Fisica generale - Appunti

Elettromagnetismo

Elettricità

La parola elettricità deriva dal greco electron che significa ambra.

L’ambra è un materiale che strofinato ha la proprietà di attirare i corpi leggeri; questa proprietà è comune anche ad altri materiali come il vetro.

Diciamo che questi corpi nello strofinio si sono elettrizzati e supponiamo che abbiano acquistato una carica elettrica.

La carica elettrica è una proprietà posseduta dalle particelle che compongono l’atomo: i protoni che insieme ai neutroni si trovano nel nucleo e gli elettroni che sono in movimento intorno a esso.

Esistono due tipi diversi di interazione elettrica che si esplicano rispettivamente con una forza repulsiva o attrattiva; ciò è dovuto all’esistenza di due tipi di cariche: la positiva (protoni) e la negativa (elettroni).

Cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si attraggono.

Principio di conservazione della carica elettrica

Nel 1750 Franklin enunciò il principio di conservazione della carica elettrica in base al quale la carica elettrica è una costante nel senso che non varia col tempo.

Elettroscopio

L’elettroscopio è un rivelatore di cariche, ovvero un dispositivo per rivelare la carica di un corpo. È costituito da una bacchetta metallica terminante a una estremità con una sferetta e all’altra con due foglioline metalliche (spesso d’oro); il tutto è disposto in una custodia di vetro.

Portando a contatto della sferetta un corpo elettrizzato, la carica tramite la bacchetta si trasmette alle foglioline, che a causa della forza repulsiva tra le cariche divergono.

Se allontaniamo il corpo elettrizzato, le foglioline rimangono aperte e ciò dimostra che su di esse è rimasta parte della carica.

Un elettroscopio carico, per esempio positivamente, può essere usato per individuare il segno di una carica incognita posseduta da un corpo: portando a contatto della sferetta il corpo, se la divergenza delle foglioline aumenta la carica è positiva, se diminuisce la carica è negativa.

1

Isolanti e conduttori

I diversi materiali vengono classificati dal punto di vista elettrico, in isolanti e conduttori.

Negli isolanti, come la plastica, la carica elettrica prodotta in una regione rimane localizzata in quel punto poiché gli elettroni sono legati ai nuclei degli atomi.

Nei conduttori, come i metalli, la carica elettrica prodotta in una regione si propaga in tutto il corpo poiché alcuni elettroni hanno una certa libertà di movimento.

Elettrizzazione

Un corpo allo stato neutro possiede un uguale numero di protoni e di elettroni. Si dice che un corpo è elettrizzato quando l’equilibrio fra il numero di cariche elettriche positive e quello delle cariche elettriche negative è alterato.

L’elettrizzazione può avvenire in tre differenti modi:

• Per strofinio: in questo caso alcuni elettroni vengono strappati a un corpo dall’altro.
• Per contatto: nei conduttori alcuni elettroni hanno una certa libertà di movimento e sottoposti a una forza elettrica si possono spostare da un atomo all’altro determinando l’elettrizzazione dei due corpi, uno positivamente e uno negativamente. Questi elettroni vengono detti elettroni di conduzione.
• Per induzione: avvicinando un corpo carico a un corpo conduttore neutro, il conduttore nella parte più vicina al corpo carico si carica di una carica di segno opposto e nella parte più lontana di una carica dello stesso segno.

2

Legge di Coulomb

Nel 1785 il francese Coulomb determinò la legge che esprime la forza elettrica tra due cariche in funzione della distanza e delle intensità delle cariche: la forza attrattiva o repulsiva tra due cariche elettriche è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che le separa.

F = 1 / 4π ε₀ × q₁q₂ / r²

ε₀ = 8,859 × 10^-12 N m² / C²

q = cariche   r = distanza tra le cariche

C = Coulomb (unità di misura)   ε₀ = costante dielettrica del vuoto

k = 1 / 4π ε₀ = 8,988 × 10⁹ Nm² / C²

La formula scritta vale nel vuoto; se ci troviamo in un dielettrico, ovvero in un mezzo isolante, la formula diventa:

F = 1 / 4π ε₀ ε_r × q₁q₂ / r²

ε_r = costante dielettrica negativa del mezzo

La forza in un mezzo è sempre minore della forza agente sulle stesse cariche nel vuoto.

