Fisica 1 - vettori

I vettori

Grandezze scalari

A.A. 2019-2020. Sono dette grandezze scalari grandezze fisiche caratterizzabili da un singolo valore, ad es. la massa e la carica elettrica.

Ma le grandezze fisiche possiedono diverse altre proprietà e/o combinazioni di proprietà che le caratterizzano: grandezze fisiche ed entità non lorola sistema, ad es. possono essere grandezze:

• Dipende dal rlto diproprle del µ→ corpo ai corpi.
• Intrinseche invarianti relativistiche conservate nel tempo.
• Discrete scalari o vettoriali.
• Continue.

1 A.A. 2019-2020. Ad esempio: la massa e la carica elettrica sono entrambe grandezze scalari, ma la carica elettrica è quantizzata, la massa è una grandezza continua.

Nel mondo subatomico la carica elettrica è una caratteristica intrinseca di ogni particella elementare; la massa è una proprietà intrinseca di un corpo materiale, ma solo in meccanica classica.

In meccanica relativistica è un invariante relativistico m = m( v ), dipende dalla velocità. E = mc², quindi la massa totale può non conservarsi anche se il sistema è isolato.

La carica si conserva sempre e in senso assoluto: se il sistema è isolato, la carica totale netta rimane costante, non si crea, non si distrugge la carica elettrica. 2.

Grandezze vettoriali

Grandezze vettoriali. Grandezze scalari A.A. 2019-2020. Grandezza scalare: alcune grandezze fisiche sono determinate univocamente, per es. la temperatura T.

Ma la temperatura in una stanza può cambiare da punto a punto della stanza e al trascorrere del tempo; quindi dobbiamo ritenere che sia una funzione di spazio e tempo.

In altri termini, T = T( x,y,z,t ). Nota bene: si tratta di una funzione a valore singolo, ma variabili. 3.

Alcune grandezze fisiche sono determinate univocamente solo se sono associate anche ad una direzione e ad un verso, ad es. lo spostamento s di una distanza da un punto. Si parla di grandezze vettoriali.

In natura esistono anche, oltre alle grandezze scalari e vettoriali, altri tipi di grandezze quali le grandezze pseudoscalari, pseudovettoriali, spinoriali, tensoriali.

Nota bene: per caratterizzarle bisogna far riferimento ai particolari comportamenti di invarianza che manifestano a seguito di determinate azioni e/o operazioni matematiche, quali ad es. le rotazioni delle coordinate spaziali, parità.

Metodo scientifico e strumenti matematici

A questo punto si impone una riflessione: trattare appropriatamente le grandezze fisiche?

Adozione del metodo scientifico A.A. 2019-2020, uso del linguaggio matematico, effettuazione di esperimenti, riproducibilità dei risultati.

• Per piantare un chiodo, martello, applicazione di una forza.
• Per avvitare una vite, cacciavite, applicazione di una coppia di forze.
• Per serrare un bullone, chiave inglese, applicazione di una forza e di una coppia di forze.

Strumenti di lavoro adeguati: dobbiamo fornirci di strumenti matematici, dobbiamo fornirci di adeguati strumenti per maneggiare appropriatamente le grandezze fisiche. 5.

Definizione intuitiva di grandezza vettoriale

A.A. 2019-2020. Intuitivamente parlando, una grandezza vettoriale è determinata univocamente quando ne sono specificate tre caratteristiche: il modulo, intensità, la direzione e il verso.

Ma attenzione: esistono grandezze definibili tramite modulo, direzione e verso che non sono grandezze vettoriali.

Ad es. le rotazioni di un angolo finito di un corpo rigido possono essere caratterizzate da una direzione nello spazio, asse di rotazione, un verso, il senso di rotazione orario o antiorario, e una intensità corrispondente angolo di rotazione, ma non sono vettori. 6.

Per definire le grandezze vettoriali dovremo stabilire le regole a cui obbediscono queste grandezze, ossia definire delle operazioni che le associno ad altri vettori o ad altre grandezze e specificare le di queste operazioni: algebra vettoriale.

In effetti i vettori vengono definiti in base alle di trasformazione del vettore posizione rispetto a rotazioni e traslazioni, anche se sono indipendenti dal sistema di riferimento, a parte il vettore posizione stesso.

Il vettore posizione è particolare in quanto viene definito a partire da una origine. 7.

Rappresentazione grafica di un vettore

A.A. 2019-2020. Per specificare, per rappresentarla graficamente, che la generica grandezza vettoriale a si usa disegnare una freccia orientata nella stessa direzione e verso della grandezza vettoriale.

