Teoria completa del corso di Analisi matematica 1

Definizione di limite

LIMITIf : A _SR → ℝ_{x → x̄} f(x) = lx̄ deve essere punto d'accumulazione l ∈ ℝ

∀B(l) ∃B(x̄) , x ∈ B(x̄) ∩ (A \ {x̄}) → f(x) ∈ B(l)

1. x̄ ∈ ℝ, l ∈ ℝ :

∀B(l) ∃B(x̄) , x ∈ B(x̄) ∩ (A \ {x̄}) → f(x) ∈ B(l)

2. _{x → x̄} f(x) = l , x̄ ∈ ℝ, l = +∞ :

∀B(+∞) ∃B(x̄) , x ∈ B(x̄) ∩ (A \ {x̄}) → f(x) ∈ B(+∞)

3. _{x → +∞} f(x) = l, l ∈ ℝ :

∀B(l) ∃B(+∞) x ∈ B(+∞) ∩ (A \ {+∞}) → f(x) ∈ B(l⊕)

Teorema di unicità del limite

_{x → x̄} f(x) = l → l è l'unico limite di f per x → x̄

f : A = domƒ → ℝ

x̄ p. to, d'acc, di A

LIMITIf : A ⊂ R → R

lim_{x → ¯x} f(x) = l

¯x deve essere punto d'accumulazione l ∈ R

DEFINIZIONE DI LIMITE

∀B(l) ∃B(¯x) , x ∈ B(¯x) ∩ (A \ {¯x}) => f(x) ∈ B(l)

1. ¯x ∈ R , l ∈ R :

∀B(l) ∃B(¯x) , x ∈ B(¯x) ∩ (A \ {¯x}) => f(x) ∈ B(l)

2. lim_{x → ¯x} f(x) = l , ¯x ∈ R , L = +∞ :

∀B(+∞) ∃B(¯x) , x ∈ B(¯x) ∩ (A \ {¯x}) => f(x) ∈ B(+∞)

3. lim_{x → +∞} f(x) : l ∈ R :

∀B(l) ∃B(+∞) x ∈ B(+∞) ∩ (A \ {+∞}) => f(x) ∈ B(l)

Continuità di una funzione

f : A = dom f ⊆ ℝ → ℝ , ̄ ∈ A , f è continua in ̄ se :

∀ ( f(x) ) = ( f(̄) - ε, f(̄) + ε ) ∃(̄) , x ∈ (̄)∩ A⇒ f(x) ∈ (f(̄) )

inoltre ̄ non é per forza p.to li.acc. —> D. limite cambia da ̄ e incluso

Teoremi generali dei limiti

Teorema della permanenza del segno

̄ p.to di acc. ∀: A = dom f f : A → ℝ se lim_x→̄ f(x) = ℓ ≠ 0 ⇒ ∃(̄): ∀x ∈ (̄) ∩ (A \ {̄}) ,f(x) ha stesso segno di ℓ (intendendo che +ℓ ha segnopositivo e -ℓ ha segno negativo)

Teorema di limitatezza locale

̄ p.to di acc. ∀: A = dom f , se ∃ lim_x→̄ f(x) = ℓ ∈ ℝ ⇒ f è localmente limitata in ̄

1° Teorema del confronto

Ipotesi: lim_x→x̅ f(x) = ℓ ∈ ℝ, lim_x→x̅ g(x) = m ∈ ℝ ∀δB(x̅) ∀x ∈ B(x̅) ∩ A \ {x̅}, f(x) ≤ g(x) => ℓ ≤ m

Caso Infinito: A = dom f ∩ dom g, x̅ p.to acc. di A ∀δB(x̅) ∀x ∈ B(x̅) ∩ A \ {x̅} => f(x) ≤ g(x)

1. se lim_x→x̅ f(x) = +∞ => lim_x→x̅ g(x) = +∞
2. se lim_x→x̅ f(x) = -∞ => lim_x→x̅ g(x) = -∞

2° Teorema del confronto (Teorema dei due carabinieri)

dom f ∩ dom g = A, x̅ p.to accumulazione A ∀δB(x̅) ∀x ∈ B(x̅) ∩ A \ {x̅} => f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) lim_x→x̅ f(x) = lim_x→x̅ h(x) = ℓ ∈ ℝ => lim_x→x̅ g(x) = ℓ

Successioni

Teorema

1) \( \lim_{n \to \infty} a_n = l \) \( \iff \) \( \forall \) sottosuccessione \( a_{n_k} \), \( \lim_{h \to \infty} a_{n_k} = l \)

2) Se \( \exists \, a_{n_k} \) e \( a_n \) : \( \lim_{k \to \infty} a_{n_k} \neq \lim_{h \to \infty} a_n \) \( \Rightarrow \) \( \exists \lim_{n \to \infty} a_n \)

3) \( \lim_{n \to \infty} a_n = l \) \( \iff \) \( \lim_{k \to \infty} a_{2_k} = \lim_{k \to \infty} a_{2_k+1} = l \)

Criterio della radice

\( \exists n : n \geq n_0 \Rightarrow a_n \geq 0 \) definitivamente positiva

\( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = l \) \( \Rightarrow \)

1. \( l 0 \) \( (\exists n, \forall n \geq n, a_n > 0) \)

lim_n→+∞ a_n+1/a_n = 1

1. ℓ > 1 ⇒ lim_n→+∞ a_n = +∞
2. 0 ≤ ℓ < 1 ⇒ lim_n→+∞ a_n = 0
3. ℓ = 1 ⇒ come un altro criterio

Teorema limite di funzione monotona

f : A ⊆ ℝ