Esercizio sui campi conservativi

Determinazione della funzione g(x) e di un potenziale

Dato il campo vettoriale F(x,y) = (2xy + 6y, g(x) − 3y²) in ℝ², determinare la funzione g(x) di classe C¹ in ℝ che assume valore 17 in 2 e che rende conservativo tale campo in ℝ²; calcolare poi un potenziale del campo così ottenuto.

Affinché il campo sia conservativo in ℝ² (che è un insieme aperto semplicemente connesso) è necessaria e sufficiente l’uguaglianza delle derivate in croce, ossia che risulti 2x + 6.

Si ha: g′(x) = 2x + 6, quindi deve risultare g′(x) = 2x + 6.

Pertanto la funzione g(x) è da cercare fra le primitive di 2x + 6, che sono del tipo x² + 6x + c; dovendo inoltre risultare g(2) = 17, deve essere 4 + 12 + c = 17, da cui c = 1. La funzione cercata è quindi g(x) = x² + 6x + 1.

Un potenziale del campo è una funzione U(x,y) le cui derivate parziali prime rispetto ad x e ad y devono essere rispettivamente 2xy + 6y e x² + 6x + 1 − 3y².

Deve quindi risultare U(x,y) = x²y + 6xy + k(y).

Calcolando la derivata parziale rispetto a y, si ottiene ∂U/∂y = x² + 6x + k′(y) = x² + 6x + 1 − 3y², da cui k′(y) = 1 − 3y².

Ne consegue k(y) = y − y³; ad esempio, k(y) = y − y³.

Un potenziale del campo è pertanto U(x,y) = x²y + 6xy + y − y³.

Francesco Camia