La si sovrasta con una freccia: a. La dimensione fisica della grandezza vettoriale stessa è del suo modulo, intensità, modulo del vettore: | a | = a.

Nota: in alcuni libri di testo si usa la convenzione di scrivere le grandezze vettoriali in grassetto: a etc., e di conseguenza si scriverà. 8.

Lo spostamento

Lo spostamento A.A. 2019-2020. In un piano, se un corpo che si muove in un piano si sposta prima dal punto A al punto B e successivamente da B a C, lo spostamento complessivo del corpo è stato da A a C.

È naturale associare il vettore a allo spostamento da A a B e il vettore b allo spostamento da B a C. Lo spostamento complessivo da A a C è descritto dal vettore c. A a B, b, C. 9.

A.A. 2019-2020. È intuitivo pensare allo spostamento complessivo come alla somma degli spostamenti a e b e postulare che c = a + b.

Attenzione: in generale il modulo, la lunghezza, del vettore somma a + b non è uguale alla somma dei moduli, delle lunghezze, dei vettori, salvo il caso in cui due spostamenti giacciano sulla stessa retta.

In altri termini: nel caso di spostamenti finiti, il modulo del vettore spostamento complessivo non fornisce lo spazio effettivamente percorso dal corpo.

In generale, A C è pari nello spostarsi dal punto A al punto C. 10.

Se partendo da A si effettua per primo lo spostamento b e successivamente quello a, si giunge allo stesso punto C del piano. A D C, c, b, c, b, A, a, B, b, a, c, a + b = c, b + a = c.

Se si inverte l’ordine degli spostamenti il risultato non cambia.

Proprietà della somma di vettori

Formalizzando in termini matematici: A.A. 2019-2020. Le proprietà della somma di vettori sono le seguenti: la somma vettoriale gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa.

Esempio, per ad non manda, rotazioni successive. Dipendenza: a + b = b + a, commutativa. Rotazioni per tranne ordine da proprietà, state per cui infinitesime t.nua.

a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c ), associativa. Un prop dlkerse { . 'Quantità infinitesime' quantità finite numeri. 12.

Vettori uguali e vettori equipollenti

A.A. 2019-2020. Matematicamente due vettori sono uguali se hanno: stesso modulo, intensità, stessa direzione e stesso verso parallela ( 0 11 stessa la ).

Tutti i segmenti orientati nello stesso verso, paralleli, e di uguale lunghezza rappresentano lo stesso vettore, vettori equipollenti.

Differenze tra matematica e fisica:

• In matematica il fatto che i vettori equipollenti rappresentino lo stesso vettore.
• In fisica prima di poter fare la stessa assunzione verificare se vero che viviamo in un universo piatto e non vero in assoluto, vedi la teoria della generale.

13.

Moltiplicazione per un numero

Moltiplicazione A.A. 2019-2020. La moltiplicazione di un vettore a con un numero k, k a, per definizione fornisce un vettore b. Se b = k a si ha che:

• Modulo di b pari a |k| volte il modulo di a.
• Direzione di b ha sempre la stessa direzione di a.
• Verso di b ha verso concorde ad a se k > 0.
• Verso di b ha verso discorde ad a se k < 0.

14.

A.A. 2019-2020. b = a k. Se k = -1 si ha b = -a e in questo caso b ha stesso modulo di a, stessa direzione di a, verso opposto ad a: il vettore opposto ad a.

Nota bene: se k fosse una grandezza scalare dotata di dimensioni fisiche, à quella da dipesa di b, il vettore k a avrebbe come dimensione fisica il prodotto della dimensione di k per la dimensione del modulo di a. 15.

Vettore unitario e versore

Vettore unitario, versore A.A. 2019-2020. Data una retta orientata r vi sono infiniti vettori che hanno stessa direzione e stesso verso ma che differiscono tra loro per il modulo.

'1 Unità → / r. Un vettore di modulo unitario orientato nella direzione e verso della retta è detto versore e viene indicato con il simbolo u_r oppure r.

Un versore individua solamente una direzione ed un verso nello spazio, ad es. il segnale di senso unico. 16.

Scomposizione di un vettore

Scomposizione di un vettore A.A. 2019-2020. Due semirette orientate r ed s che si intersecano in un punto definiscono un piano nello spazio.

Qualunque vettore a, giacente nel piano individuato dalle due rette, può essere scomposto nella somma di due vettori a_r e a_s paralleli alla retta r ed alla retta s. 17.

