Lezione del 02/03/2022: vettori
Quasi tutte le grandezze con cui abbiamo a che fare sono grandezze vettoriali. Faremo:
- Cinematica
- Dinamica di punti materiali
- Dinamica di sistemi di punti materiali
Cioè quando abbiamo corpi estesi oppure un insieme di punti materiali che interagiscono fra loro o che sono soggetti ad alcune forze, si può definire il concetto di sistema di punti materiali. Si tratta di un sistema che in qualche modo è a sé stante, che subisce delle forze dall’esterno e reagisce a queste forze. Tutto ciò si basa sull’uso dei vettori.
Un vettore lo possiamo vedere come una freccia e abbiamo 3 caratteristiche principali:
- Punto di applicazione del vettore che è posto all’estremità della freccia
- Verso, sarebbe la punta
- Modulo, la lunghezza del vettore
Oltre a queste abbiamo la direzione. Un vettore è una parte di una retta e quella sarà la direzione del vettore. Il modo in cui percorriamo questa retta è il verso. Se vado dal punto di applicazione in questo modo il verso sarà così.
Lezione del 02/03/2022: vettori
Quasi tutte le grandezze con cui abbiamo a che fare sono grandezze vettoriali. Faremo:
- Cinematica
- Dinamica di punti materiali
- Dinamica di sistemi di punti materiali
Cioè quando abbiamo corpi estesi oppure un insieme di punti materiali che interagiscono tra loro o che sono soggetti ad alcune forze si può definire il concetto di sistema di punti materiali.
Si tratta di un sistema che in qualche modo è a sé stante, che subisce delle forze dall'esterno e reagisce a queste forze.
Tutto ciò si basa sull'uso dei vettori.
Un vettore lo possiamo vedere come una freccia e abbiamo 3 caratteristiche principali:
- Punto di applicazione del vettore che è posto all'estremità della freccia
- Verso, sarebbe la punta
- Modulo, la lunghezza del vettore
Oltre a queste abbiamo la direzione.
Un vettore è una parte di una retta e quella sarà la direzione del vettore.
Il modo in cui percorriamo questa retta è il verso.
Se vado dal punto di applicazione in questo modo il verso sarà così.
Potrei avere sulla stessa direzione un vettore con verso opposto.
La retta/direzione è la stessa, ma abbiamo cambiato verso.
Retta/direzione uguale, ma verso opposto.
Modulo
Si può esprimere così |a⃗ | ≡ a. (oppure come scritto a destra)
Sistema di riferimento in cui questo vettore viene identificato
Ci sono diversi modi per esprimere questo vettore quando lo riferiamo ad un sistema di riferimento.
Se identifichiamo un sistema di assi cartesiani x/y, il vettore potrà essere identificato nel diagramma cartesiano tramite le sue componenti.
Come si trovano le componenti di un vettore
Si potrebbe trovare un vettore tramite le sue componenti, oppure avendo già il vettore si possono trovare le componenti per via grafica.
Si va alla punta del vettore e da lì si traccia un segmento perpendicolare all'asse di cui vogliamo conoscere la componente.
Ho identificato in maniera univoca il vettore in un sistema di assi cartesiani.
Lo spazio che avremmo fra il punto di applicazione del vettore (O) e il punto dove andrà...are la perpendicolare partendo dalla punta del vettore, sarà la lunghezza della detta componente.
Quando ax è la componente x del vettore a e ay è la componente y del vettore a.
Un altro metodo per rappresentare le componenti è tramite i vettori, ...o vettori con modulo pari a 1.
Il versore lo posso utilizzare come se vedessi prendere una distanza e contare quella distanza tr... â -> versore orientato lungo l'asse x.
ĵ -> versore orientato lungo l'asse y.
I versori mi servono per dare una direzione e un verso a quella componente che altrimenti sarebbe solo un numero.
ax lo potrei vedere come un numero che modifica un vettore.
