Teoria Completa Analisi matematica A

Assiomi di N, principio di induzione e teorema del binomio di Newton

Dopo aver enunciato

• Gli assiomi di N (di Peano)
• Il principio di induzione

Scrivete l’enunciato e la dimostrazione del teorema del binomio di Newton (9)

Assiomi di N e principio di induzione (1)

Un insieme è una collezione di oggetti ben definiti. Può essere descritto in due modi: per elencazione quando si scrivono tutti i suoi elementi, o per caratteristica quando si scrive la proprietà che i suoi elementi soddisfano.

Assiomi dei numeri naturali IN.

IN è l'insieme dei numeri naturali, cioè il più piccolo insieme che soddisfa i seguenti assiomi:

• 0 ∈ IN (N non è vuoto).
• Ogni elemento di IN ha un successore che appartiene ancora ad IN.
• Due elementi diversi hanno successori diversi.
• 0 non è il successore di alcun numero naturale.
• Principio di induzione: se S ⊆ IN tale che 0 ∈ S; se un elemento di IN appartiene ad S, allora anche il suo successore appartiene ad S, allora S = IN ⊆ ℕ.

C’è anche un principio di induzione debole: sia S soddisfacente le seguenti proprietà:

• n ∈ S, con n0 ∈ ℕ.
• n ∈ S → n + 1 ∈ S.

Allora { n, n ≥ n0 } = S.

La prima condizione prende il nome di passo base, la seconda passo induttivo.

Osservazione: gli assiomi 1 e 2 ci permettono di costruire IN come lo conosciamo. Gli assiomi 3 e 4 impediscono di tornare indietro.

Teorema del binomio di Newton

Siano a, b ∈ ℝ, vogliamo trovare la formula per esprimere (a + b)ⁿ, n ∈ ℕ. Sappiamo che:

• 0n = 0 → (a + b) = 1.
• 1n = 1 → (a + b) = a + b.
• 2 2 2n = 2 → (a + b) = a + 2ab + b.

Definiamo inoltre i concetti di fattoriale e coefficiente binomiale:

1, =0 - ∀ ∈ ℕ ! = {fattoriale: n, definiamo n! come segue: (− 1)!, > 0.

- ∈ ℕ coefficiente binomiale: dati n, k, con n ≥ k, si definisce coefficiente binomiale “n su k” il numero !( ) = (−)!!

∈ ℝ ∀ ∈ ℕ Quindi, dati a, b, allora n si ha − −1 −1 ( + ) = ∑ ( ) ⋅ = + + ⋯ + + =0.

Infine, osserviamo che: − − ( + ) = ∑ ( ) ⋅ = ∑ ( ) ⋅ =0 =0.

Dimostrazione

Utilizzando l’induzione, ricordiamo che si procede in 2 passi:

• Passo base: dimostrare la tesi per n = 0.
• Passo induttivo: la tesi è vera per n, dimostrare che è vera anche per n + 1.

0 00 0 0 – ( + ) = ∑ ( ) ⋅ 1 – Passo Base: la tesi per n = 0 diventa → =0.

Consideriamo separatamente i due membri dell’uguaglianza e vediamo cosa ci danno:

• 0( + ) = 10 0 0 0!
• 0 0 − 0 0 − 0∑ ( ) ⋅ = ( ) ⋅ = ∙1∙1 = 1 0 (00! − 0)!=0 0 00 0 0 – ( + ) = ∑ ( ) ⋅

Quindi abbiamo dimostrato che: =0.

∈2 – Passo Induttivo: supponiamo che la tesi sia vera per n IN, cioè:

−( + ) = ∑ ( ) ⋅ ← è vero=0.

+1 + 1+1 +1−( + ) = ∑ ( ) ⋅ Dimostriamo che la tesi è valida per n + 1, cioè: =0+1 ( (+ ) + ).

Cerchiamo di riscrivere in termini che conosciamo, +1 −( ( ( (+ ) = + ) ∙ + ) = ( ∑ ( ) ⋅ ) + ) ==0 − − ( ∑ ( ) ⋅ ) + ( ∑ ( ) ⋅ ) =0 =0.

Quando un termine non dipende dall’indice della sommatoria (k), allora lo si può portare “dentro la sommatoria”.

Quindi: +1 − −( + ) = (∑ ( ) ⋅ ) + (∑ ( ) ⋅ ) =0 =0.

+1 − +1−= ∑ ( ) ⋅ + ∑ ( ) ⋅ ← spezziamo le sommatorie =0 =0.

