Esercitazione per la prova d'esame di matematica per la maturità 

Simulazione Prova Esame di Maturità di Matematica per Liceo Scientifico

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a.s. 2011 2012

SIMULAZIONE PROVA ESAME DI MATURITA’ PER LICEO SCIENTIFICO

Prova di Matematica

PROBLEMA1        

5 4 3 2

Sia data la funzione g x ax bx cx dx ex f  

g x

1. Determinare i coefficienti in modo che sia pari, abbia un minimo relativo

a

, b

, c

, d , e

, f



nell’origine e un x 1

massimo in ;

 

b 1

2. Posto si studi la funzione ottenuta, indicando in particolare i flessi, e se ne tracci il

grafico G in un sistema di riferimento cartesiano Oxy;

Si determini l’area della regione di piano delimitata dal grafico G e dalle rette individuate

3. dalle ascisse dei flessi;

il volume del solido generato dalla rotazione completa intorno all’asse delle

4. Si determini

ascisse della parte di piano delimitata dal grafico G del primo quadrante. Come cambia il



 k 0

volume se la rotazione avviene attorno alla retta di equazione con ?

y k

PROBLEMA2  

  

   

2 x

Sia data la funzione f x ax bx c e

1. Si determinino i coefficienti di modo che

a , b

, c 

1 2

     

  

   

    

1 1 2 2

f x dx 4 2

e , f x dx 2

e e , f x dx e

0 1 2

2. Si studi e si disegni la funzione ottenuta al punto precedente; 

un’approssimazione a meno di 2

3. Tramite uno dei metodi numerici studiati, si dia del

10



punto di intersezione tra la curva e la retta r di equazione ;

y 8

Si calcoli l’area della regione di piano compresa tra la curva, l’asse

4. delle ordinate e la retta r

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QUESTIONARIO 



 

  x

  

Determinare l’insieme di definizione della funzione

1. f x log arctan 

1  

x 4

2

Determinare l’ampiezza di ciascun angolo alla base di un trapezio isoscele circoscritto a un

2. semicerchio di raggio di misura r in modo che la superficie del solido generato dal trapezio in

 

  2

una rotazione completa intorno alla base maggiore risulti .

2 3 2 2 r

 a 

 x

e x 0



f ( x )

3. Data la funzione , studiarne la continuità e derivabilità su R al



 x sin( x ) x 0

variare del parametro a.  

  3 5 2 x

 

x 2

4. Calcolare il limite per di .

f x  

2

x 5 x 6

    4 4



  

x x 2 x

f x

5. Di una funzione si sa che la sua derivata terza è e che

f ' ' ' x e e e

3 3

       

   

f 0 2

, f ' 0 1

, f ' ' 0 1 f x

. Si trovi .

    

6. Risolvere la disequazione .

1 x 1 1 x 1

7. Una scatola contiene 6 palle bianche, 3 palle rosse, ed 1 palla verde. Si estraggono dalla

scatola tre palle in successione, senza inserire ciascuna palla nuovamente nella scatola dopo

averla estratta.

a) Calcolare la probabilità di estrarre tre palle bianche.

b) Calcolare la probabilità di estrarre tre palle bianche sapendo che la prima palla estratta è

bianca.

c) Calcolare la probabilità di estrarre tre palle bianche sapendo che le prime due palle estratte

sono bianche.

d) Calcolare la probabilità che nessuna delle tre palle estratte sia bianca.

 

   

 3 2

8. Calcolare il valore medio della funzione in

f x ln x e

, e

   

n n

   

   

  3 2

n 3

n 2 n

9. Sia . Risolvere la seguente equazione:

n    

   

4 3

10. Tra tutti i parallelepipedi rettangoli di altezza h e di superficie totale costante S , qual è

quello di volume massimo?

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PROBLEMA1        

5 4 3 2

Sia data la funzione g x ax bx cx dx ex f

Punto 1

Determinare i coefficienti in modo che la funzione sia pari, abbia un minimo

a

, b

, c

, d , e

, f 

relativo nell’origine e un massimo in x 1

     

 

g x g x

g x

La funzione sarà pari se e quindi se

            

5 4 3 2 5 4 3 2

ax bx cx dx ex f ax bx cx dx ex f 

 a 0



            

5 3 5 3 5 3 

ax cx ex ax cx ex 2 ax 2

cx 2

ex 0 c 0

 



e 0

      

4 2

g x

di conseguenza diventa .

g x bx dx f  

   

    

Essa passerà per l’origine se 4 2

g 0 0 f 0 g x

per cui diventa .

g x bx dx

   

