Vettori (proprietà e operazioni)

Vettori

Grandezze scalari vettoriali.

Vettore e caratteri standard: modulo, direzione, verso.

I vettori sono applicati in un punto; il punto di applicazione è rilevante.

Campi vettoriali

Regione di spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; campo vettoriale è dunque l'insieme di tali vettori.

I campi in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono equipollenti.

Campi uniformi

I campi in cui i vettori, pur diversi, si mantengono inalterati nel tempo: campi stazionari.

Somma di vettori

c̅ = a̅ + b̅

Proprietà dei vettori

• Prodotto vettore per scalare.

m = 1 → b̅ = b̅ᵒ

m = -1 → b̅ = -b̅

• Proprietà commutativa: a̅ + b̅ = b̅ + a̅
• Proprietà associativa: (a̅ + b̅) + c̅ = a̅ + (b̅ + c̅)

Scomposizione di un vettore

Δr̅ = Δx̅ + Δy̅

Vettori componenti.

Δx̅ = Δx · ȋ̂x

Δy̅ = Δy · ȋ̂y

Componenti versori unitari.

Δr̅ = Δx · ȋ̂ + Δy · ȋ̂y

Modulo, direzione e verso.

Δr = √(Δx² + Δy²)

ϴ = arctan(Δy/Δx)

Vettori

Vettori grandezze scalari vettoriali.

Vettore e caratteri standard: modulo, direzione, verso.

I vettori sono applicati in un punto; il punto di applicazione è rilevante.

Campi vettoriali

Regione di spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; campo vettoriale è l'insieme di tali vettori.

I campi in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono equipollenti.

Campi uniformi

I campi in cui i vettori, pur diversi, si mantengono invariati nel tempo.

Campi stazionari

Somma di vettori

d = a + b

Proprietà dei vettori

• 1. Prodotto vettore per scalare: m a = a b = m b
• 2. Proprietà commutativa: a + b = b + a
• 3. Proprietà associativa: (a + b) + c = a + (b + c)

Scomposizione di un vettore

x = a + b

ΔR = √(Δx² + Δy²)

Modulo, direzione e verso.

Versori

Modulo unitario.

Notazioni: _{x y z x y z}

Somma in coordinate cartesiane

_a = _xx + _yy

_b = bx_x + by_y

_a + _b = (ox + bx)_x + (oy + by)_y

Prodotto fra vettori

Prodotto scalare

_a ⋅ _b = ab cos θ

È uno scalare.

_a⋅_b = ox_x + oy_y ⋅ (bx_x + by_y)

= oxb_x ⋅ _x + oxby_x ⋅ _y + oybx_y ⋅ _x + oyby_y ⋅ _y

1 0 0

0 1 0

Vettori i j

oxbx + oyby

Proprietà del prodotto scalare

• Commutativa: _a ⋅ _b = _b ⋅ _a = ab cos θ
• _a ⋅ _b = 0 _a ⊥ _b
• _b ⋅ _e = |_b| |_e| cos θ = 0
• Distributiva: _a (⋅ _b + _c) = _a ⋅ _b + _a ⋅ _c

Teorema del coseno

Teorema del coseno (del coseno).

_c = _a + _b

c² = ( ( ) + ( ))

= a² + b² + 2ab cos θ

Prodotto vettoriale

_a × _b = ab sin θ

Area del parallelogrammo.

Proprietà del prodotto vettoriale

• Non commutativa: _a × _b = - _b × _a
• Se il risultato è nullo: se uno dei due vettori è nullo o anche se i vettori sono paralleli
• Distributiva: _a × (_b + _c) = _a × _b + _a × _c
• NO associativa: _a × (_b × _c) ≠ (_a × _b) × _c

_abc

(_a × _b) × _c = _a

_a × (_b × _c) = 0

{u_x x u_x = 0

u_x x u_y = u_z}

Il prodotto vettoriale è definito dal determinante.

a ∙ ḃ = a b_N

a × ḃ = a × (b_x+ b_N) = a × b_x ; a × b_N = a × b_N

Momento di un vettore rispetto ad un polo

M_o = OP x F

|M_o| = |OP||F|sinθ

Proprietà (dipendono da quelle del prodotto vettoriale):

M_o è ortogonale al piano individuato da OP F.

Se OP = 0 o F = 0 M_o = 0.

If OP and F are parallel:

Se θ = 0 allora OP x F = 0.

Consider a different pole O′:

OP = OO′ + O′P

Thus: M_o' = O′P x F + OO′ x F = M_o + OO′ x F

M_o' = M_o if OO′ and F are parallel.

Derivata di un vettore

limΔt → 0 b(t + Δt) − b(t) / Δt

La derivata di un vettore è un vettore.

La derivata di un vettore in generale non è parallela al vettore.

L'indendendiaten: | Se Δx and Δy det (a non variato nel tempo)

If b non variato nel tempo)

Derivata di un versore

Un versore può compiere solo rotazioni.

limΔt → 0 Δb / Δt = e(sinΔθ)

d/dt (a x b) = d/dt a x b + a x d/dt b

l è arco