Esercizi svolti su sistemi iperstatici

Classificazione e calcolo dei sistemi strutturali

Classificazione isostatica e potenzialmente isostatica

ClassificazioneG = 2 x 3 = 6
M = 2(A) + 2(E) + 2(B) + 4(C) = 12
H > G ➔ sistema isostatico SISTEMA "O"

ClassificazioneG = 2 x 3 = 6
M = 2(A) + 2(B) + 2(E) = 6
M = G ➔ sistema potenzialmente isostatico
2 cerniere - 3 carrelli

Calcolo delle reazioni

Calcolo RNy_c = y_a; poly_e = 2pol - 3pol + polz_e(t_t) = 2pol - pol + pol + y_b; pol²y_b = 3pol²

EI = cost
EA : GA = ∞ν_A

Sistema isostatico e potenziale isostatico

G = 2×3 = 6
M = 2(4) + 2(E) + 2(3) + 4(C) = 12
H > G ➔ sistema isostatico SISTEMA "O"

ClassificazioneG = 2×3 = 6
M = 2(4) + 2(2) = 6
M = G ➔ sistema potenzialmente isostatico

Equazione globale e verifica

Calcolo RNy_E = 2p l - 3p l - p l
X_B : = 3p ly_B = 3p l
Verifica eq. globale
x: (+1-1)pl=0 ✓
y: (-2+3)pl=0 ✓
ΣM(D): pl²+pl²=0 ✓

Diagrammi di sforzo

CE DE
plS₁N=pl
T=0
M=0
S₂N=-pl
T=-pl-pc²
M=-plx-pc²

S_aN=3pl
T=pl
M=plxσ3c0 s 2 e l
N=0
T=ρ0 2
M=# diagrammi cdi3ρ0lNr2 ρ0 l3 ρ0l2linear2ρ0lρ03 ρ0l²2 2ρ0+ρ0l-ρ0l =02ρ0l- ρ0l+3ρ0l=0+ ³2- 1- 2

Sistema 1

EI = cost
EA = GA^t = cost
v_A = \(\frac{p*l^4}{EI}\)

Calcolo RV
y_E=1
y_y=1
y_C= y_D=1
y_A=1

• E
• D

x_B = 0
Σ posδ1 + l*y_e-l=0
y_e+1+l=0
y_a+2S₁ s₂ s₁

S_u N = -1 T = 0 M_o = 0 N = 2 T = 0 M_o = 0

Se₂ E l₀ I N = 0 T = 1 M = -z pol_o e Se₂ C l₀ I N = 0 T = -1 M = z pol_o e

Diagrammi di taglio e momento

Diagrammi CdS (↑) (⊕) (↓) N T M

N° T° M° N¹ T¯^-1 M¯¹
AE 0 · lED - l - pol pol 0 O O O -1 0 0CD O · l 0 0 pol l - pol l 2 0BD 0 · l - 3pol pol pol z 0 0 2

S = S₁₀ + X S₁₁
S₁₁ = ²∕_£I ∫^z₀ z² dz = ²∕_£I z³ ∕ 3 l = ²∕₃ £l³

S₁₀ = ¹∕_£I∫^l₀ -p0 z³ ∕ 2 dz+ ¹∕_£I ∫^l₀ pol z² - pol z³ ∕ 3 dz= -p0 l⁴ ∕ 8 £I + pol⁴ ∕ 3 £I

X = -S₁₀ = ⁵∕₂
X = -^pl⁄₁₆plpl⁄16

• Verifica op.global+ pl - pl = 0✓

N = pl + pl ¹⁷⁄₁₆ pl

T = 0
M = 0
N = - pl
z = e
M = 0
z = l

Diagrammi VCDS

14/16 plre−re25/8 pl17/16 pl13/16 pl+16 re33/16 pl25/16 plpl

Verifica di nodo

Dre33/1617/1625/16 plpl8/16 re29pl=9/16 pl0225/16 pl02

Es. 2 classificazione

G=1x3=3
M=2(A)+1(B)+1(C)=6
declasso il modo est _im B SISTEMA "O"

ClassificazioneG=3
M=2(A)+1(C)=3
corpo APPOGGIATO sist. isostatico

Calcolo RV
X_A = poly_A = ^pol/₂
S₁N₁ = -pol/2
T = pol
M = -pol

S₃N = 0
T = 0
M = 0
N = 0
T = pol 3/2
T = pol 3/2
M = -pol z²/2
N = 0
T = pol z
M = -pol z²/2

Sistema "1" calcolo

EI = cost
EA = GA* = cost
v_C = θl₀ / EI

Assegnato RV:
X_A = 0
ΣM_(A): 1 + 2y_C = 0
y_C = -1/2
y_A + 1 - 1/2 = 0 ➔ y_A = 1/2 - 1 = -1/2

