Esercizi risolti di Teoria delle strutture

ESERCIZIO 1 - PORTALE ZOPPO CON FORZA APPLICATA SULLA TRAVE ORIZZONTALE

Struttura con 2 possibili sezioni critiche con un grado di libertà

Collasso con formazione di 2 cerniere plastiche.

Impiegò l'analisi incrementale per trovare il meccanismo ed il carico di collasso

Analisi elastica - 1° STEP

Convenzione:

• Metodo dei telai
• Incognite: X, Y, δ

Cond. di convergenza:

Eq. di equilibrio

Equazioni:

• XL/3EI = 2XL/3EI - 2YL/6EI - δ/2L
• 2KL/6EI
• Y: 2YL/3EI
• 2xL/6EI
• Y: YL/3EI + δ/L

ESERCIZIO 1 - PORTALE ZOPPO CON FORZA APPLICATA SULLA TRAVE ORIZZONTALE

P

L

2L L

• 4 gdl
• 3 gdl

l_r=1

STRUTTURA CON 2 POSSIBILI SEZIONI CRITICHE CON UN GRADO DI IPERSTATICITA'

COLLASSO CON FORMAZIONE DI 2 CERNERIE PLASTICHE

IMPIEGO L'ANALISI INCREMENTALE PER TROVARE IL MECCANISMO ED IL CARICO DI COLLASSO

ANALISI ELASTICA - 1^O STEP

P'

S

CONVENZIONE:

METODO DEI TELAI

INCOGNITE: X, Y, δ

COND. DI CONVERGENZA

φ^p_B=φ^p_C

EA DI EQUILIBRIO

λ_tot=0

Y

Y'

C' C"

B'

B A

X

XL/3EI

X

X2L/3EI

Y2L/6EI

2XL/3EI

-2YL/6EI

-δ

2L

X

2XL/6EI

Y2L/3EI

δ/2L

p q

Y

δ/2L

-δ/2L

-Y

L/3EI

(δ/L)

Lo ​​​

SI RISOLVE IL SISTEMA DI 3 EQUAZIONI DI 3 INCOGNITE DA CUI SI RICAVANO I VALORI DELLE INCOGNITE:

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

(3Y - 2PL) · L - YLE1 - S3EI  →  S2L = - (3Y - 2PL) · 2L2 - 2YL2EI 3EI

​​​

_YL^E1 = - (3Y - 2PL) · L - ³_δ² →  Y = - (3Y - 2PL) + ^3δ_EI ^21_L2

X = 3Y - 2PL  → 

​​​

​Y = -Y + ²_δ³ PL + ^{3S EI}_{21 L²} →  Y = _PL³ + _{3S EI}^4L2

_{S = -2PL³ + ⁹2δ + ^4PL3EI - ^2PL33EI δ}

S = _3EI³ΰ

6δ = 169PL3EI → δ = 827 PL3EI

Y = PL3 + 3S EI4L2 →  Y = PL3 + (827 PL3EI)3EI4L2 →  Y = PL3 + 29PL

X = 3Y - 2PL  → 

​​

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​$\delta$ = 827 PL3EI

Y = ⁵₉ PL

X = 3 (_5l⁹) - 2PL = X  →  X = - _PL³

UNA VOLTA RICAVATI VALORI DELLE INCOGNITE IPERSTATICHE E DELLO SPOSTAMENTOSULLA STRUTTURA RETICOLARE ASSOCIATA. AVENDO CONOSCIUTOSI RIPORTANO TUTTII MOMENTI É POSSIBILE DISEGNARE IL DIAGRAMMA DEL MOMENTO.

δ = ⁸/₂₇

EI LIMITE ELASTICO M_max = M_E → ⁵/₉ P L = M_E → ⁹/₅ = M_E/_L

FORMAZIONE 1^ CERNIERA M_max = M_P → ⁵/₉ P L = M_F → ⁹/₅₂

SICCOME SI CONOSCE LO SPOSTAMENTO δ É POSSIBILE CALCOLARE ANCHE LOSPOSTAMENTO δ_φ IN CORRISPONDENZA DELLA PRIMA CERNIERA :

⁸/₂₇ EI → δ_p = ⁸/_27L³ EI = ⁸ M_P c/₁₅ EI

ANALISI ELASTICA - 2° STEP

CONVENZIONE:

METODO DEI TELAI

INCOGNITE: X , δ

{ φ^B _pB = - φ ^B =φ ^A _MR = 0

-XL/3EI

X2L/3EI

-2MpL/6EI

2MpL/6EI

Mp

φpb; = φp

X8/2L

Mp8/2L

Mpe8/L

Σm = 0

X/2L

P = 3np/2L

X = 3/2 np L

(-3np + 2PL) L

np L/3EI +

δ/2L

3np L

X = -3Mp + 2PL

(-10Mp L + 2PL2) / 3EI =

δ/2L

δ = -20Mp L2 / 3EI + 4PL3/EI

Formazione 2° cerniera

rustica

PC = 2np/L

X = MP

-3Mp + 2PL = Mp

-4Mp + 2PL = 0

P = 2Mp/L

Quindi il carico di collasso è:

Pc = 2np/L

Con la formazione della seconda cerniera si instaura il meccanismo e la

struttura arriva al collasso plastico.

Siccome si conosce lo spostamento δ, è possibile calcolare lo spostamento Sj2

relativo alla seconda cerniera plastica:

┊P = -20Mp L2 / 3EI + 2L2 S 2np / EI k = 4Mp L2 / 3EI

P_e = ⁹/₅ - ^M_c/_L

P_1P = ⁹/₅ - ^M_f/_L = 1,8 ^M_f/_L

P_C = P₂ = ^2M_f/_L

δ_1P = ⁸/₄₅ ^π_L2/_El = 0,53 ^π_L2/_El

δ_2P = ⁴/₃ ^M_pL/_El = 1,33 ^π_L2/_El

δ_1P = 0,53 ^M_pL2/_El

δ_2P = 1,33 ^M_pL2/_El

CALCOLO IL BENEFICIO PLASTICO TOTALE :

B_TOT = ^P_C/_Pe = ^2M_fl/_L = ^2M_f/_L = ^2M_f/_L = ⁵/₉ M_E = ¹⁰/₉ M_E = ¹⁰/₉

CONSIDERANDO UNA SEZIONE RETTANGOLARE E QUIINDI β = 1,5 IL BENEFICIO PLASTICO TOTALE E' :

B_TOT = ¹⁰/₉ β = ¹⁰/₉ 1.5 = 1,66

ESERCIZIO 5

Determinare tramite analisi incrementale e analisi limite il carico critico di collasso e il benefico plastico della struttura in figura. Si consideri che la struttura abbia sezioni rettangolari costanti in tutti i tratti.

ANALISI INCREMENTALE

ANALISI ELASTICA - 1° STEP

CONVENZIONE:

METODO DEI TELAI

INCOGNITE: X, Y, δ

• γ_f^B = γ_f^E
• P_o = 0
• P_ne = 0