Spazi vettoriali - Dimostrazioni teoremi spiegate

Spazi vettoriali

Proposizione

Sia W ⊆ ℝⁿ l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite Ax = 0. Allora W è un sottospazio vettoriale di ℝⁿ.

Dimostrazione

Siano w, w₁, w₂ ∈ ℝⁿ soluzioni del sistema omogeneo, ovvero Aw = 0, Aw₁ = 0 e Aw₂ = 0. Sia λ ∈ ℝ.

Vogliamo verificare la chiusura rispetto a:

• La somma: A(w₁ + w₂) = Aw₁ + Aw₂ = 0 + 0 = 0 ⇒ (w₁ + w₂) ∈ W
• Il prodotto per uno scalare: A(λw) = λ(Aw) = λ · 0 = 0 ⇒ (λw) ∈ W

⇒ W è sottospazio vettoriale di ℝⁿ □

Spazi vettoriali

Proposizione

Sia W ⊆ ℝⁿ l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite Ax = 0. Allora W è un sottospazio vettoriale di ℝⁿ.

Dimostrazione

Siano w, w₁, w₂ ∈ ℝⁿ soluzioni del sistema omogeneo, ovvero Aw = 0, Aw₁ = 0 e Aw₂ = 0. Sia λ ∈ ℝ.

Vogliamo verificare la chiusura rispetto a:

• La somma: A(w₁ + w₂) = Aw₁ + Aw₂ = 0 + 0 = 0 ⇒ w₁ + w₂ ∈ W
• Il prodotto per uno scalare: A(λw) = λ(Aw) = λ · 0 = 0 ⇒ λw ∈ W

⇒ W è sottospazio vettoriale di ℝⁿ

Proposizione

Sia V uno spazio vettoriale e v₁, ..., v_n ∈ V. Allora (v₁, ..., v_n) è un sottospazio vettoriale di V.

Dimostrazione

Chiusura rispetto alla somma:

α₁v₁ + ... + α_nv_n ∈ span(v₁, ..., v_n)

β₁v₁ + ... + β_nv_n ∈ span(v₁, ..., v_n)

α₁, ..., α_n, β₁, ..., β_n ∈ ℝ

(α₁v₁ + ... + α_nv_n) + (β₁v₁ + ... + β_nv_n) = (α₁ + β₁)v₁ + ... + (α_n + β_n)v_n ∈ span(v₁, ..., v_n)

Dove (α₁ + β₁), ..., (α_n + β_n) sono i pesi

⇒ chiuso rispetto alla somma

Chiusura rispetto al prodotto per uno scalare:

λ ∈ ℝ

λ(α₁v₁ + ... + α_nv_n) = (α₁λ)v₁ + ... + (α_nλ)v_n ∈ span(v₁, ..., v_n)

Dove (α₁λ), ..., (α_nλ) sono i pesi

⇒ chiuso rispetto al prodotto per uno scalare

⇒ span(v₁, ..., v_n) è un sottospazio vettoriale di V

Teorema di Grassmann

Siano U e W sottospazi di uno spazio vettoriale di dimensione finita V. Allora:

_{U + W} + _{U ∩ W} = _U + _W

Dimostrazione

Sia {V₁, ..., V_p} una base di U ∩ W, dove p = dim(U ∩ W).

Per il teorema del completamento:

(U ∩ W) ⊆ U

D = {V₁, ..., V_p, U_p+1, ..., U_r} è una base di U, dove r = dim U. (p ≤ r)

(U ∩ W) ⊆ W

E = {V₁, ..., V_p, W_p+1, ..., W_s} è una base di W, dove s = dim W. (p ≤ s)

Per il lemma sui sistemi di generatori di U+W, sappiamo che C ∪ D ∪ E è un sistema di generatori di U+W e quindi una base (se i vettori di C, D, E sono linearmente indipendenti).

B = C ∪ D ∪ E

{V₁, ..., V_r} {U_p+1, ..., U_r} {W_p+1, ..., W_s}

Se B è veramente una base (e quindi i vettori di C, D, E sono linearmente indipendenti) in tal caso avremo:

dim(U + W) = p + (r - p) + (s - p) = r + s - p = dim U + dim W - dim(U ∩ W)

Ora vogliamo verificare che i vettori di B siano veramente linearmente indipendenti. Supponiamo allora che:

α₁v₁ + ... + α_pv_p + β_p+1u_p+1 + ... + β_ru_r + γ_p+1ω_p+1 + ... + γ_sω_s = 0

Dobbiamo dimostrare che α_i, β_j, γ_k = 0.

Consideriamo i vettori:

V = α₁v₁ + ... + α_pv_p ∈ U ∩ W

U = β_p+1u_p+1 + ... + β_ru_r ∈ U

W = γ_p+1ω_p+1 + ... + γ_sω_s ∈ W

L'ipotesi era che V + U + W = 0, che equivale a dire anche W = - (V + U).

Essendo U ∪ W ⊆ U, allora V ∈ U

Quindi W ∈ U ∩ W ⊆ U, ovvero W ∈ U.

Se W ∈ U ∩ W, allora esso si può scrivere come combinazione lineare dei V_j, ovvero

W = δ₁v₁ + ... + δ_pv_p

γ_p+1ω_p+1 + ... + γ_sω_s = δ₁v₁ + ... + δ_pv_p

Essendo V₁, ..., V_p, ω_p+1, ..., ω_s ∈ W, ovvero ad una base di W, ne consegue che essi sono linearmente indipendenti, di conseguenza

γ_p+1 = ... = γ_s = 0 = δ₁ = ... = δ_p