HOME WORK 1 es. 2
ρoLG.m˚ corpi: 2 x 3 = 6
m = 2(A) + 2(C) + 1(B) + 2(E) = 7
m > G sist. ipostatico di G = 1

Eq globale:
orizzontale ➔ x_A = 0
eq corpo 1: + ρoL² - y_E L = 0
y_E = ρoL

Eq verty_C + y_E = 2ρoL
2ρoL - ρoL - ρoL = 0

Vero con eq globale:
polo B
polo E
2ρoL L + ρoL² - ρoL² ≤ 0 ➔ 3ρoL² - 3ρoL² = 0

S₁S₂S₃S₄N_A + p₀l = 0
N_A = -p₀l
T_A = 0
M_A = 0

0 ≤ x ≤ l
N₁ = 0
T₁ = -p₀
M₁ = p₀l
0 ≤ x ≤ 2l

NL polpolpolLMpol²
1/2 pol² N=0
1 + p.d - p.o x=0 ➔ I = p.o x = pol
x = 0 I = pol
x = l T = polpol . l x = -p.o x²

x₍₂₎=0 ➔ M = p.o x ^x/₂(p.o x = pol)
p₀ x ^2₁/2 -p₀ x² + p0 l x= pol. l x = p₀ x²/₂

Sistema 1

y_c
y_b
y_a
Calcolo RN corpo 2x_c = 0
y_c - y_c = 0
corpo 1y_c = 1
x_a = ly_a = -1

pda 1: 1.2l + y_c 2l = 0 ➔ y_c = 11.2l - 1xl - y_b l = 0
y_b = 0

Calcolo C/S

S₂ N₀ = 0
T₀ = 0
M₀ = 0
N₀ = 1
T = -1
M = z′

S₁N = 1
T = 1
M = ±z
O_S1S₃N = -1
T₁ = -1
M = ±2ℓ
O_S2 2
O_S3 2ℓNTM12ℓ

No To Mo N T M1BC 0-l 0 -pQl pQl²+pQl₂ 1 0 0AC 0-l 0 0 0 0 1 1 +z

CD l-2l -pQl 0 0 1 1 +z
DE 0-2l 0 pQI-pQl pQl₂=pQ_2l²/2 1 1 _x^z

∑= S₁₀ +X S₁₁ . ∑=0.

S₁₁ = ■∫^xl₀ (z²l)/EI dz + ∫^2l_EI dz + ∫^2el₀ (z²/EI) dz = = 1/EI (z³l/3) - z³2l/3) - z³2Eal/3) + 1/EI (xl/3+ 8/3) 3/3 = 16/3 q³/EI

S₁₀ = ∫¹²₀ (pQl z-pQ z²/2)EI dz = ∫^El₀ (pQl² - pQ z³/2) dz =∫ ^1/EI ( pQl z³2l/3 ) - β z²4O)= -1/EI (pQl³ - 2pQl²l-/3 + 8-6 +Q²/EI = -2pQl³l/3/EI

X = - S₁₀/S₁₁ = - 2PQL²l (o/X = ∗2√/E 6 = - 1/8pQl

X = -¹/₈ρℓ

x: ( ¹/₈ - 1/₈)ρℓ - ℓ = 0 ✔

y: + ρℓ + ¹/₈ρℓ + ³/₈ρℓ = 2ρℓ + ⁷/₈ρℓ = 0 ✔

Μ_Pol∂Α: -ρℓℓ² + ρℓℓ² = 2ρℓ(2ℓ) - ℓ³ρℓ(2ℓ) = 0-2ρℓℓ² + (16/8 + 2/8)ρℓℓ² = 0 ✔ 16/8 = 2

BC N: 0 T: -ρθℓ M: -ρθℓ² + ρθℓz

AC N: -⅛ρℓ T: -⅛ρℓ M: ⅛ρℓz

CD N: -ρℓ - ⅛ρℓ = -⅜ρℓ T: -⅛ρℓ M: -⅛ρℓz

DE N: -⅝ρℓ T: -ρℓz -ρθℓ + ⅜ρℓ - ⅜ρℓz M: ρθℓz - ρθ² + ⅛ρℓz= ⅞ρθℓz - ρθ²

N: z=0 M=0
z=ℓ M=⅞ρℓ/2 = ⅜ρℓz
z=2ℓ(⅞ρθℓ)/2 - (14 - 16)/8 = ⅜ρℓz

Es. 2

EI = cost
EA = ∞
GA = ∞
αl = ρ l³EI
ClassificazioneG = 2 x 3 = 6
M = 2 (A) + 2 (B) + 3 (C) = 7MG ⇒ iperstatico
G ≥ 1

DECESSO CERNIERA IN D ⇒ SISTEMA “0”

ClassificazioneG = 2 x 3 = 6
M = 2 (B) + 1 (D) + 3 (E) = 6
potenza il momento isostatico

