Teoria Tecnologie per le telecomunicazioni (appunti presi con iPad)

Argomenti affrontati

• Concetti segnali base sui.
• Sviluppo Fourier serie.
• Trasformata di Fourier di: triangolo, treno rettangolo di gaussiana impulsi, banda di un segnale, proprietà delle TDF, seno, coseno, relazione di Pomerol, TDF dei segnali periodici.
• SLTI: definizione di sistema, risposta all'impulso, convoluzione, la causalità, filtro passa basso, passa alto, passa banda, risposta in frequenza, distorsione lineare e distorsione non lineare.
• Campionamento: discretizzazione nel tempo e in frequenza, segnali a banda limitata, segnali fisici, condizione di Nyquist, teorema del campionamento, ricostruzione segnale continuo del tempo, filtro anti-aliasing, aliasing, quantizzazione, oversampling.
• Trasformata di Fourier discreta: definizione.
• Probabilità e variabili aleatorie: variabili discrete e continue usuali, istogramma e densità di probabilità, valor medio, valore quadratico medio, varianza, deviazione standard, densità di probabilità gaussiana.
• Processi casuali: descrizione dei processi casuali, processi casuali ergodici, processi casuali bianchi, rumore termico.
• Probabilità di errore: rumore additivo in ricezione, Pe( ) condizione di errore.
• Modulazioni numeriche: definizione, tecniche di modulazione NRZ, NRZ unipolare: 4105K, bipolare 4175KZ, ASK 00K.
• Comunicazioni ottiche: composizione fibra, legge di Snell, cause di dispersione, modalità di propagazione MMF, SMF, dispersione modale, dispersione velocità di gruppo, Optical sources, Optical receiver, WDM, architetture di rete GPON.
• Comunicazioni in coppie rame: scenari lost mile, impedenza, diafonia, DSL✗.
• Ethernet Standards.
• Caratterizzazione del canale radio: antenna, potenza ricevuta e densità di potenza, area efficace e guadagno.

Sviluppo di Fourier in serie

È il concetto base che si basa sul fatto che ogni segnale periodico di periodo T può essere rappresentato come una somma con un pari di esponenziali complessi a frequenza un multiplo intero della frequenza fondamentale f = 1/T, e con opportuna ampiezza iniziale e sfasamento: non M'00 )tkfot -10k][ Ayylt ) e= =,K -00=folkEJZTKÈ YK= ( l' AK ampiezza ovvero 00 LE: - coefficienti lo sfasamento e serie della di iniziale 0k Fourier?

Come si calcolano Kfotfu 52 '% e-YK de)ylt= se il segnale è REALE lo posso scrivere come sovrapposizione di seni e coseni: È Yoylt bksintitfokt) Zitkfot)(2 )+: CosQK -K -1 (- 2) continua pa. .. .← ↳ Se ylt è PARI sarà composto solo da una somma di coseni, coefficienti pari sono, se ylt è DISPARI sarà composto solo da una somma di seni, coefficienti dispari sono.

Esempio: la costante, l'onda quadra, il coseno, il treno di impulsi e il seno.

Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier: che l'integrale lega relazione l'andamento nel tempo di un segnale t) nel( con una rappresentazione sua nel dominio della frequenza (f). ttolf00" Zitftolt #] ?/ ' /e- ☒(E)(f) (f) (f)✗ e✗ == 00 00- - Dalla trasformata di Fourier alla serie di Fourier.

Esempi: triangolo, treno rettangolo, gaussiana, impulsi.

Proprietà delle TDF

• Linearità.
• Traslazione nei tempi.
• Traslazione nelle frequenze.
• Scalatura temporale.
• Moltiplicazione nelle frequenze.
• Dualità.
• Moltiplicazione nei tempi.
• Simmetria.
• Coniugazione.
• Relazione di Parseval.
• Densità spettrale di energia.
• Coseno.
• Seno del JF e.

TDF dei segnali periodici

Un segnale periodico di periodo To ylt ) si può esprimere in funzione del singolo periodo x(t). -[ *ylt flt) nto(E)nto ))(t dopo serie= ✗✗ di- una- ,me 900= - FLEI.aflt.nu/=1ES(- • )¥Icfha f-) passaggi si: = To ke -00sa E)÷= -n¥•(f) osserva che in corrispondenza dei valori i ✗(f) quali -7¥~ 7¥ f^^ ho; * una: * .> Dirac di f.

Quindi la TDF di un segnale periodico è pari alla trasformata nel periodo To del segnale moltiplicato per una successione di Dirac a frequenze multiple della fondamentale, e tra una e la successiva c'è una distanza. L'ampiezza è invece pari al valore f. = .. che la trasformata del segnale assume in quella frequenza.

Esempio dell'onda quadra a media nulla.

Banda di un segnale

Viene definita banda l'intervallo B di frequenze, misurato sul semiasse positivo, all'interno del quale |X(f)| del segnale x(t) assume valori significativamente diversi da zero.

• Perché?
• Banda a metà potenza.
• Banda da nulla a nulla.
• Banda al 99% della potenza.

