Teorema del valor medio
Sia f : [a, b] → ℝ continua in [a, b] e derivabile in (a, b) allora ∃ x₀ ∈ (a, b) t.c. f(b) - f(a) / b - a = f'(x₀)
Vuol dire che c'è almeno una retta tangente al grafico che è parallela alla retta che unisce f(a) con f(b).
Corollario
Se f : [a, b] → ℝ è continua e derivabile in (a, b). Se f' > 0 in (a, b) ⇒ f è crescente in [a, b].
Dim. x₁ < x₂ f(x₁) - f(x₂) / x₁ - x₂ = f'(x₀) > 0 ⇒ f(x₁) < f(x₂)
Corollario
Se f : [a, b] → ℝ è continua e derivabile in (a, b). Se f' < 0 in (a, b) ⇒ f** è decrescente in [a, b].
Dim. uguale ma opposto.
Corollario
Sia f : [a, b] → ℝ continua e derivabile in (a, b). Se f' = 0 in (a, b) ⇒ f è costante in [a, b].
Dim. ovvia.
Teorema del valor medio
Sia f: [a,b] → ℝ continua in [a,b] e derivabile in (a,b) allora ∃ xo ∈ (a,b) t.c. {f(b)-f(a)}/b-a = f'(xo)
Vuol dire che c'è almeno una retta tangente al grafico che è parallela alla retta che unisce f(a) con f(b).
Corollario
Se f: [a,b] → ℝ è continua e derivabile in (a,b). Se f' > 0 in (a,b) → f è crescente in [a,b].
Dim. x1 < x2 {f(x1)-f(x2)}/x1-x2 = f'(xo) > 0 → f(x1) < f(x2)
Corollario
Se f: [a,b] → ℝ è continua e derivabile in (a,b). Se f' < 0 in (a,b) → f è decrescente in [a,b].
Dim. uguale ma opposto.
Corollario
Sia f [a,b] → ℝ continua e derivabile in (a,b). Se f' = 0 in (a,b) → f è costante in [a,b].
Dim. ovvia.
Teorema di de l'Hospital
Risolvere lo studio del limite del rapporto f/g nei casi di indeterminazione 0/0 ±∞/±∞.
Teorema
Siano f e g: [a,b] → ℝ continue e f(xo) = g(xo) = 0 con xo ∈ [a,b].
Supponiamo che f e g siano derivabili in [a,b]\{xo}. g' diverso da 0 in [a,b]\{xo}. Esiste (finito o infinito) limx→xo f'(x)/g'(x) = L ∈ ℝ*.
Allora esiste limx→xo f(x)/g(x) = limx→xo f'(x)/g'(x) = L ∈ ℝ.
Dim.
Teorema
Siano f, g : [a, +∞) → ℝ derivabili (quindi continue) in [a, +∞). Supponiamo che limx→+∞ f(x) = limx→+∞ g(x) = 0.
g, g' siano diverse da zero in [a,+∞). Esiste (finito o infinito) limx→+∞ f'(x)/g'(x) = L ∈ ℝ.
Allora esiste limx→+∞ f(x)/g(x) = limx→+∞ f'(x)/g'(x) = L ∈ ℝ.
Questi teoremi danno condizioni sufficienti (ma non necessarie) per l'esistenza del limite di f/g:
Esempio
f(x) = { 2 x sen 1/x e x ≠ 0
{ x e x = 0
Allora g(x) = x, f'(x) = 2 x sen 1/x - cos 1/x per x ≠ 0.
Ora f, g sono infinitamente proc x → 0 e lim x → 0 f(x)/g(x) ≠ lim x → 0 sen1.0 mentre f'(x) / g'(x) = 2 x sen 1/x - cos 1/x non ha limite per x → 0.
Il th di l'Hopital si intende al corso del rapporto fra due infiniti.
Teorema
Siano f, g: (a, b) → ℝ e \derivabili. Supponiamo che:
- f, g divergano per x → a
- g'/g trova diverge da zero in (a, b)
- ∃ lim x → a f'(x)/g'(x) = L ∈ ℝ
Allora esiste lim x → a f(x)/g(x) = lim x → a g'(x)/g(x) = L ∈ ℝ.
Dim. no.
Nota: il teorema vale anche per x → b oppure per x → x0 ∈ (a, b). Inoltre esso vale anche per x → ±∞ nel caso di funzioni definite su una semiretta.
Esempio
Calcolare x→+∞ ex/xn n∈N.
Le funzioni ex e xn divergono per x→+∞. Applicando n volte il teorema di de L'Hospital:
limx→+∞ ex/xn = limx→+∞ ex/nxn-1 = ... = limx→+∞ ex/n! = +∞
Esempio
Calcolare limx→0+ ln x / xn.
Le funzioni ln x e xn divergono per x→0+. Applicando de L'Hospital si ha:
limx→0+ ln x / xn = limx→0+ 1/x / -nxn-1 = -limx→0+ xnln x = 0
Esempio
Calcolare limx→0+ (1/x - cos x/sen x).
Questo limite è presente nella forma ∞ - ∞ che però possiamo scrivere anche così:
1/x - cos x/sen x = (sen x - x cos x) / x sen x che è nella forma 0/0.
Applicando de L'Hospital si ha:
limx→0+ (1/x - cos x/sen x) = limx→0+ x sen x / sen x + x cos x → limx→0+ sen x - x cos x / 2cos x - x sen x = 0
Esempio
Calcolare limx→0+ xx.
Scriviamo xx per x > 0, xx = ex ln x. Ora sappiamo dall'esercizio precedente che x ln x → 0 quindi:
limx→0+ xx = limx→0+ ex ln x = e0 = 1
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