A.A. 2019-2020. Se le due rette sono caratterizzate dai versori u_r e u_s, da notare necessariamente di 90°, e se a è vettore giacente nel piano individuato dalle due rette, a = a_r + a_s = a_r u_r + a_s u_s.

Dove a_r e a_s sono i vettori componenti, e a_r e a_s sono le componenti moravi r s. 18.

Sistemi di riferimento cartesiani ortogonali

Sistemi di riferimento cartesiani ortogonali A.A. 2019-2020. In una dimensione si sceglie:

• Una retta che individua la direzione.
• Un verso positivo della retta x.
• Si associa ad un generico punto della retta un numero pari alla distanza del punto in 0.

19.

Piano A.A. 2019-2020. Nel piano, si scelgono due direzioni indipendenti e perpendicolari tra loro e si costituisce un sistema di riferimento cartesiano ortogonale bidimensionale.

Nello spazio si scelgono tre direzioni indipendenti e perpendicolari tra loro e si costituisce un sistema di riferimento cartesiano ortogonale tridimensionale.

I tre versori che caratterizzano i tre assi cartesiani si indicano con î, ĵ, k̂ e sono orientati nelle direzioni x, y e z rispettivamente. Sono una terna ordinata positivamente. 20.

Componenti cartesiane ortogonali

Un vettore orientato nello spazio in un modo qualunque si può sempre A.A. 2019-2020 scomporre in componenti cartesiane ortogonali.

a = a_x i + a_y j + a_z k. Modulo di un vettore in funzione delle sue componenti cartesiane: |a| = a.

OC² = OB² + BC². OB² = OA² + AB². OC² = OA² + AB² + BC².

a² = a_x² + a_y² + a_z². z O né y, x A, y B, x. 21.

Vettore posizione

Vettore posizione z A.A. 2019-2020. Prescelto un sistema di riferimento, ad es. cartesiano ortogonale, fisso nel tempo, la posizione rispetto al sistema di riferimento di un generico punto P di coordinate ( x₁, y₁, z₁ ) viene individuata dal vettore posizione r.

Il vettore posizione r è sempre spiccato dall’origine O verso il punto dello spazio P. r = x i + y j + z k in coordinate cartesiane. 22.

A.A. 2019-2020. r² = x² + y² + z². r distanza di P da O. Definisce versare lo modulo vettore che • r.

u_r = r / r, o anche r. Nota bene: i vettori sono grandezze intrinseche nel senso che il loro modulo non dipende dal sistema di riferimento, come per esempio il vettore spostamento.

r è il prototipo di vettore applicato in quanto definito rispetto ad un punto ben determinato, O del sistema di riferimento. 23.

Somma di due vettori in coordinate cartesiane

Necessarie per somma di due vettori in coordinate cartesiane A.A. 2019-2020 → anche rappresentare vettori matematicamente.

Dati due vettori a e b: a = a_x i + a_y j + a_z k; b = b_x i + b_y j + b_z k.

Il vettore somma c = a + b: c = c_x i + c_y j + c_z k, con c_x = a_x + b_x, c_y = a_y + b_y, c_z = a_z + b_z.

Il vettore somma ha come componenti la somma delle componenti dei singoli vettori. 24.

Versore in coordinate cartesiane

Versore in coordinate cartesiane A.A. 2019-2020. Se a è vettore orientato nella direzione individuata dal versore u_a, a = a u_a.

Se a è il modulo del vettore a, dove u_a è il versore nella direzione di a, ne segue che u_a = a / a. Nota bene: il versore è una grandezza adimensionale. 25.

A.A. 2019-2020. a = a_x i + a_y j + a_z k. Da se a u_a = a_x i + a_y j + a_z k, si ha a = √( a_x² + a_y² + a_z² ).

u_a = u_x i + u_y j + u_z k. In generale: u_x = a_x / a, u_y = a_y / a, u_z = a_z / a; etc. coseni direttori.

a_x / √( a_x² + a_y² + a_z² ) > µ. 26.

Vettori applicati

Vettori applicati A.A. 2019-2020. Nella pratica usare i vettori non è sufficiente; ad es. applicare una forza in punti diversi di un corpo esteso non produce lo stesso effetto.

Per determinare univocamente una grandezza vettoriale in fisica: il modulo, la direzione, il verso e il punto di applicazione.

Un vettore così specificato è detto: vettore applicato. 27.

Appendice: rappresentazione grafica delle grandezze vettoriali

Appendice: A.A. 2019-2020. Rappresentazione grafica delle grandezze vettoriali. Per rappresentare graficamente una grandezza vettoriale si fissa convenzionalmente e si traccia un