−1 +1 − +1 − +1 − 0 +1−0= ∑ ( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ∑ ( ) ⋅ + ( ) ⋅ 0=0 =1.

(k = n) (k = 0)

−1 +1 +1 +1 − +1−= + + ∑ ( ) ⋅ +∑ ( ) ⋅ =0 =1.

Prendiamo la prima sommatoria e facciamo un cambio di indice: stiamo sommando k che va da 0 a n – 1, cioè k = 0, k = 1, k = 2, …, k = n – 2, k = n – 1. Vogliamo scrivere:

−1 +1 − −1+1 = −(−1)∑ ( ) ⋅ = ∑ ( ) ⋅ − 1=0 =1.

• 1 1 ( ) ∙ ( ) ∙ k = 0 j = 10 0.
• 2 −1 2 −1( ) ∙ ( ) ∙ k = 1 j = 21 1.

Quindi le due sommatorie sono uguali perché ogni addendo coincide. Sostituendo si ha +1 +1 +1 −+1 +1−( + ) = + + ∑ ( ) ⋅ + ∑ ( ) ⋅ − 1 =1 =1.

Osserviamo che l’indice di sommatoria è muto: −+1 +1−∑ ( ) ⋅ = ∑ ( ) ⋅ − 1 =1 =1.

Dunque: +1 +1 +1 −+1 +1−( + ) = + + ∑ ( ) ⋅ + ∑ ( ) ⋅ − 1 =1 =1.

+1 +1 +1− +1−= + + ∑ ( ) ⋅ + ( ) ⋅ [ ] − 1 =1.

+1 +1 +1−= + + ∑ ( ( ) + ( ) ) ⋅ [ ]−1 =1.

+1+1 +1 +1−= + + ∑ ( ) ⋅ =1.

Ora devo solo dimostrare che: +1+1 + 1+1 +1 +1− +1− + + ∑ ( ) ⋅ = ∑ ( ) ⋅ =1 =0.

Se dimostriamo questa uguaglianza siamo a posto. Calcoliamo la sommatoria a destra, osservando che a sinistra abbiamo la stessa sommatoria con 2 addendi in meno, quelli corrispondenti a k = 0 e k = n + 1:

+1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1− +1− 0 +1 +1 0∑ ( ) ⋅ = ∑ ( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) ⋅+1 0=0 =1.

+1 +1 k = 0 → ← k = n + 1.

+1+1 +1 +1−= + + ∑ ( ) ⋅ =1.

+1 + 1+1 +1−( + ) = ∑ ( ) ⋅ Quindi: =0.

Assioma di Dedekind, massimo, minimo ed estremi

Dopo aver enunciato

• L’assioma di Dedekind
• La definizione di minimo/massimo, minorante/maggiorante ed estremo superiore/inferiore di un insieme (1)

Dimostrare che: “Dato un insieme A non vuoto e limitato superiormente, allora esiste ed è unico l’estremo superiore di A.” (10)

Massimo e minimo / estremi superiore – inferiore (2)

Esistono dei punti sulla retta a cui non corrispondono numeri razionali, quindi introduciamo un nuovo insieme numerico ai cui elementi corrispondono tutti i punti della retta. Questo insieme si indica con IR, i suoi elementi vengono detti numeri reali, e IR viene definito tramite degli assiomi.

Assiomi dei numeri reali

Gli elementi di IR soddisfano i seguenti assiomi.

Assiomi delle operazioni

• Proprietà associativa della somma e del prodotto.
• Proprietà commutativa della somma e del prodotto.
• Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto.
• Esistono gli elementi neutri per somma e prodotto, rispettivamente 0 e 1.
• ∀ ∈ ∃ ∈ a IR, esiste l’opposto di a, cioè b IR tale per cui a + b = 0.
• ∀ ∈ ∃ ∈ a IR, esiste l’inverso di a, cioè c IR tale per cui a · c = 1-1.

Indichiamo con (-a) l'opposto di a e con a l'inverso di a.

Assiomi dell'ordinamento

• ∈7) Vale la dicitura: dati a, b IR, allora a ≤ b oppure b ≤ a.
• ∈8) Vale la proprietà antisimmetrica: se a, b IR si ha a ≤ b e b ≤ a, allora a = b.
• ∈9) Per ogni a, b, c IR, se a ≤ b allora a + c ≤ b + c.
• ∈10) Per ogni a, b, c IR, con a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, se a ≤ b allora a ∙ c ≤ b ∙ c. Inoltre, se a + b ≥ 0, allora a ∙ b ≥ 0.