     

3 2

g x

La derivata prima e seconda di sono rispettivamente e

g ' x 4

bx 2

dx g ' ' x 12

bx 2

d

  

 g ' 0 0  

 



x 0 g ' 0 0

; essa presenterà un minimo in se . La condizione è implicitamente

  

 g ' ' 0 0

  

 d 0

g ' ' 0 0

verificata, mentre comporta .   

 g ' 1 0

 

x 1 è garantita se e quindi se

La presenza del massimo in   

 g ' ' 1 0

     

  

4

b 2 d 0 d 2

b d 2

b 

 

   d 0

. Notiamo che la condizione è implicitamente

    

  

12

b 2 d 0 12

b 4

b 0 b 0

  

b 0 d 2

b

verificata da in quanto .  

g x

Tenendo conto dei risultati ottenuti, la forma analitica della famiglia di funzioni diventa

 

  

 

4 2 b 0

g x b x 2x con il vincolo .

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Punto 2  

b 1

Posto si studi la funzione ottenuta, indicando in particolare i flessi, e se ne tracci il

grafico G in un sistema di riferimento cartesiano Oxy

 

 

   

2 2

b 1

Posto g x x 2 x

studiamo la funzione

 

  

 D : ,

Dominio: ;

g  

 

          

2 2

Intersezione asse ascisse: ;

g x x 2 x 0 x 2 x 0 x 2

 

  

 x 0 g 0 0

Intersezione asse ordinate: ;

 Simmetrie: la funzione è pari come da ipotesi;

   

 

 

      

2 2

Positività: ;

g x x 2 x 0 2 ,

0 0

, 2

 Asintoti verticali: visto che il dominio è tutto R, non vi sono asintoti verticali;

 

  

Asintoti orizzontali: poiché concludiamo che non vi sono asintoti orizzontali;

lim g x

 

x  

g x

  



Asintoti obliqui: poiché concludiamo che non vi sono asintoti obliqui;

lim

  x

x  



 m 0

,

0

Crescenza e decrescenza: da ipotesi, la funzione presenta un minimo relativo in e

 



M 1

,

1

un massimo relativo ed assoluto in ; per la parità la funzione presenterà un

1  

   

    3

M 1

,

1

massimo relativo ed assoluto anche in ; infatti la derivata prima g ' x 4 x x

2

   

   

, 1 0

,

1

è positiva in in cui la funzione è strettamente crescente e negativa in

   

  

1

,

0 1

, in cui è strettamente decrescente;  

 

   2

Concavità e convessità: la derivata seconda è per cui la funzione presenta

g ' ' x 4 1 3 x

   

3 5 3 5

   

  

due flessi a tangente obliqua in e

F , F ,

   

1 2

3 9 3 9

   

Di seguito il grafico:

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Punto 3

Si determini l’area della regione di piano delimitata dal grafico G e dalle rette individuate

dalle ascisse dei flessi

L’area richiesta è pari a 3 3 3

 

    3 5

3 3 2 x x 3

 

      

2 4 2 4  

S 2 x x dx 2 2 x x dx 2  

3 5

0

3 0

 3

 

2 3 3 2 3

 

  

2

 

27 135 15

 

in cui, nel primo passaggio, si è sfruttata la parità della funzione integranda.

Punto 4

Si determini il volume del solido generato dalla rotazione completa intorno all’asse delle

ascisse della parte di piano delimitata dal grafico G del primo quadrante. Come cambia il



 k 0

volume se la rotazione avviene attorno alla retta di equazione con ?

y k

Il volume del solido generato dalla rotazione completa intorno all’asse delle ascisse della parte di

piano delimitata dal grafico G nel primo quadrante è pari

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   

2 2 2

 

  

  

2

      

2 4 2 8 6 4

V g x dx x 2 x dx x 4 x 4 x dx

0 0 0

 

2

 

9 7 5

x 4 x 4 x 16 2 32 2 16 2

 

 

      

   

 

9 7 5 9 7 5

 

0

 

 

560 2 1440 2 1008 2 128 2

 

 

 

 

315 315

  

 k 0

Il solido generato dalla rotazione completa intorno alla retta con della parte di piano

y k

delimitata dal grafico G nel primo quadrante può essere visto come insieme delle sue sezioni con

piani perpendicolari all'asse x; tali sezioni sono corone circolari di raggio esterno

     

  

R x

, k g x k R k k

e raggio interno . Pertanto il volume richiesto è pari a

est int  

   

 

2 2

     

 

  2

      

2 2 2 2 2

V k R x , k R k dx x 2 x k k d