Corpo 1 trovato incastrato - PORTANTE
Corpo 2 trovato appoggiato - PORTATO con vincoli ben posti ➔ asse centrali

Impero un numero cerniera in B
eq verticolae-3ρ0l + y_c = 0 ➔ y_c = 3ρ0l

Corpo 1
x_c = 0
M_c - 3ρ0l ³/₂ l = 0
M_z = ^ρ/₂ ρ0l²

Corpo 2
y_By₀ = 0
trave ibridare x_B = x_D = 0

Vertice corpo 1 :

x: 0 = 0 ✔
y: 3ρ0l 3ρ0l = 0 ✔

ΣM(A): -3ρ0l ³/₂ l - ³/₂ ρ0l² + 3ρ0l 3l = 0 (-^f/₂ + ^g/₂ + s) ρ0l² = 0 ✔

Verifica equazioni globali

x: 0=0 √
y: -3pl + 3βpl = 0 √

ΣM(P): -⁹/₂βl² + 3βpl + 2l = 3βl² (^s/₂ s + 3³/₂βl² = 0 √

Calcolo C.S

0 ≤ ξ ≤ l

N=0
T=0
M=0
0 ≤ ξ ≤ l
N=0
M(-p0ξ²)/2ₛ₃0 ≤ z ≤ 3ℓ
T = -ρℓz
M = -^ρℓz/₂
M = -^ρope/₂

z = ℓ
T = -ρℓz = 2ℓ
M = - ^ρℓ²/₂
z = 3ℓ
M = -^9ρℓ²/₂
z = 0₀

Diagrammi CDI

₀NTρℓlineare₀H1parabola⁹/₂ρℓ²

Sistema "1"

Calcolo RV corpo 2

x_B = x_C = 0
y_B = 1

Corpo 1
x_C = 0
y_C = -1

Odo A+2 l - 1.3 l + N_C = 0
M_C = l - 3 l = -2 l

S₂S₃2l Calcula Cal S₁d

N = 1
T = 0
M = 0
N = 0
T = 0
M = 0
N = 0
T = 1
N = 0
T = 1l = 2l = 3

DBABBC-l-l-2l0000-paz-az0-paz²₂0

S = S₁₀ + X S₁₁

δ = 0

N°T°M°N¹T¹M¹000-10000000001z-l

S₁₁ = - ∫₀^ℓ (z - ℓ)² _Ed_I = ¹/_ℓI∫₀^ℓ(z² ℓ - 2zℓ²) dz == ¹/_ℓI [^z3/₃ + ℓz² ℓ -2z² ℓ]₀^ℓ] = ¹/_ℓI [⁸/₃ ℓ³ +2ℓ² - ℓ³]= ²/₃ ℓ³/_ℓI

S₁₀ = ∫₀^{ℓ 1}/_ℓI (- p₀ℓ²/₂) (z - ℓ) dz + ∫₀^ℓ (z - ℓ) ^{p₀ ℓ2}/_hℓI dz == ¹/_ℓI ∫₀^ℓ (- p₀ ℓ³/₂ + p₀z²) dz + ^ℓ ∫₀^ℓ (^{p₀ z}/_hℓI) z - ^p₀ℓz/_hℓI dz = = ¹/_ℓI [ - p₀ z³/₆ + ℓ² z²/₂ h₀ + ^z3/₃ - p₀ℓ²/^ℓI] ₀^ℓ z² dz = ¹/_ℓI (- 2p₀ ℓ⁴ + ^a/₃ ℓ⁴) + ^p₀ℓ2/_ℓI (ℓ- z ) = = - ²/₃ p_oℓ⁴/_ℓI

X = - S₁₀/S₁₁ = - [ ²/₃ p_oℓ⁴/_ℓI ] ( ³/₂ ℓ⁴/_ℓ⁴) + p_o ℓ

x=1pℓ* verifica eq. globale

x: 0=0 ✓

y: (+1 -3 +2)pℓ=0 ✓

ΣM(A): +pℓℓ²-3pℓ ³/₂ℓ +2pℓ 3ℓ - ⁵/₂pℓ² = 0

[1 - ⁵/₂ + 6 ⁵/₂]pℓ²=0 ✓

Calcolo CDS

^N/_B=-pℓ^T/_DB=0

^M/_0-l=0^N/_C=0^T/_AB=-pℓ^M/_0-l=-pℓ²/₂[b-3ℓ]

^N/_BC=0^T/_BD=-pℓ+2pℓ^M=-pℓ²/₂+pℓ(z-ℓ)

z=^ℓ/₃ℓ:1=0z=⁸/₂ℓ=2pℓ=-(pℓ²/₂)^{+pℓ2+pℓ(z-ℓ)}z=³/₂l ⋅Me-⁵/₂pℓ