Teoria completa Analisi matematica 1

1. Insiemi e strutture numeriche

1) Dati due insiemi A e B, cosa significa che A ⊂ B?

Relazione di inclusione: si dice che l'insieme A è incluso nell'insieme B se ogni elemento dell'insieme A appartiene anche all'insieme B.

x ∈ A => x ∈ B

2) Dati due insiemi A e B, cosa significa che A ⊂ B?

Relazione di inclusione stretta: si dice che l'insieme A è strettamente incluso nell'insieme B se ogni elemento dell'insieme A appartiene anche all'insieme B e se esiste almeno un elemento dell'insieme B che non appartiene all'insieme A.

x ∈ A => x ∈ B e ∃x₀ ∈ B : x₀ ∉ A

3) Che cosa si intende per unione di due insiemi?

A ∪ B = { x ∈ A o x ∈ B }

È l'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti all'insieme A oppure all'insieme B.

4) Che cosa si intende per intersezione di due insiemi?

A ∩ B = { x ∈ A e x ∈ B }

È l'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti a entrambi gli insiemi dati.

5) Che cosa si intende per complementare di un insieme?

A^c = { x ∉ A } = Ω\A

Il complementare di un insieme A in un dato universo Ω, equivale alla differenza tra l'insieme universo e l'insieme A.

6) Che cosa si intende per differenza di due insiemi?

A \ B = { x ∈ A e x ∉ B }

L'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti all'insieme A ma che non appartengano all'insieme B.

7) Quali sono gli assiomi di R?

R: insieme di numeri tale che in esso siano ben definite le operazioni di somma prodotto una relazione d'ordine con le seguenti proprietà:

1. Insiemi e strutture numeriche

1) Dati due insiemi A e B, cosa significa che A _? B?

Relazione di inclusione: si dice che l'insieme A è incluso nell'insieme B se ogni elemento dell'insieme A appartiene anche all'insieme B.

x e A => x e B

2) Dati due insiemi A e B, cosa significa che A _? B?

Relazione di inclusione stretta: si dice che l'insieme A è strettamente incluso nell'insieme B se ogni elemento dell'insieme A appartiene anche all'insieme B e se esiste almeno un elemento dell'insieme B che non appartiene all'insieme A.

x e A => x e B e exists x₀ e B : x₀ not e A

3) Che cosa si intende per unione di due insiemi?

A U B = { x e A o x e B } è l'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti all'insieme A oppure all'insieme B.

4) Che cosa si intende per intersezione di due insiemi?

A n B = { x e A e x e B } l'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti a entrambi gli insiemi dati.

5) Che cosa si intende per complementare di un insieme?

A^c = { x not e A } = Oslash \ A Il complementare di un insieme A in un dato universo Oslash, equivale alla differenza tra l'insieme universo e l'insieme A.

6) Che cosa si intende per differenza di due insiemi?

A \ B = { x e A e x not e B } l'operazione che identifica tutti gli elementi appartenenti all'insieme A ma che non appartengono all'insieme B.

7) Quali sono gli assiomi di R?

R: insieme di numeri tale che in esso siano ben definite le operazioni di somma prodotto una relazione d'ordine con le seguenti proprietà:

Assiomi della somma

• A+b = b+a p. commutativa
• (A+b)+c = a+(b+c) p. associativa
• 0 e R : a+0 = a = 0+a es. elemento neutro
• Va e R j -a e R : a+(-a) = 0 = (-a)+a es. elemento opposto

Assiomi del prodotto

• A.b = b.a p. commutativa
• (A.b).c = a.(b.c) p. associativa
• 1 e R : a.1 = a = 1.a es. elemento neutro
• Va e R, a!=0 j a^-1 e R : a.a^-1 = 1 = a^-1.a es. inverso

Assioma della somma e del prodotto

a.(b+c) = (a.b)+(a.c) p. distributiva

Assiomi dell'ordinamento

• Va,b e R a ≤ b oppure b ≤ a confronto
• Se a ≤ b e b ≤ a => a=b p. antisimmetrica
• Se a ≤ b => Vc e R a+c ≤ b+c
• Se a ≥ 0 e b ≥ 0 => a+b ≥ 0 e a.b ≥ 0

Assioma di completezza

Siano A,B ⊆ R e A,B != ∅ due insiemi separati, ovvero tali che ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B

a ≤ b Va e A e Vb e B => ∃ c e R : a ≤ c ≤ b

e si dice elemento separatore

8) Quali sono gli elementi di N, Z, Q?

N = insieme dei numeri naturali

Z = insieme dei numeri interi

Q = insieme dei numeri razionali

9) Cosa afferma il principio di induzione?

Il principio di induzione permette di dimostrare che una proposizione P(n) è vera ∀n e N, in quanto afferma che:

• Se P(1) è vera
• Se è vera l'implicazione P(n) => P(n+1) (P(n) è ipotesi induttiva)
• Allora P(n) è vera ∀n e N

10) Che cosa si intende per minimo (massimo) di un sottoinsieme di R?

M SiA A un sottoinsieme di R, A diverso dall'insieme vuoto. Se esiste un elemento M appartenente ad A tale che per ogni elementoa appartenente all'insieme A risulta essere a ≤ M, allora M è detto massimo dell'insieme A.

A sub R, A != O se ∃M e A : a ≤ M∀a e A ⇒ M = max A↳ se esiste è unico

m Se esiste un elemento m in A tale che per ogni elemento a appartenente all'insieme A risulta