultante delle forze esterne deve essere nulla: F i   0.
• La risultante dei momenti esterni deve essere nulla rispetto a qualsiasi polo τ i   0.

Equilibrio traslazionale

La prima condizione stabilisce l’equilibrio traslazionale: l’accelerazione del centro di massa del corpo, osservato da un riferimento inerziale, deve essere nulla.

Equilibrio rotazionale

La seconda condizione stabilisce l’equilibrio rotazionale: l’accelerazione angolare del corpo rispetto ad un asse qualsiasi deve essere nulla.

Meccanica: cenni di statica (II)

    Le due equazioni vettoriali e sono equivalenti a sei equazioni scalari relative F τ 0 0 i i i alle tre componenti di ciascuna equazione vettoriale.

In quanto segue, per evitare la difficoltà matematica di dover risolvere sistemi di equazioni lineari con molte incognite a causa della presenza di più forze agenti in direzioni diverse, si tratterà solo il caso in cui tutte le forze sono complanari, cioè giacenti sullo stesso piano, identificato come il piano xy.

In questo caso il sistema si riduce a solo 3 equazioni scalari:

• 2 equazioni relative al bilancio delle forze nelle direzioni x e y: F     F_x 0 ; F_y 0 x y i i.
• 1 equazione esprimente la condizione che, rispetto ad un qualsiasi punto del piano, il momento risultante è nullo: i i   0 zxy ii.

Per quanto concerne la terza equazione è importante osservare che i momenti possono essere calcolati intorno ad un asse qualunque.  

Si consideri un corpo su cui agiscono più forze tali che la loro risultante sia nulla F  0  i.

Fissato un polo O, se il punto di applicazione della generica forza F_i ha vettore di posizione r_i    i   , il momento risultante rispetto a O è allora τ_O  τ  r_i F_i O Oi i ii.

Ad un altro punto generico O’, avente rispetto ad O vettore posizione r  , la posizione r_i’     dell’i-esimo punto di applicazione della forza è r r      , per cui il momento risultante è τ τ r r F r F r F                     i i i i     se   ma, poiché la forza risultante, si ottiene per cui τ_O’ r F τ_O F F 0 O’ i i Oi ii.

Un corpo è in equilibrio traslazionale e il momento risultante è nullo rispetto ad un asse, è anche nullo rispetto a qualsiasi altro asse.

Meccanica: cenni di statica (III)

Nell’analizzare il moto dei corpi rigidi occorre considerare la forza di attrazione gravitazionale e quindi conoscere il suo punto di applicazione, di modo che l’insieme delle forze gravitazionali che agiscono sugli elementi di massa dm siano equivalenti ad un’unica forza che agisce in tale punto.

Per calcolare la posizione del punto di applicazione si può procedere in una maniera analoga a quanto si è fatto per calcolare le coordinate del centro di massa di un sistema di punti materiali.

 Si supponga che l’accelerazione g sia uniforme su tutto il corpo: ogni elemento di massa dm ha coordinate x, y, z ed è sottoposto ad una forza peso pari a (d ) CG m g x,x y,y z centro di gr