Teoria completa Analisi matematica 1

1. INSIEMI E STRUTTURE NUMERICHE

1. Dato due insiemi A e B, cosa significa che A ⊆ B?
   • Relazione di inclusione: si dice che l'insieme A è incluso nell'insieme B se ogni elemento dell'insieme A appartiene anche all'insieme B.

   x ∈ A ⇒ x ∈ B

2. Dato due insiemi A e B, cosa significa che A ⊂ B?
   • Relazione di inclusione stretta: si dice che l'insieme A è strettamente incluso nell'insieme B se ogni elemento dell'insieme A appartiene anche all'insieme B e se esiste almeno un elemento dell'insieme B che non appartiene all'insieme A.

   x ∈ A ⇒ x ∈ B ∧ ∃x₀ ∈ B : x₀ ∉ A

3. Che cosa si intende per unione di due insiemi?

   A ∪ B = { x ∈ A o x ∈ B }

   • È l'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti all'insieme A oppure all'insieme B.
4. Che cosa si intende per intersezione di due insiemi?

   A ∩ B = { x ∈ A e x ∈ B }

   • L'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti a entrambi gli insiemi dati.
5. Che cosa si intende per complementare di un insieme?

   A^c = { x ∉ A }

   • Il complementare di un insieme A in un dato universo Ω, equivale alla differenza tra l'insieme universo e l'insieme A.
6. Che cosa si intende per differenza di due insiemi?

   A \ B = { x ∈ A e x ∉ B }

   • L'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti all'insieme A ma che non appartengono all'insieme B.
7. Quali sono gli assiomi di R?

   R: insieme di numeri tale che in esso siano ben definite le operazioni di

   • somma
   • prodotto
   • una relazione d'ordine
   con le seguenti proprietà:

1. INSIEMI E STRUTTURE NUMERICHE

1. Data due insiemi A e B, cosa significa che A ⊆ B?

   La relazione di inclusione: si dice che l'insieme A è incluso nell'insieme B se ogni elemento dell'insieme A appartiene anche all'insieme B.

   x ∈ A ⇒ x ∈ B

2. Data due insiemi A e B, cosa significa che A ⊂ B?

   La relazione di inclusione stretta: si dice che l'insieme A è strettamente incluso nell'insieme B se ogni elemento dell'insieme A appartiene anche all'insieme B e se esiste almeno un elemento dell'insieme B che non appartiene all'insieme A.

   x ∈ A ⇒ x ∈ B e ∃x₀ ∈ B ∶ x₀ ∉ A

3. Che cosa si intende per unione di due insiemi?

   A ∪ B = {x ∈ A o x ∈ B} è l'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti all'insieme A oppure all'insieme B.

4. Che cosa si intende per intersezione di due insiemi?

   A ∩ B = {x ∈ A e x ∈ B} l'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti a entrambi gli insiemi dati.

5. Che cosa si intende per complementare di un insieme?

   A^C = {x ∉ A} = Ω \ A

   Il complementare di un insieme A in un dato universo Ω, equivale alla differenza tra l'insieme universo e l'insieme A.

6. Che cosa si intende per differenza di due insiemi?

   A \ B = {x ∈ A e x ∉ B} l'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti all'insieme A ma che non appartengono all'insieme B.

7. Quali sono gli assiomi di R?

   ℝ: insieme di numeri tale che in esso siano ben definite le operazioni di

   • somma
   • prodotto
   • una relazione d'ordine con le seguenti proprietà:

Assiomi della somma:

• a+b=b+a p. commutativa
• (a+b)+c=a+(b+c) p. associativa
• ∃0∈ℝ: a+0=a=0+a es. elemento neutro
• ∀a∈ℝ ∃-a∈ℝ: a+(-a)=0=(-a)+a es. elemento opposto

Assiomi del prodotto:

• a⋅b=b⋅a p. commutativa
• (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c) p. associativa
• ∃1∈ℝ: a⋅1=a=1⋅a es. elemento neutro
• ∀a∈ℝ, a≠0 ∃a^-1∈ℝ: a⋅a^-1=1=a^-1⋅a es. inverso

Assioma della somma e del prodotto

• a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c) p. distributiva

Assiomi dell'ordinamento

• ∀a,b∈ℝ a≤b oppure b≤a confronto
• se a≤b e b≤a ⇒ a=b p. antisimmetrica
• se a≤b ⇒ ∀c∈ℝ a+c≤b+c
• se a≥0 e b≥0 ⇒ a+b≥0 e a⋅b≥0

Assioma di completezza

siano A,B ⊂ℝ e A,B ≠ ∅ due insiemi separati, ovvero tali che ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B

a≤b ∀a∈A e ∀b∈B ⇒ ∃c∈ℝ: a≤c≤b

e si dice elemento