Tutti gli assiomi scritti finora sono soddisfatti anche da Q. Il seguente assioma invece serve proprio per distinguere Q da IR.

Assioma di completezza – Dedekind

∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ 11) siano A, B sottoinsiemi di IR, non vuoti. Supponiamo che a A, b B si ha a ≤ b. Allora c IR tale per cui ∀ ∈ ∈ a ≤ c ≤ b, a A, b B.

Definizioni massimo e minimo

⊆ ℝ Sia A, non vuoto.

• Massimo (max): diciamo che è massimo per A se ∈{ indichiamo con max A = b ≥, ∀ ∈.
• Minimo (min): diciamo che è minimo per A se ∈{ indichiamo con min A = c ≤, ∀ ∈.

Es. [0, 1] ha min = 0, max = 1.

∄[0, 1) ha min = 0, max = → in generale, minimo e massimo possono anche non esistere.

Teorema 1.2

⊆ ℝ ∅ ∃ ∃ Teorema 1.2: Sia A, A ≠. Allora, se min A e/o max A, questi sono unici.

Dimostrazione min A unico

Partendo dall'ipotesi: esiste min A, vogliamo dimostrare la tesi: min A è unico.

Supponiamo che m1 = Min A, m2 = Min A, cioè soddisfano le condizioni:

1 ∈ 2 ∈ { {1 ≤, ∀ ∈ 2 ≤, ∀ ∈.

∈ Quindi m1 A e m2 ≤ m1.

∈ Sappiamo anche che m2 A e m1 ≤ m2 → quindi, per antisimmetria m1 = m2.

Stessa cosa anche per max.

Definizioni insieme dei maggioranti e dei minoranti

⊆ ℝ ∅ Sia A, A ≠, definiamo l’insieme:

• { } = ∈ ℝ: ≥, ∀ ∈ Maggioranti l’insieme: l’insieme di tutti gli elementi più grandi di ogni elemento di A.
• { } = ∈ ℝ: ≤, ∀ ∈ Minoranti l’insieme: l’insieme di tutti gli elementi più piccoli di ogni elemento di A.

Es. A = [0, 1] → = [1, + ∞) e = (- ∞, 0].

B = (0, 1) → = [1, + ∞) e = (- ∞, 0].

Anche se A ≠ B, la loro differenza è significativa in termini di esistenza di massimo e minimo, ma non lo è in termini di insieme di maggioranti e minoranti = ∅.

Es. C = (- ∞, 2], allora e = [2, + ∞).

Definizione di estremo superiore e inferiore

⊆ ℝ ∅ Sia A, A ≠, definiamo estremo:

• Superiore di A, indicato con sup A, il valore: +∞ = ∅ = { min ≠ ∅.
• Inferiore di A, indicato con inf A, il valore: −∞ = ∅ = { max ≠ ∅.

⊆ ℝ Proposizione: Sia A, non vuoto. Allora inf A e sup A sono unici.

Dimostrazione sup A unico

• Sup A = +∞, si vede che è unico.
• ∈ ℝ ∅ Sup A, M ≠. Supponiamo m1 = sup A, m2 = sup A, cioè Am1 = min M e m2 = min M → per unicità del minimo → m1 = m2A A.

Stessa cosa per inf A ⊆ ℝ ∅.

Teorema 1.3

Teorema 1.3: Sia A, A ≠ Allora inf A e sup A esistono.

Dimostrazione inf A

∃ Dimostriamo che inf A esiste.

• Min A ≠ vuoto -> inf A = -∞.
• ∀ ∈ ∀ ∈ Magg A ≠ vuoto, per definizione sappiamo che a A, b mA, b ≤ a.

∃ ∈ ℝ ∀ ∈ ∀ ∈ Tramite Dedekind sappiamo che c tale per cui b ≤ c ≤ a, a A, b mA.

∀ ∈ ∈ Vogliamo dimostrare c = inf A, cioè c = max mA. Osserviamo che c ≤ a, a A → c mA.

∀ ∈ Inoltre c ≥ b, b mA → c = max mA = inf A.

Stessa cosa per sup A.

Proposizione su minimo, massimo, inf e sup

⊆ ℝ ∅. Proposizione: Sia A, A ≠.

• ∃(i) Se min A, allora min A = inf A.
• ∃(ii) Se max A, allora max A = sup A.

Dimostrazione (i)

• Ipotesi: esiste min A.
• Tesi: min A = inf A.

∈ ∀ ∈ Dobbiamo far vedere che min A = max mA. Sia m = min A, allora m A e m ≤ a, a A.