SLTI

Da punto di vista fisico è un dispositivo che modifica un segnale, detto ingresso x(t), generando un segnale y(t), detto uscita.

Da punto di vista formale il segnale ingresso viene manipolato tramite un generico operatore [ ] un. .. . • '"" / | SISTEMA schema blocchi È: a [ (e)✗☐ USCITA •" "

Significato di “lineare” e “tempo invariante”. La risposta del sistema all'impulso è solitamente l'uscita quando l'ingresso è l'impulso, indicata h(t). Viene indicata impulso non. .[ Questa uscita è importante perché ylt )() = x(t) per un sistema LTI si può calcolare a partire dalla risposta all'impulso h(t), sfruttando le proprietà seguenti:

① ]OIS 2)(h) tempo t t(invarianza r =- --[ ) bhltaslt linearità ahlt( t-165 )) ) )2 Za za☐ = +- -

Un ingresso x(t) può essere rappresentato come somma integrale di impulsi ritardati e pesati. •/ hlt( t) e) de✗ E)= ✗ -→ !! ! Convoluzione → ⑮[ ] Quindi h(t)) (ylt (f)t) ✗✗☐= =

La convoluzione

La convoluzione tra due funzioni è un'operazione che consiste nell'integrare il prodotto tra la prima e la seconda ribaltata e traslata di un certo valore Te in variabile t. Ovvero: • { hlt 2)ylt) (e) di✗= -00-

Esempi: hlt t) (E) 2T(f) rect rect )(() ✗✗ =: == hlt )( 12) rect t= -

La causalità

È detto casuale un SLTI se l'uscita y(t) per un ingresso x(t) dipende solo dai valori dell'ingresso per i valori della variabile E t .. La condizione da rispettare è h(t) = 0 per t < 0: - .

Filtri

Un filtro, in termini circuitali, è un circuito che è in grado di tagliare componenti armoniche. Abbiamo visto 3 categorie di filtri:

• Un filtro detto “passa-basso”, filtro passa basso: H(f) ha risposta in frequenza diversa da zero solo in una banda di frequenze simmetrica rispetto all'origine. Hit ) fa frequenza di taglio: I1 Dfafa + Hlf rettangolo- ) è un rettangolo di ampiezza unitaria e base Zfc.
• Un filtro detto “passa-alto”, filtro passa alto: H(f) ha risposta in frequenza diversa da zero solo a frequenze superiori a fc e inferiori simmetricamente a -fc. Hcf )I 1 Hlf data) ' da una costante e da un meno rettangolo di ampiezza unitaria base Zfc.
• Un filtro detto “passa-banda”, filtro passa banda: H(f) ha risposta in frequenza diversa da zero solo in due bande intorno alla frequenza centrale fo, frequenza centrale e frequenze simmetricamente intorno alla frequenza -fo. A * data H '(f) Hcf da) 2 rettangoli di ampiezza unitaria, base a centrati Zfcefófcfòfc fófofufòfc fo +- -- intorno fo e a fo +-

Vedi slide.

Il segnale di uscita risulta non distorto se differisce da quello di ingresso per una costante moltiplicativa A, con A < 1 segnale attenuato e A > 1 segnale amplificato, e per un ritardo td. In pratica: iwtdElf e-A)(Aylt) t ta ) (f)✗= =-

La distorsione invece si divide in 2 categorie:

• Distorsione lineare: quando tutte le componenti armoniche del segnale di uscita sono presenti nel segnale di ingresso, come ad esempio provocato da un filtro passa basso.
• Distorsione non lineare: quando il legame ingresso-uscita non è descritto da un integrale di convoluzione.

Campionamento

È una tecnica che consiste nel convertire un segnale continuo nel tempo in un segnale discreto, valutandone l'ampiezza a intervalli temporali regolari.

Dato il segnale continuo nel tempo x(t), il segnale campionato idealmente è uguale a:

Nel tempo 0000 )Slt-2 SltSlt) Xnmtcit mt)) ( mt ( )t) mt✗ ✗ ✗ = .= = . --. - o,M m 0000 =me ao -- -

Quindi Scit) è una sequenza di x moltiplicata per ciascun valore che x(t) assume nell'istante in cui la S è centrata.

In frequenza Slt )t) t) ( )t) (cit (mt✗ ✗✗ g.== .. - Fourier ]{f- I.*¥ (f) Slf✗ )(f) Kfc(f) *(f)↳= = -, e convoluzione ¥ -2 ( Kf-= ¥. '*✓

Quindi la trasformata di cl(t) è uguale alla trasformata di X centrata in tutti i multipli della frequenza di campionamento, infinite repliche.

Segnali a banda limitata

Un segnale x(t) è rigorosamente a banda limitata se: IX. ] /[F O 17(f) Bt )( f-✗ per== .

Un segnale x(t) è rigorosamente a durata limitata se: I -11(E) ToO >✗ per= .

Nota sull'aspetto pratico nelle slide. )( Fc °213

Condizione di Nyquist

Condizione di Nyquist 7DI, . Se il segnale x(t) è campionato con fccampi