Esercizi risolti di Opere geotecniche - Parte 2

Esercizio 17

(Es. 3 degli esercizi)

8 g.d.r

6 g.d.l

2 volte iperstatica

Collasso con la formazione di 3 cerniere plastiche

Analisi incrementale

Analisi elastica - 1^o step

Metodo dei telai

Incognite: X, Y, Z, W, δ₁, δ₂

γ_A = 0 → ^XL/_3EI - ^YL/_6EI - ^δ₂/_L = 0

γ_B = PB → ^YL/_3EI - ^XL/_6EI + ^δ₂/_L = - ^YL/_3EI - ^δ₁/_L

γ_D = PB → ^ZL/_3EI + ^WL/_6EI - ^δ₁/_L = - ^ZL/_3EI + ^WL/_6EI + ^δ₁/_L

γ_ind = 0 → -Y - ^δ₁/_L + P * ^X/_L + Z - ^δ₁/_L = 0

γ_ext = 0 → -X - ^Y/_L - ^δ₁/_L + 2P * ^X/_L + Z - ^δ₁/_L - W = 0

φ_B = 0 → ^WL/_3EI + ^ZL/_6EI - ^δ₂/_L = 0

// // //

Y = -PL - Z

X = -Y + 2PL + Z - W → X = PL + Z + 2PL - W → X = 3PL + 2Z - W

Esercizio 7

Analisi incrementale

Analisi elastica - 1° step

Metodo dei telai

Incognite: X, Y, Z, W, δ₁, δ₂

Y_A = 0 → ^XL/_3EI - ^YL/_6EI - ^δ₂/_L = 0

Y_B = PB → ^YL/_3EI - ^XL/_6EI + ^δ₁/_L = -^YL/_3EI - ^δ₁/_L → ^2YL/_3EI - ^XL/_6EI + ^δ₁/_L

Y_D = PB → ^ZL/_3EI + ^WL/_6EI - ^δ₁/_L = ^ZL/_3EI - ^WL/_6EI + ^δ₁/_L → ^2ZL/_3EI + ^δ₁/_L - ^WL/_6EI + ^δ₂/_L...

Y_RE = 0 → -Y - ^δ₁/_L + P.X + Z - ^δ₁/_L = 0

Y_RE = 0 → ...X - ...Y - ^δ₂/_L + 2P.X + Z - ^δ₂/_L - W - ^δ₂/_L = 0

Φ_E = 0 → ^WL/_3EI + ^ZL/_6EI - ^δ₂/_L = 0

Y = -PL - Z

X = -Y + 2PL + Z - W → X = PL + Z + 2PL + Z - W → X = 3PL + 2Z - W

X = 3PL + Z2 - W

Y = -PL - Z

W = ^3XEI_BEI - ^8YEI_-6EI - ^3ZL_2BEIL

δ¹ = ^7PL3_48EI → δ³ = ^7PL2_6EI

Z = -⁷₈ PL

W = Z + ⁷₆ PL

Y = -PL - Z

X = 3PL + Z2 - X; Y: Z → 2X = Z + 3PL - ^PL₂; ⁷₇

Z = 3PL: X:W = -⁷₈ PL

Y = -^PL₈

X = ³₈PL

Si riportano i valori sulla stat. reticolare associata i valori delle incognite iperstatiche e poi si disegna il diagramma dei momenti.

Il momento massimo è in E.C.D:

M_max = - ⁷₈ PL

Limiti elastici

M_max = M_a → 7/8 P_L = M_a → 8/7 P_E = M_a

Formazione 1a e 2a cerniera

M_max = M₁ → 7/8 P_L = M₁ → P_f = 8/7 P_L

Δ_P = P_L ^.8 M₁ ^.7 L = M_P L²/6EI → → 3EI

Siccome si ha M_max = 7/8 P_L in 2 sezioni contemporaneamente allora il carico P_P. porta alla formazione di 2 cerniere plastiche in contemporanea in D & in E.

Analisi elastica 2^o step

Metodo dei telai

Incognite: X, Y, δ₁, δ₂

φ_A = 0 → X/L + Y/L - δ₂/L = 0

φ_B = φ_B' → -Y/L - X/L + δ₂/L = Y/L - δ₁/L

X_me = 0 → -Y - δ₁/L + 2P . δ₁ - n_P δ₂/L - n_P δ₂/L = 0

X = Y + 2PL - n₂ - n₂

X = PL - n₁ + 2PL = 2n₃ → X = 3PL - 3n₁

S17PL³ - 7n_PL⁴6EI = 6EI

Y = PL - n_P

X = 3PL = 3n_P

A questo punto, per stabilire dove avviene la formazione della 3ª cerniera plastica, occorre vedere in quale delle due sezioni critiche si arriva prima al momento plastico. Imponendo X = n_P e Y = n_P e vedere quale il carico più piccolo per il quale il momento in X o Y raggiunge il valore del momento plastico.

X = M_P 3PL = 3n_P = M_P 3PL

Y = M_P PL - n_P = n_P PL

Formazione 3ª cerniera in A: P_C =