Temi esame di Analisi matematica 2

Tecnica delle costruzioni

Tema Esame del 26 Marzo 2018

Docente: Prof. Fausto Minelli         Esercitatore: Ing. Luca Facconi

Durata: 2 Ore.

Esercizio

K_n = ^{24 EJ}⁄_l³      k_θ = ^{15 EJ}⁄_l

n̅ = ^{3 ql4}⁄_{2 EJ}      αΔT/ H = ^{1 ql2}⁄_{3 EJ}      P = 2ql

Dato il telaio in figura, si richiedono i grafici di:

• Momento flettente (con il valore e la posizione dei massimi);
• Taglio;
• Azione assiale;
• Deformata qualitativa con posizione dei flessi.

Tecnica delle costruzioni

Tema Esame del 26 Marzo 2018

Docente: Prof. Fausto Minelli                                    Esercitatore: Ing. Luca Facconi

Durata: 2 ore.

Esercizio

K_n = 24 ^EJ/_l³       k_θ = 15 ^EJ/_l

n̅ = 3 ^ql4/_{2 EJ}       αΔT/_H = 1^ql2/_{3 EJ}       P = 2ql

Dato il telaio in figura, si richiedono i grafici di:

• Momento flettente (con il valore e la posizione dei massimi);
• Taglio;
• Azione assiale;
• Deformata qualitativa con posizione dei flessi.

Tema esame 26/03/2018

Dati

^ƞ = ³/₂ qL⁴

Δ_T = ^qL2/_3EJ

K_ϕ = ^{15 EJ}/_L

K_η = ^{24 EJ}/_L

P = 2qL

Si valuta il grado di iperstaticità della struttura

GdV = 8

GdL = 3

Si valuta se il telaio è a nodi fissi o spostabili

Si osserva che è possibile un cinematismo in direzione verticale.

Il telaio è a nodi spostabili -> biella fittizia in A.

Convenzione usate per la risoluzione del telaio

Rotazioni

Momenti al nodo

Risolvo con il metodo degli spostamenti

Le incognite sono:

φ_C

η_A

∑MC=0

∑RA=0

Mcc ψc + Mca ηa + Mco=0

hac ψc + haa ηa + hao=0

Caso 1

ψc=1 ; ηa=0 ; ∀Pex=0

Mcc=3EJ/L + 4EJ/L + 4EJ/L + 15EJ/L == 26EJ/L

hac=3EJ/L² - 6EJ/L² = -3EJ/L²

Caso 2

η = 1 ; ψ = 0 ; ΔRex = 0

η_A=1   3EI/L₂   3EI/L₃   6EI/L₂   12EI/L₃

m_CA = 3EI/L₂ - 6EI/L₂ = -3EI/L₂

h_AA = 3EI/L₃ + 12EI/L₃ + 24EI/L₃ = 39EI/L₃

Caso 3

q≠0   qL²/2   9L   20L²/8   20L/2   29L

m_CO,1 = -qL²/2 - 29qli/sup> - 3qL²

h_AA,1 = 29L + 29L/2 = 39L

Caso 4

η ≠ 0

m_co,2 = -3EI / l₂ η = -9/2 ql²

h_ao,2 = -3EI / l₃ η = -9/2 ql²

Caso 5

ΔT ≠ 0

m_co,3 = -3EΔT / H = -9l²

h_ao,3 = -3EΔT / Hl = -9l

meo = -³/₄ ql² - ⁹/₂ ql² - ql² = -²⁵/₄ ql²

hao = 3ql - ⁹/₂ ql² - ql = -⁵/₂ ql

Sistema risolvente

26 EJ/_L φ_c - ³EJ/_l2 η_A - ²⁵/₄ ql² = 0 (1)

-3 EJ/_l2 φ_c + 39EJ/_L3 η_A - ⁵/₂ ql = 0 (2)

Moltiplico (2) per ¹/₁₃ e la sommo a (1).

-³/₁₃ EJ/_L φ_c + 3 EJ/_l2 η_A - ⁵/₂₆ ql² = 0

+26 EJ/_L φ_c - 3 EJ/_l2 η_A - ²⁵/₄ ql² = 0

[ -³/₁₃ EJ/_L + 26 EJ/_L ] φ_c [ 3 EJ/_l2 - 3 EJ/_l2 ] η_A + [ -⁵/₂₆ ql² - ²⁵/₄ ql² ] = 0

= 335 EJ/₁₃ φ_c - 335/₅₂ ql² = 0 φ_c = -³³⁵/₅₂ ql² / ( ¹³/₃₃₅ EJ/_φ ) →    φ_c - ¹/₄ ql³ 1/_EJ

Sostituisco φ_c nella (2).

-3 EJ/_l2 φ_c - ¹/₄ ql³ EJ + 39 EJ/_L3 η_A - ⁵/₂ ql = 0

39 EJ/_L3 η_A - ³/₄ ql - ⁵/₂ ql = 0

39 EJ/_L3 η_A = ¹³/₄ ql /_l

η_A = ¹³/₄ ql / ¹/₃₉ EJ →         η_A - ¹/₁₂ ql⁴ / EJ

In conclusione

ψ_c = ¹/₄ qL³_EJ

η_a = ¹/₁₂ qL⁴_EJ

N ^ψ_c = ¹/₄ qL³_EJ

n_a = ¹⁄₁₂ ql⁴ EJ

Calcolo azioni interne

EQ: ↑ = 0

2qL + ₃/² qL - 2qL - 2qL = 0 ok!

EQ: → = 0

₃/² qL + 9qL - ₅/qL = 0 ok!

EQ: Σ = 0

-₃/² qL·L + ₁/² q²+ 2qL L + 2qL - ₃/qL·2L + ₁/⁴ q ² + 2qL ₃/² L + qL · L - ₁₅/⁴ qL² = 0 ok!

Il momento massimo

M_MAX = ₁/⁴ qL² + ₂/qL·₁/² = ₁/² qL²

Inflesso 1

M = ₁/⁴ qL² - ₃/² qL·X₁ = 0

₃/² X₁ = ₁/⁴ → X₁ = ₂/³·L/⁴ = ₁/⁶ L ≈ 0,1 + L

Inflesso 2

M = -₃/²qL₁/₂qL² = 0

₃/² x₂ = ₁/² → x₂ = ₂/³ L/₂ = L/₃ ≈ 0,33L

Deformata termica

y″(x) = -M(x)/EJ + 2αΔT/EJ

M(x) = q₂qL·x

y″(x) = -q₂qL·x + 2·₁/³qL²/EJ

y″(x)·EJ = -q₂qL₂qL² ≥ 0

q₂ x ₂ L → x ≤ ₂/⁹ L/₂ = ₄/²⁷ L ≈ 0,15L

x ≤ 0,15L

Azione assiale

U.D.M. ql

Taglio

U.D.M. ql