Fisica generale: energia e lavoro

ENERGIA e LAVORO

LAVORO: Prendiamo una forza costante nel tempo; faccio fare uno spostamento AB al punto di applicazione di F. Definiamo il lavoro come

L_AB = F • AB = F • (r_B - r_A) = F • Δr prodotto scalare

• _L > 0 se Θ < π/2 → LAVORO MOTORE
• _L = 0 se Θ = π/2
• _L < 0 se Θ > π/2 → LAVORO RESISTENTE

Estensione a F non costante (varia variando la posizione)

∑_i=1 F(t_i) • Δr_i = L_AB

→ Divido lo spostamento in segmenti infinitesimi Δr_i → 0 → Limite

L_AB = ∫_A^B F • dr

Nel caso di più forze, il lavoro tot è la somma dei lavori di ogni singola forza

__L = [__L]^L1[__M]¹[__T]^-2 → Joule J = m²Kg/s²

ENERGIA e LAVORO

LAVORO

Prendo una forza costante nel tempo; faccio fare uno spostamento AB al punto di applicazione di F.

Definisco lavoro come:

L = F. AB = F (r_B - r_A) = F Δr

• prodotto scalare

L > 0 se 0 < θ < π/2 → LAVORO MOTORE

L = 0 se θ = π/2

L < 0 se π/2 < θ ≤ π → LAVORO RESISTENTE

Estensione a F non costante (varia variando la posizione)

Σ ⁿ_{i = 1} F (ti) . Δri = L _AB

• divido lo spostamento in segmenti infinitesimi

Δr_i → 0 → limite

L_AB = ∫ _A^B F . dr

Nel caso di più forze, il lavoro tot è la somma dei lavori di ogni singola forza

[L] = [L²][M][T^-2] → Joule J = m²kg s^-2

Energia Cinetica

Dato un corpo puntiforme di massa m cui è applicato _F

d_v = _F · d_s = m · _a · d_t = m · ¯_a · ¯_v · d_t

            _L m_a^→            _L v_t

_a = ¯_s ^μ' + ⋅ ^μ

_s = ¯_u^t

d_x = m [¯_s^u + ¯_s' ^μ] dt = [¯_s^u] dt = m ¯_s² · ⋅ ^s dt

Definisco energia cinetica              E_c = ½ m ¯_v²

E_k = ½ m_s²              dE_k = m · ⋅ _s · ⋅ _s dt = m _s ⋅ _s dt

_s d_v = dE_k              i differenziali sono uguali

   Teorema delle Forze Vive

∮_A^B d_v = ∮_A^B dE_k              L_AB = E_kB - E_kA = ΔE_k

Il lavoro necessario per spostare un corpo da A a B è uguale alla variazione di energia cinetica

[Energia] = [Lavoro]              si misura in Joule

Potenza

Osservo corpo in intervallo di tempo Δ_t.

P_media = Δ_L / Δ_t              [P] = [L² M T^-3]              J / s = Watt

Δ_t → o. Lim Δ_t Δ_L^L/ Δ_t = δ_L / δ_t = ||_❲{

d_L/dt ⊂ = ^F·Ġ''')}

Forze Conservative

Il lavoro delle forze conservative dipende solo dagli estremi del percorso

Affinché questo accada è necessario che esista una funzione scalare della posizione

         ⊂ energia potenziale ⊂

           lavoro elementale e differenziale

∫_A^B δV = ∫_A^B ∇V · dr = V_B - V_A = -ΔV

V(∈r)

ENERGIA POTENZIALE

L_AB = L₁ = L₂ se Forza è conservativa

Se AB è percorso chiuso V_A = V_B A ≡ B

∫_A^A F · dr = 0 Il lavoro è nullo.

FORZA PESO

dr⃗ = (dx, dy, dz) = (0,0, mg)

δL = F · dr⃗ = - mg dz

∫_A^B F · dr⃗ = ∫_zA^z_B mg dz = -mg(z_B - z_A)

Il lavoro dipende solo dai estremi dei percorsi → forza peso è conservativa

V_A - V_B = mg (z_A - z_B) Energia Potenziale

se V = 0 in A 0 - V = mg (0 - z) → V = mgz̅

FORZA ELASTICA

F_e = -kx_̂

Posizione di riposo

Posizione A

Posizione B

dF⃗ = (dx, dy, dz)

∫_A^B kx dx = ∫_A^B k dx = 1/2 k (x_A² - x_B²)