Poiché la componente quando viene moltiplicata per un versore, diventa essa stessa un vettore posso sempre fare la somma tra due vettori e ottenere un terzo vettore.
(ax, ay) ≡ â ax + ĵ ay
Se andassi a modificare ax per â ottengo un vettore in questa direzione e la stessa cosa accadrebbe lungo y.
Se facessi â ax + ĵ ay, per la regola del parallelogramma ottengo il vettore iniziale.
(ax, ay) ≡ â ax + ĵ ay
Ho indicato solo per sue componenti sotto forma di scalari somma di altri due versori.
Questa forma mi serve per fare dei calcoli.
Se avessi un certo numero di vettori e vorrei farne la somma, se ho tutti i vettori espressi c... componenti che modificiamo i, sommati ai componenti che modificammo j, quando vorrò fare la somma di due vettori dovrò andare a sommare tutti i contributi delle che modificammo i e quelli che modificammo j.
Piano cartesiano xy
(Piano cartesiano xy)
\(\vec{a^o} + \vec{b^o} = \hat{i}(a_x + b_x) + \hat{j}(a_y + b_y)\)
\(\vec{a^o} - \vec{b^o} = \hat{i} a_x + \hat{j} a_y - (\hat{i} b_x + \hat{j} b_y) = \hat{i}(a_x - b_x) + \hat{j}(a_y - b_y)\)
Nota Bene: \(\vec{b^o} - \vec{a^o} \neq \vec{a^o} - \vec{b^o}\)
Le componenti devono essere identificate rispetto ai versi corrispondenti.
All'esame bisogna primo scrivere le formule e poi sostituire i numeri.
Prodotti tra vettori
Prodotto scalare = \(\vec{a^o} \cdot \vec{b^o} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b\)
(risultato=scalare)=è somma dei prodotti dei componenti.
Prodotto vettoriale = \(\vec{a^o} \times \vec{b^o}\)
(risultato=vettore)
Per il prodotto vettoriale entra in gioco il determinante di una matrice.
\(\vec{a^o} \times \vec{b^o} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x_a & y_a & z_a \\ x_b & y_b & z_b \end{vmatrix} = \hat{i} (y_a z_b - z_a y_b) - \hat{j} (x_a z_b - z_a x_b) + \hat{k} (x_a y_b - y_a x_b)\)
Come si risolve un determinante 2x2? Si fanno delle moltiplicazioni incrociate.
\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = (a \cdot d) - (b \cdot c) = ad - bc\)
Momento di una forza
Se abbiamo un oggetto e gli diamo uno spunto stiamo esercitando una forza.
Se vogliamo mettere in rotazione un oggetto, esercito la forza in maniera diversa. L'oggetto andrà a ruotare intorno ad un asse che passa per il punto, se metto dei vincoli. È una forza esercitata rispetto ad un polo, cioè ci sarà un braccio della forza, cioè una distanza il punto di applicazione della e il punto di rotazione dell'oggetto che è ben definita. In realtà sto applicando un momento di una forza.
Momento di una forza: = x
Se p è pari a 0, non ruota nulla.
Forza particolare che viene applicata ad un oggetto che è incaridato da qualche parte.
Il momento è quello che mi fa ruotare la forza.
Trasformo una forza in un momento quando si crea un braccio.
Se siamo con vettori che hanno 3 componenti è un po' complicato da visualizzare.
Se ho un vettore, i posso identificare un piano in cui sta questo vettore. Il piano però può essere degenero. Intorno ad uno stesso vettore a possono essere infiniti piani. Quando abbiamo due vettori abbiamo per forza identificato un piano.
Qualunque coppia di vettori, identifica un piano che li include entrambi.
Il prodotto vettoriale si trova perpendicolare al piano identificato dai prodotto dei due vettori di cui stiamo parlando.
Se avessimo a x b è un vettore perpendicolare al piano detto lavagna (xy), sarà lungo z, dove z è una direzione.
