Teoria completa di Fondamenti di meccanica strutturale

Il continuo di Cauchy

Si consideri un corpo di volume V e superficie S soggetto a forze interne (di volume) e/o agenti sulla sua superficie. Si consideri una porzione finita di ∆V e ∆S. La porzione di azioni meccaniche che interessa tale porzione può essere rappresentata da una risultante ∆R applicata in un punto e da un momento di volumi rispetto a tale punto. Il continuo di Cauchy definisce i seguenti limiti:

lim_∆V→0 ^∆R/_∆V = f

lim_∆S→0 ^∆R/_∆S = t (forze di volume N/mm²)

lim_∆V→0 ^∆M/_∆V = ⊘

lim_∆S→0 ^∆M/_∆S = ⊘

L'esistenza di questi limiti è incompatibile con la presenza di azioni concentrate che possono essere concepite solo come risultanti di azioni distribuite (dai limiti di ∆M si capisce che non ci sono coppie concentrate ma distribuite).

Sforzo di Cauchy

Si assuma un corpo in equilibrio e si suddividerlo in due porzioni. Per garantire l'equilibrio si devono generare forze di superficie che le due parti si scambiano tra loro. Si identifica quindi un intorno di un punto P di area ∆S e normale n_ix, quindi si ha che:

lim_∆S→0 ^∆R/_∆S = σ_x

lim_∆S→0 ^∆M/_∆S = ⊘

Il vettore σ_x = σ_α(n_ix,P) è detto vettore sforzo in P con dimensione N/mm². Sull'altra porzione di corpo il punto P avrà normale -n_ix e quindi il vettore sforzo sarà t_α(-x) = -σ_x. Questo vettore σ dipende quindi dall'area e dalla normale considerata. L'insieme di tutti i vettori sforzo al variare di n_ix individua lo stato di sforzo in P, che è un tensore doppio simmetrico.

Si consideri infatti un tetraedro infinitesimo con le facce ortogonali agli assi coordinati:

σ_α, -σ₁dx₁dx₂, -σ₂dx₂dx₃, -σ₃dx₃dx₁

Si scrive ora l'equilibrio alla traslazione, siccome F = σA ho:

σ₁(t_α)dx₂ + σ₂dy₃dx₃ - σ₃dy₃dx₃ = 0

σ = (σ₁, σ₂, σ₃)

σ_x = σ₁(t_α), σ₂(t_α), σ₃(t_α) = 0

Relazione di Cauchy

Matrice tensore di sforzo

Il continuo di Cauchy (ripetizione)

Si consideri un corpo di volume V e superficie S soggetto a forze interne (di volume) e/o agenti sulla sua superficie. Si consideri una porzione finita di ΔV ⊆ S. La porzione di azioni meccaniche che interessa tale porzione può essere rappresentata da una risultante ΔR applicata in un punto e da un momento di risultante M rispetto a tale punto. Il continuo di Cauchy definisce i seguenti limiti:

lim_{ΔV→0 ΔR}/^ΔV = _{f forze di volume N/mm²}

lim_{ΔS→0 ΔR}/^ΔS = _{T tensioni superficiali N/mm²}

lim_ΔV→0 ΔM/ΔV = ₀

lim_ΔS→0 ΔM/ΔS = ₀

L'esistenza di questi limiti è incompatibile con la presenza di azioni concentrate che possono essere concepite solo come risultanti di azioni distribuite (dai limiti di ΔM si capisce che non ci sono coppie concentrate ma distribuite).

Sforzo di Cauchy (ripetizione)

Si assuma un corpo in equilibrio e si suddividerlo in due porzioni. Per garantire l'equilibrio si devono generare forze di superficie che le porzioni si scambiano tra loro. Si identifica quindi un intorno di un punto P di area ΔS e normale n_α, quindi si ha che:

lim_ΔS→0 ΔR/ΔS = σ_α

lim_ΔS→0 ΔM/ΔS = 0

Il vettore σ_α = σ_α(n_α,P) è detto vettore sforzo in P con dimensione N/mm². Sull'altra porzione di corpo il punto P avrà normale -n_α e quindi il vettore sforzo sarà: σ(-n_α) = -σ_α. Questo vettore σ dipende quindi dall'area e dalla normale considerata. L'insieme di tutti i vettori sforzo al variare di n_α individua lo stato di sforzo in P, che è un tensore doppio simmetrico.

Si consideri infatti un tetraedro infinitesimo con le facce ortogonali agli assi coordinati:

Diagramma di forza σ_α, -σ₁, -σ₂, -σ₃ sono tutti vettori con 3 componenti dirette lungo gli assi

Si scrive ora l'equilibrio alla traslazione, siccome F = σA ho:

σ_zxd_zdx₃ - σ_zdx₃dx₂ - σ₃dx_zdx₂

Forze di volume trascurabile perché infinitesime di III^o ordine dx_z, dx₂, dx₃

(σ₂-σ₃)dx₁dx₂ + (σ₁-σ₃)dx_zdx₁ + (σ₃-σ₂)dx₃dx_z =