Le formule precedenti esprimono l’intensità della forza; la direzione del vettore forza è la retta congiungente le due cariche, il verso è determinato dal segno delle cariche.

Principio di sovrapposizione

La forza di interazione tra due corpi elettrizzati è da considerarsi come la risultante delle forze agenti fra le singole particelle cariche di cui essi sono costituiti.

R 3 Q

Campo elettrico

Una carica elettrica agisce su una seconda carica elettrica non direttamente ma attraverso il campo elettrico che essa genera, inteso come modificazione dello spazio circostante indipendentemente dalla presenza della seconda carica.

Per misurare l’intensità e in generale il vettore campo elettrico in un certo punto dello spazio, è necessario situare in quel punto una carica di prova q per poter misurare le interazioni tra q e la carica Q che genera il campo.

Il vettore campo elettrico generato dalla carica Q viene definito come rapporto tra la forza e la carica di prova q:

E = F / q

E = campo elettrico   q = carica di prova   F = forza

Il campo elettrico è uguale alla forza che viene esercitata sull’unità di carica (sulla carica esploratrice).

L’unità di misura del campo elettrico è N/C (Newton/Coulomb).

Si dimostra che il campo elettrico E è indipendente dalla carica di prova q sia per intensità che per direzione e verso, purché la carica q sia piccola rispetto a Q in modo da non perturbare il campo.

Campo elettrico di una carica puntiforme Q

Intensità: E = F / q = 1 / 4π ε₀ × Q / r²

Direzione: è sempre la retta congiungente q e Q quindi non dipende dalla scelta di q.

Verso: comunque si scelga la carica di prova q il campo elettrico ha verso uscente da Q se Q è positivo, entrante in Q se Q è negativa.

4

Il campo elettrico si rappresenta mediante le linee di forza, linee la cui tangente in ogni punto ha la stessa direzione del campo in quel punto.

Rappresentazione del campo

Un campo elettrico può essere rappresentato graficamente con le frecce che indicano i vettori E in alcuni punti.

Un campo elettrico è rappresentato con linee di forza, cioè linee la cui tangente in ogni punto è diretta come il campo.

A seconda che il campo elettrico di una carica puntiforme sia negativo o positivo avremo linee di forza uscenti o entranti.

Sovrapposizione dei campi generati da cariche puntiformi

Il campo elettrico di una distribuzione di cariche puntiformi è uguale alla somma vettoriale dei campi elettrici che le singole cariche genererebbero se agissero da sole.

E = E₁ + E₂ + E₃ + ... + E_n in cui E è il campo creato singolarmente da ogni carica nel punto fissato.

5

Il teorema di Gauss (I° eq. di Maxwell)

Flusso del campo elettrico attraverso una superficie

Se il campo elettrico E è uniforme su tutti i punti di una superficie S, il flusso del campo attraverso la superficie è:

Φ = E × S cos α

E = intensità del campo elettrico   S = superficie

α = angolo che il vettore E forma con la perpendicolare alla superficie

L’unità di misura del flusso è: N m² / C

Nel caso di una superficie tridimensionale (angolo solido)

Δω = ΔS · cos α / r²

ω_tot = 4π

6

Gauss studiò quanto vale il flusso di campo campo elettrico uscente da un corpo carico attraverso una superficie immaginaria chiusa.

Φ_E = E ΔS cos α

E = 1 / 4π ε₀ × Q / r² (campo elettrico · carica puntiforme)

ΔΦ_E = E ΔS cos α = 1 / 4π ε₀ × Q / r² × ΔS cos α = 1 / 4π ε₀ × Q Δω

Φ_E = 1 / 4π ε₀ × Q × Σ Δω = 1 / 4π ε₀ × Q × 4π

Φ_E = Q / ε₀

7

Il flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiusa, è dato dal rapporto tra la somma delle cariche contenute nella superficie e la costante dielettrica nel vuoto.

