Esercizi sulla rappresentazione dei numeri complessi

Insiemi di numeri complessi e loro rappresentazione sul piano complesso

di Francesco Camia

1) Rappresentare nel piano complesso gli insiemi

∈ ∶ ≥ 2, ≤ 3 ∈ : = + 1 + 2, ∈

A = { }, B = { }.

Siccome nel piano complesso e costituiscono rispettivamente l’ascissa e l’ordinata dell’immagine del numero complesso z, l’insieme A è rappresentato dall’angolo retto contenente i punti d’ascissa maggiore o uguale a 2 e ordinata minore o uguale a 3 (parte tratteggiata nella figura seguente):

Per ottenere gli elementi di B occorre addizionare alle ascisse e alle ordinate degli elementi di A rispettivamente i numeri 1 e 2; occorre cioè traslare secondo il vettore (1;2) ogni punto dell’insieme sopra

{ ∈ ∶ ≥ 3, ≤ 5 },

disegnato. Risulta quindi B = in pratica il traslato di A secondo il vettore

(1;2), parte tratteggiata nella figura seguente:

5 3

2) Rappresentare nel piano complesso gli insiemi

||

{ ∈ ∶ ≤ 3, 0 ≤ ≤ } ∈ ∶ = − , ∈ }.

A = , B = {

|| indica il modulo del numero complesso z, che fornisce la misura della distanza del punto con affissa z dall’origine; la prima condizione dell’insieme A individua quindi il cerchio con centro lo

origine e raggio 3. indica l’argomento principale di z, cioè l’angolo θ (con 0 ≤ θ < 2π) di cui si deve ruotare l’asse reale per sovrapporlo, in direzione e verso, al raggio vettore che rappresenta z; la seconda condizione dell’insieme A individua quindi l’angolo di vertice l’origine e con lati il semiasse reale non negativo e la semiretta uscente dall’origine e formante con l’asse reale un angolo d’ampiezza π/3. L’insieme A è quindi rappresentato dal settore circolare evidenziato in figura.

L’opposto di un numero complesso z viene rappresentato da un punto che è il simmetrico rispetto l’origine del punto rappresentante z; ne segue che l’insieme B è il simmetrico rispetto l’origine

||

= { ∈ ∶ ≤ 3,

dell’insieme A. Risulta

"

! ≤ ≤ !} che è rappresentato in figura.

3) Rappresentare nel piano complesso i seguenti insiemi

| |

= { ∈ : − 3| = + | = { ∈ : = ̅, ∈ }

} , | '( |

− 3| = $% + − 3) + | =

& &

Scrivendo z in forma algebrica z=x+iy, risulta: ,

'( '( '(

$% + + 1) $% + − 3) = $% + + 1)

& & & & & &

. La condizione per individuare i punti di A è