Noi vogliamo sapere il verso di a x b.
Regola mano destra
Regola mano destra.
- Indice: primo vettore prodotto vettoriale ( )
- Medio: secondo vettore prodotto vettoriale ( )
- Pollice = direzione e verso prodotto vettoriale
1) L'asse o il vettore corrispondente è uscente dal piano.
a⃗ x b⃗ => Vettore uscente
b⃗ x a⃗ => Vettore entrante
Sistema cacciavite
Sistema cacciavite:
Il cacciavite avrà un senso orario.
Se volessi fare b⃗ x a⃗ e quindi volessi portare b⃗ su a⃗ utilizzando un cacciavite, ruoterei in senso orario, b ruoterebbe su a e il cacciavite tenderebbe ad entrare nella lavagna.
Il verso del cacciavite mi dà il vettore risultante (il cacciavite entra nella lavagna), se faccio a⃗ x b⃗ invece il cacciavite è uscente.
Se avessimo vettori che stanno nel piano e quindi che hanno solo x e y come componenti:
a⃗ x b⃗ = k [(xayb - yaxb)]
(Il risultato del prodotto starà lungo z)
Se r⃗ è il braccio della forza e F⃗ ﹰè la forza stessa, il vettore momento della forza sarà uscente.
Dovremmo traslare il vettore r⃗ nello stesso punto di applicazione del vettore F⃗ (Il momento di una forza fa ruotare un oggetto).
Momento uscente:
L'oggetto ruoterà in senso antiorario.
Momento entrante:
L'oggetto ruoterà in senso orario.
Momenti opposti:
Il verso complessivo deriva dalla somma dei due vettori. Quello che prevale ci darà la rotazione.
Vettori in un diagramma polare
La rotazione avviene principalmente nei diagrammi polari.
Disegniamo un sistema d'assi per identificare delle direzioni, dove disegno un vettore ã e utilizzo l'angolo che questo vettore forma con l'asse x = θ!
Prima avevamo identificato nel nostro vettore la componente x e la componente y.
Quelle componenti ci permettevano di spostarci dall'origine del sistema di riferimento ad un punto che era l'estremità del vettore ã(0).
Un modo alternativo per fare quest'operazione è quello di considerare la lunghezza del nostro vettore che potremmo chiamare a, e poi l'angolo che questo vettore forma con l'asse x.
Una volta che ho deciso la lunghezza di un vettore e ruoto questo vettore di un certo angolo, andrò a beccare tutti i punti che stanno su una circonferenza il cui raggio è proprio il modulo del vettore.
Se andassi a variare la lunghezza del vettore, andrei a variare la circonferenza. In linea di principio con l'angolo potrei andare a beccare tutti gli altri punti!
Quindi se cambiamo la lunghezza del vettore da 0 ad infinito e l'angolo da 0 a 360, tocchiamo tutti i punti del piano cartesiano che stiamo considerando.
ã = (ax; ay) ≡ (a; θ)
Sistema di coordinate polari
(Modulo e angolo del vettore)
Normalmente, si stabilisce tra sistemi di riferimento diversi dei modi per vedere come corrispondono le varie componenti del vettore.
Potremmo capire ax, ay come si scrivono in funzione di a, e θ.
Una volta che conosciamo il modulo del vettore, andando ad applicare seno e coseno di θ, troviamo le componenti.
Dalla trigonometria di base, notiamo che formiamo un triangolo rettangolo dove a rappresenta l'ipotenusa e θ è l'angolo al vertice fra l'ipotenusa ed uno dei due cateti.
Il cateto adiacente all'ipotenusa è ax=a·cosθ (proporzionale al coseno).
Il cateto opposto all'angolo θ sarà ay=a·sinθ (proporzionale al seno).