Φ = ΣQ / ε₀

ΣQ = somma delle cariche racchiuse entro la superficie (principio di sovrapposizione)

Carica puntiforme

Il teorema vale per ogni distribuzione di cariche.

Distribuzione di cariche su corpo di dimensioni limitate = ΣQ = Q_tot

Φ_E = ΣQ / ε₀ [Principio di sovrapposizione]

8

Campo elettrico di una piastra piana carica elettricamente

Φ_E = 2 E × S

Φ_E = Q / ε₀

Φ_E = E × S + E × S + 0

2 ES = Q / ε₀

E = 1 / 2 ε₀ × Q / S

E = σ / 2 ε₀

Densità superficiale di carica elettrica

9

Data una superficie S sulla quale sia distribuita in modo uniforme una carica elettrica Q, la densità superficiale di carica (sigma) è definita dal rapporto tra la carica complessiva e la superficie:

σ = Q / S

L’unità di misura di σ, in quanto rapporto tra una carica elettrica e una superficie, è il C/m².

Condensatore elettrico

Due piastre metalliche piane poste una di fronte all’altra a distanza piccola rispetto alle loro dimensioni, elettrizzate con cariche opposte Q e –Q, costituiscono un condensatore piano.

E_est = 0

E_int = 2E

E_est = 0

E = 2 E_cond. = 2 × σ / 2 ε₀ = σ / ε₀

10

Campo elettrico di un corpo (conduttore) carico elettricamente

1. All’interno di un conduttore carico:

Equilibrio elettrostatico (cariche sono ferme) ⇒ ΣQ_int = 0

Le cariche elettriche stanno sulla superficie del corpo ⇒ E_interno = 0

11

2. Campo elettrico all’esterno di un corpo carico [Teorema di Coulomb]

Φ_E = E_est · S + E_int · S

Φ_E = E_est · S

12

Applicando il teorema di Gauss:

Φ_E = Q / ε₀

Q = E_est × S ε₀

E_est = Q / ε₀ × S

E_esterno = σ / ε₀ [Teorema di Coulomb: il campo elettrico in prossimità di un conduttore è proporzionale alla densità superficiale di carica]

Energia potenziale elettrica e differenza di potenziale elettrico

Δr = r_B – r_A

L = F × Δr

Il lavoro che è stato fatto dal campo elettrico.

L = U_A - U_B = -ΔU

[Lavoro fatto dal campo per spostare A ⇒ B = differenza energia potenziale elettrico del punto A meno energia potenziale elettrico del punto B]

13

Il campo elettrico è un campo conservativo, cioè il lavoro L della forza del campo su una carica di prova q che compie uno spostamento da un punto A a un punto B dipende da A e B ma non dal cammino percorso. In particolare il lavoro è nullo se la carica descrive una traiettoria chiusa.

Si può pertanto definire l’energia potenziale U della carica di prova come la funzione tale che, se U_A e U_B sono i suoi valori in A e B, si ha L = U_A - U_B.

Il lavoro si misura in Joule = Nm/C.

Il potenziale elettrico (V) in un punto dello spazio è definito come il rapporto fra l’energia potenziale elettrica di una carica di prova q posta in quel punto e la carica stessa: V = U / q.

Di conseguenza la differenza di potenziale elettrico V_A - V_B fra due punti A e B è legata dalla seguente relazione al lavoro L sopra definito:

V_A - V_B = - L / q

Dimostrazione: V_A - V_B = U_A / q - U_B / q = L / q

ΔV = F / q × Δr

ΔV = E × Δr

L’unità di misura del potenziale elettrico è il Volt (V): L / q = Joule / Coulomb = Volt.

Carica puntiforme

Il potenziale del campo elettrico generato nel vuoto da una carica puntiforme Q a distanza r, posto uguale a zero all’infinito, è:

14

V = 1 / 4π ε₀ × Q / r

Condensatore

Nel caso del campo uniforme tra le piastre di un condensatore:

V = E × d

V = σ × d / ε₀

Una superficie sulla quale il potenziale elettrico assume lo stesso valore in ogni punto è detta superficie equipotenziale.

