Esercitazione per la prova d'esame di matematica per la maturità 

R x

, k g x k R k k

e raggio interno . Pertanto il volume richiesto è pari a

est int  

   

 

2 2

     

 

  2

      

2 2 2 2 2

V k R x , k R k dx x 2 x k k dx

est int

0 0

 

   

2 2

 

 

2

            

4 2 2 8 4 2 6 4 2 2

x 2 x k k dx x 4 x k 4 x 2 x k 4 k x k dx

0 0   2

 

 

  5 3

2   9 7 2 x k 2 4 k x

x 4 x



 

          

 

8 6 4 2

x 4 x 2 x k 2 4 k x dx  

9 7 5 3

 

0 0

 

 

 

8 2 k 2 8 2 k

16 2 32 2



    

 

 

9 7 5 3

 

 

     

16 2 32 2 16 2 8 2 8 2 128 2 16 2

     

 

       

 

k k

     

 

9 7 5 5 3 315 15

     

    128 2 

 

k 0

Notiamo che se il volume tende al valore precedentemente calcolato lim V k

 315

k 0

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a.s. 2011 2012

PROBLEMA2  

  

   

2 x

Sia data la funzione f x ax bx c e

Punto 1

Si determinino i coefficienti di modo che

a , b

, c 

1 2

     

  

   

    

1 1 2 2

f x dx 4 2

e , f x dx 2

e e , f x dx e

0 1 2

 

 

  

l’integrale indefinito utilizzando l’integrazione per

2 x

Calcoliamo innanzitutto ax bx c e dx

parti. Si ha:      

 

  

           

2 x 2 x x

ax bx c e dx ax bx c e 2 ax b e dx

    

  

          

2 x x x

ax bx c e 2 ax b e 2 a e dx

   

  

          

2 x x x

ax bx c e 2 ax b e 2 a e

 

    

        

2 x

ax 2 a b x 2 a b c e costante



1 2

     

  

f x dx , f x dx , f x dx

Ora calcoliamo i tre integrali definiti . Si ha:

0 1 2

 

 

1          

 1

 

              

2 x 1

f x dx ax 2 a b x 2 a b c e 5

a 2

b c e 2 a b c

0

0  

 

2          

 2

  

              

2 x 2 1

f x dx ax 2 a b x 2 a b c e 10 a 3

b c e 5

a 2

b c e

1

1

   

 

       

 

  

          

2 x 2

f x dx ax 2 a b x 2 a b c e 10 a 3

b c e

2

2 

1 2

     

  

   

    

1 1 2 2

f x dx 4 2

e , f x dx 2

e e , f x dx e

Imponendo si ha:

0 1 2

   

  

       

1 1

5

a 2

b c e 2 a b c 4 2

e

    

   

       

2 1 1 2

 10 a 3

b c e 5

a 2

b c e 2

e e



   

  

2 2

10 a 3

b c e e



da cui

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 

  

 2 a b c 4



 

  

 5

a 2

b c 2



 

  

 10 a 3

b c 1

Sottraendo la prima alla seconda ed alla terza il sistema diventa  1



 a



     2

        

  

2 a b c 4 2 a b c 4 c 4 2 a b



  

  7

             

   

3

a b 2 b 2 3

a b 2 3

a b 2

   

   

       

 

8

a 2

b 3 8

a 2 2 3

a 3 1

 

 13

a 

 c



2  2

 

 

2

  x 7 x 13

  

  x

f x e

Di conseguenza la funzione ottenuta è  

 

2

Punto 2

Si studi e si disegni la funzione ottenuta al punto precedente

 

 

2

  x 7 x 13

  

  x

f x e

S  

tudiamo la funzione  

2

 

  

 D : ,

Dominio: ;

f  

 

2

  x 7 x 13

  

     

 x

f x e 0 x R

Intersezione asse ascisse: in quanto sia

 

 

2

  

 

2 x

che sono sempre positivi in tutto R;

x 7 x 13 e   13

  

 x 0 f 0

Intersezione asse ordinate: ;

2

 Simmetrie: la funzione non è né pari né dispari;

 

   

2

  x 7 x 13

  

      

  

x 2 x

f x e 0 x R

Positività: in quanto sia che

x 7 x 13 e

 

 

2

sono sempre positivi in tutto R;

 Asintoti verticali: visto che il dominio è tutto R, non vi sono asintoti verticali;

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 Asintoti orizzontali: poiché

 

 

 

2

  x 7 x 13

  

       

x

 

lim f x lim e ,

 

     

2

 

x x  

   

2 Applicando 2 volte

  x 7 x 13 1

 

 

   



  

 

de l' Hospital

lim f x lim lim 0

   

x x

     

 

2

e e

x x x



concludiamo che è asintoto orizzontale destro;

y 0    

f x f x

   

Asintoti obliqui: poiché concludiamo che non vi sono asintoti

lim , lim 0

   

x x

x x

obliqui;

 Crescenza e decrescenza: la derivata prima è

   

     

 

2 2

  x 7 x 13 2 x 7 x 9 x 20

   

  

      

 

x x x

f ' x e e e ; di conseguenza

   

 

   

2 2 2

 

  

2

  x 9 x 20

  

         

x 2

f ' x e 0 x 9 x 20 0 4 x 5 per cui la funzione è

 

 

2      

   

, 4 5

,

4

,

5

strettamente crescente in e strettamente decrescente in e presenta un

   

 

4 5

e 3

e

   

 

m 4

, M 5

,

minimo relativo in e un massimo relativo in ;

   

   

2

2

 Concavità e convessità: la derivata seconda è

   

      

 

2 2

  x 9 x 20 2 x 9 x 11

x 29

   

  

      

 

x x x

f ' ' x e e e che si annulla per

   

 

   

2 2 2



11 5

    

2 in cui la funzione presenta due flessi a tangente obliqua

x 11

x 29 0 x 2

Di seguito il grafico non in scala, così presentato per mostrare la crescenza/decrescenza e

concavità/convessità della funzione. Si ricordi che tale grafico interseca l’asse delle ordinate in

 

13

  :

0

,

 

2

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Punto 3 

dia un’approssimazione 2

Tramite uno dei metodi numerici studiati, si a meno di del punto

10



di intersezione tra la curva e la retta r di equazione y 8

 

   

2

x 7 x 13

  x 

      

Dobbiamo risolvere l’equazione 2 x

e 8 e cioè .

x 7 x 13 e 16 0

 

 

2

 

     



        

2 x

Poniamo ; notiamo che e per cui a

h x x 7 x 13 e 16 lim h x lim h x 3

  

x x 0

     

 

      

,

0 | h 0 ,

0

norma del teorema degli zeri . Tale zero è anche unico in quanto in

la funzione è strettamente decrescente.

   

1 1

  

   

consideriamo l’intervallo

Poiché per calcolare lo zero ; ci avvaliamo del

h 0 ,

0

   

5 5

metodo di Newton-Raphson che permette di calcolare lo zero ricorsivamente tramite la formula

 

h x    

1

   

n

x x h x h ' ' x

con punto iniziale in quanto e sono concordi. La tabella

x

 



n 1 n 0 0

0

h ' x 5

n

seguente mostra tutti i passi dell’algoritmo: 

 2

n x x err=|x -x | err 10

n n+1 n n-1

0 -0,200 -0,138 NO

1 -0,138 -0,136 0,062 SI

2 -0,136 -0,136 0,002

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a.s. 2011 2012  

1



 

appartenente all’intervallo