Se volessimo esprimere a in funzione di ax e ay, lo potremmo calcolare come il teorema di Pitagora in quanto ax e ay sono i due cateti.
a = √ax2 + ay2
θ = arctg (ay / ax) poiché (ay / ax = (a·sinθ) / (a·cosθ) = tgθ
Se dobbiamo fare dei calcoli con gli angoli, vanno sempre espressi in radianti.
Piano inclinato
Supponiamo di avere un corpo di massa m che sta scendendo o salendo lungo il piano inclinato e bisogna stabilire quali sono le forze che agiscono su questo corpo per poter trovare il moto della massa.
La forza più ovvia che andremo a disegnare è la forza peso, cioè quella forza che tenderebbe a far andare il corpo verso il basso.
Ma poiché c'è questo vincolo/superficie inclinata che non permette al corpo di cadere liberamente, ma scivola lungo il piano.
La forza peso viene scomposta lungo alcune direzioni specifiche, cioè lungo la direzione del piano inclinato stesso.
Questo ci fa sì che prenderne un'asse x (lungo il piano) e un asse y (perpendicolare al piano).
Nei problemi avremo θ. Dobbiamo riferire la forza peso all'asse x e all'asse y, cioè trovare le componenti di questa forza lungo x e lungo y.
Tracciamo una parallela all'asse y e poi dal punto del vettore dobbiamo cercare la compo_mente alla direzione.
Le componenti di un vettore si calcolano partendo dal punto del vettore, tracciando una perpendicolare all'asse di riferimento che stiamo considerando.
L'asse che consideriamo di riferimento, cioè lo y, me abbiamo tracciato una parallela e quindi è come se stessimo riferendo la componente proprio a quell'asse.
Partiamo dal punto del vettore e ci spostiamo perpendicolare all'asse y e mi trovo questo pezzettino componente vettore forza peso lungo y componente vettore forza peso lungo y e componente vettore forza peso lungo x.
Per come abbiamo scelto le componenti l'angolo tra le due componenti dev'essere retto.
Disegniamo in modo più chiaro = 0.
Si creano due triangoli:
- Piano inclinato
- Questo
Se questi due triangoli sono simili e lo sono, in quanto questo cateto è in comune e rappresento l'ipotenusa, invece i due cateti sono i cateti corrispondente del piano inclinato.
Seno e coseno nei casi dei prodotti tra vettori
Prodotto scalare: si può scrivere in una forma diversa.
Prodotto vettoriale: ottenere il modulo del prodotto vettoriale.
Prodotto scalare: a⃗ · b⃗ = aₓbₓ + ayby = abcosθ.
bcosθ potrebbe essere vista come la componente di b lungo il vettore a⃗, cioè se dopo il punto di vettore b⃗ tracciamo una normale al vettore a⃗, il segmento che otteniamo è bcosθ.
Quindi il prodotto scalare lo possiamo vedere come il modulo di a⃗ per bcosθ, cioè la componente di b lungo a⃗.
Quando abbiamo due vettori a⃗ e b⃗ che sono perpendicolari tra loro, il prodotto scalare vale 0.
Domanda d'esame
Domanda d'esame.
Esempio di prodotto scalare: Lavoro (L)
L = f⃗ · d⃗
Spostamento è quello che vediamo imprimere al corpo dando una forza.
Il lavoro sarà massimo quando la forza è parallela allo spostamento.
Pavimento, sedia, applico una forza fatto così F⃗. Vado a vedere questa forza come mi può essere utile per ottenere uno spostamento lungo questo piano. Formerà un angolo θ tra la forza e lo spostamento e l’unica componente che sarà utile allo spostamento stesso, cioè a compiere lavoro, sarà quella componente che vado a tracciare lungo il vettore spostamento.
F · cosθ mi dà la componente lungo d.
L = Fcosθ·d
La componente utile nel lavoro sarà quella lungo lo spostamento.
La componente utile in una rotazione sarà quella perpendicolare al braccio.
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