In essa il lavoro è uguale a zero:

L = q × ΔV = -q (U_A - U_B)

U_A = U_B ⇒ L = 0

Lavoro lungo una linea chiusa è uguale a zero poiché:

L = -U_A - U_B

L_{linea chiusa} = -U_A - U_A = 0

Teorema della circuitazione del campo elettrico (II° eq. di Maxwell)

Il fatto che il campo elettrico sia conservativo si può anche esprimere nel seguente modo: la circuitazione del campo elettrico lungo qualsiasi cammino chiuso è nulla, ovvero C_E = 0.

C_E = Σ E × Δr

C_E = Σ F × Δr / q = L_{linea chiusa} / q = 0

C_E = 0

15

Potenziale elettrico all’interno di un corpo carico all’equilibrio elettrostatico

V₁ Q₁

V₂ Q₂

V₃ Q₃

... ... ...

ΔV_AB = -V_A - V_B = E d_AB

V_A - V_B = 0

V_A = V_B

Tutti i punti all’interno di un corpo carico hanno lo stesso potenziale.

Il potenziale elettrico all’interno di un corpo carico è costante.

In queste condizioni in ogni punto del conduttore il campo elettrico è nullo e il potenziale è costante.

Capacità elettrica

Preso un corpo (conduttore) carico elettricamente, si cerca di trovare una relazione tra la carica elettrica (Q) del corpo e il suo potenziale elettrico (V):

16

Q₁

Q₂

Q₃   V (Volt)

V₁ V₂ V₃

Notiamo, dal grafico, che tra Q e V c’è una relazione di proporzionalità diretta:

Q μ V proporzionale

Q = C V. Per definizione la costante di proporzionalità tra Q e V si chiama capacità elettrica.

Q = C V. Quanta carica può avere un corpo (conduttore).

L’unità di misura della capacità elettrica è il Farad (F): Coulomb/Volt = Farad (da Faraday).

Capacità elettrica di un condensatore

17

E = σ / ε₀ = Q / ε₀ × S

Quindi: Q = E × S ε₀

V = E d

C = Q / V = E S ε₀ / E d

C = ε₀ × S / d

Condensatori in parallelo

La capacità elettrica di un sistema di condensatori in parallelo è uguale alla somma delle capacità dei songoli condensatori:

V_tot = V₁ = V₂, la differenza di potenziale è la stessa.

Q_tot = Q₁ + Q₂

Q₁ = C₁ · V

Q₂ = C₂ · V

C = Q/V ⇒ Q = C · V

Q_tot = C_tot · V

C_tot · V = C₁ · V + C₂ · V (parallelo/equivalente)

C_parallelo = C₁ + C₂

Condensatori in serie

18

Hanno la stessa carica Q.

V_tot = V₁ + V₂

La capacità elettrica è definita come la capacità di un unico condensatore da inserire tra i terminali esterni affinché con la stessa differenza di potenziale la carica sia sempre la stessa.

Il reciproco della capacità elettrica di un sistema di condensatori in serie è uguale alla somma dei reciproci delle capacità dei singoli condensatori.

Q = C₁ V₁ ⇒ V₁ = Q / C₁

Q = C₂ V₂ ⇒ V₂ = Q / C₂

Q / C_serie = Q / C₁ + Q / C₂

1 / C_serie = 1 / C₁ + 1 / C₂

Esperimento di Millikam (1908)

19

Nel 1908 Millikam costruì un dispositivo che gli permise di misurare la carica dell’elettrone. Scoprì così che la carica elettrica è quantizzata, nel senso che tutte le cariche in natura sono multipli interi di una carica elementare, non ulteriormente frazionabile, che rappresenta il quanto di carica. La carica elementare coincide con la carica di un elettrone o di un protone e ha il valore 1,6·10^-19 C.

Non esiste però nessuna impossibilità concettuale nel prendere in considerazione un ulteriore frazionamento del quanto elementare di carica.