Temi d'esame svolti Meccanica delle vibrazioni

Name: Temi d'esame svolti Meccanica delle vibrazioni
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Author: marco.castiglioni99

Revisionato il 10/07/2026

di marco.castiglioni99

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Il file contiene tutti i temi d'esame svolti durante le esercitazioni correttamente e con note a margine utili a comprendere i passaggi più difficili. Contiene anche alcune simulazioni e …

Esame Meccanica delle vibrazioni

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Belloli Marco

Università Politecnico di Milano

A.A. 2019-2020

163 pagine

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Appunti esame

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Estratto del documento

Simulazione parte A (esercitazione 13)

Calcolare lo Jacobiano della matrice di rigidezza

Indicato:

[ ΔL ] Δl₁ Δl₂ Δl₃ Δl₄ [ ẋ ] ẋ α̇ ż β̇ 4 g.d.l. z = ( x α z β )

Vale il principio di sovrapposizione. Asta e disco sono lo stesso corpo rigido.

V̇₂ = V̇_R + Ẇ₂ ∧ (G₂ - H) = 0 + α̇ K̇ ∧ [2R + 1/2 L̇] == - [2R + 1/2 L̇] α̇ i̇

Calcolare di nuovo lo Jacobiano della matrice di rigidezza

[Δl₀] ẋ α̇ ż β̇ Δl₁ Δl₂ Δl₃ Δl₄ 4 g.d.l. vale il principio di sovrapposizione. Asta e disco sono lo stesso corpo rigido. z = ( ẋ α̇ ż β̇ )

Matrice di massa

Potrebbe chiedere di calcolare la matrice di massa:

(4x4)[M] = [Λml0][m;][Λml0]= [M₁ + M₂ + M₃ - M₁R - M₂[2R + l/2] 0 0][-M₁R - M₂[2R + l/2] M₁R² + J₁ + M₂[2R + l/2]² + J₂ 0 0][0 0 M₄ 0][0 0 0 J₄]

[m;] = [M_J1 M_J2 M_J3 M_J4 M_J5 M_J6 M_J7]

Jacobiano e sovrapposizione degli effetti

Siccome chiede lo Jacobiano, posso usare la sovrapposizione degli effetti:

Δxl0 X α Z β
Δl_e1 0 -R 0 0
Δl_e2 0 -(2R+L) 0 0
Δl_e3 -1 -1 -R 0
Δl_e4 0 0 -1 0

Il disco non rotola (α bloccato) e non può strisciare. Il disco si sposta con M₃ di ẋ e quindi le molle 1 e 2 non si deformano, ma la molla 3 sì.

Impongo X: Siccome asta e disco sono un unico corpo rigido, dato che le molle 1 e 2 sono collegate rispettivamente a disco e asta, non ho moto relativo tra disco e carrello e tra asta e carrello, Δl_e1 e Δl_e2 = 0. Stessa cosa per Δl_e4. La molla K₃ si accorcia di x → Δl_e3 = -x (ζ = -1).

Impongo α:

Impongo z:

Impongo β:

Calcolo di [K_III]

[K_III] = ? Potrebbe chiedere quanto vale [K_III] = ∑_i=1^nc M_i·g [H_{hG_i}·l_o]

L’unico contributo non nullo da considerare è l’asta, perché tutte le altre traiettorie dei baricentri sono orizzontali:

y_{G_z} = (2R + L/2)cosα(G₂ - O) = (G₂ - O) + (G₂ - G₁) = [C + x - R·α] → + [R + _L/2] e^{i(α + π/2)} == [C + x - R·α] → [R + _L/2] senα î + [R + _L/2] cosα ĵ

Y_G = [R + _L/2] cosα

Per scrivere (G₂ - O) corretto ho bisogno di scrivere il moto in grande Ṅ_G₂ = Ṅ_G + Ẇ₂ ∧ (G₂ - G₁) = [Ẋ - Rẋ] → + α̇ R̂ ∧ [_L/2 + R] e^{i(α + π/2)}= [Ẋ - Rẋ] ĵ + α̇ R̂ ∧ [(_L/2 + R) senα î + (_L/2 + R) cosα ĵ] == [Ẋ - Rẋ - (_L/2 + R) cosα · α̇ ĵ + [-(_L/2 + R) senα · α̇] ĵ

Ṅ_G₂ ≅ [Ẋ - Rẋ -(_L/2 + _2R) ˙α̇] ĵ∂² Y_G2 / ∂α₂ = [R + _L/2] cosα

Calcolo di k_m

k_m =

0	0	0	0
0	-M₂ [R² + L/2]g	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

È negativo sulla diagonale, perché è come se avessi un pendolo rovescio.

[Λ_r|0] = [Λ_k|0]

[K] = [Λ_k|0]^T [k_i] [Λ_k|0]

[K] = [K_ℓ] + [K_m]

[M] z̈ + [R] ż + [K] z = 0

Frequenze proprie e modi

[M] z̈ + [K] z = 0

z = z₀ e^λt(λ² [M] + [K]) z₀ e^λt = 0

det(λ² [M] + [K]) = 0

a₈⁸ + a₆⁶ + a₄⁴ + a₂² + a₀ = 0_1,2 = ±i₁

_3,4 = ±i₂_5,6

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