∈ ∅ → m mA → mA ≠ → inf A ≠ - ∞ Facciamo vedere che m = max mA.

∈ ∀ ∈ Ricordiamoci che m A, e dunque x ≤ m, x mA → m = max mA = inf A.

Stessa cosa per max A.

Proposizione su inclusione e minimi/massimi

⊆ ℝ ⊆ Proposizione: Siano A, B, non vuoti, con A B.

• ∃(i) Se min A e min B, allora min B ≤ min A.
• ∃(ii) Se max A e max B, allora max B ≥ max A.

Dimostrazione (i)

Siano m1 = min A e m2 = min B. Vogliamo dimostrare che m2 ≤ m1.

∀ ∈ ⊆ Per definizione m2 ≤ b, b B. Poiché A B, quello che vale per ogni elemento di B vale anche per ogni ∀ ∈ elemento di A → m2 ≤ a, a A.

∈ Ricordiamo che m1 = min A A, quindi m2 ≤ m1.

Stessa cosa per (ii).

Proposizione su inclusione, inf e sup

⊆ ℝ ∅ ∅, ⊆ Proposizione: Siano A, B, A ≠ e A ≠ con A B.

• (i) Inf B ≤ inf A.
• (ii) Sup B ≥ sup A.

Definizione insieme limitato

⊆ ℝ Sia A, non vuoto. Diciamo che A è:

• ∃ ∈ ℝ ∀ ∈ Limitato superiormente se M: a ≤ M, a A.
• ∃ ∈ ℝ ∀ ∈ Limitato inferiormente se m: a ≥ m, a A.
• ∃ ∈ ℝ ∀ ∈ Limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente, cioè M, m: m ≤ a ≤ M, a A.

⊆ ℝ ∅ Proposizione: Sia A, A ≠ ≠ ∅.

• (i) A è limitato superiormente se e solo se (cioè sup A < +∞) ≠ ∅.
• (ii) A è limitato inferiormente se e solo se (cioè inf A > - ∞).

Altro modo per definire estremo superiore e inferiore.

Intorni, punti di accumulazione e topologia

∈ ⊆ Dati x0 R e A A dare le seguenti definizioni:

• “U è intorno di x0” se . . .;
• “x0 è punto di accumulazione per A” se . . . (2)

Topologia (3)

Settore della matematica che studia cosa succede “vicino ai punti“, in particolare descrive le proprietà di punti e insiemi, e le loro relazioni, guardando cosa succede in un intorno di questi punti.

Definizione di intorno di un punto

Gli intorni di un punto sono insiemi. Dividiamoli per casi.

• ∈ ℝ ⊆ ℝ ∃ ⊆ 1. Sia x, diciamo che U è un intorno di x se ε > 0 tale per cui (x – ε, x + ε) U0 0 0 0.
• ⊆ ℝ ∃ ∈ ℝ ⊆ 2. Diciamo che U è un intorno di + ∞ se a tale che (a, + ∞) U.
• ⊆ ℝ ∃ ∈ ℝ ⊆ 3. Diciamo che U è un intorno di - ∞ se b tale che (- ∞, b) U.

⊆ ℝ ∈ ℝ ∪ Oss: U è un intorno di x ({ ± ∞ }) se soddisfa le condizioni elencate prima, e quindi la definizione di 0 intorno richiede solo che U si comporti in un certo modo “vicino a x”. In matematica questo viene detto proprietà 0 locale.

Definizione intorno di x0

∈ ℝ ∪ ⊆ ℝ Sia x { ± ∞ }, definiamo = { U: U è un intorno di x }0 0 0 è un insieme di insiemi 0.

Posizioni tra punti e insiemi

Definizioni punti particolari.

• ⊆ ∈ ∃ ∈ Isolato: Sia A IR, e sia x A, x è un punto isolato per A se U tale per cui A ∩ U = { x }0 0 0 0.
• ⊆ ∈ ∀ ∈ Frontiera: Sia A IR, sia x A, x è un punto di frontiera per A se U si ha 0 0 0 C C ∅ ∅ ∈ ∉ A ∩ U ≠, A ∩ U ≠, dove A = { x IR: x A }.
• ⊆ ∈ ∃ ∈ ∅ Esterno: Sia A IR, e sia x A, x è un punto esterno per A se U tale per cui A ∩ U = 0 0 0.
• ⊆ ∈ ∪ Accumulazione: Sia A IR, e sia x IR { ± ∞ }. Diciamo che x è un punto di accumulazione per A se 0 0 ∀ ∈ ∅ U si ha (A ∩ U) – { x } ≠0 0.

(vogliamo