Sistemi non lineari

Capitolo 6 – Sistemi Non Lineari

Documento di Studio per l'Esame

1. Definizioni Importanti

Rappresentazione i/s/o non lineare a tempo continuo:

ẋ (t) = f (x(t), u(t), t)

{ ​

y(t) = g(x(t), u(t), t)

con e .

n m n n m p

f : R × R × R → R g : R × R × R → R

Rappresentazione i/s/o non lineare a tempo discreto:

x(k + 1) = f (x(k), u(k), k)

{ ​

y(k) = g(x(k), u(k), k)

Variabili di scostamento (rispetto alla traiettoria nominale ):

x

ˉ (t), u

ˉ (t), y

ˉ

(t)

​

Δx(t) = x(t) − x

ˉ (t), Δu(t) = u(t) − u

ˉ (t), Δy(t) = y(t) − y

ˉ

(t)

​

Queste variabili misurano quanto il sistema si discosta dalla traiettoria di riferimento.

Stato di equilibrio: Il vettore è uno stato di equilibrio per un sistema dinamico se, partendo da

n

x

ˉ ∈ R

con ingresso costante , lo stato rimane costante per ogni (TC) o (TD):

x(0) = x

ˉ u = u

ˉ t ≥ 0 k ≥ 0

TC: x(0) = x

ˉ ⇒ x(t) = x

ˉ ∀ t ≥ 0

TD: x(0) = x

ˉ ⇒ x(k) = x

ˉ ∀ k ≥ 0

2. Formule da Memorizzare

Matrici Jacobiane del sistema linearizzato (TC e TD):

∂ f ∂ f

1 1

​ ​

⋯

​ ​

∂ x ∂ x

1 n

​ ​

∂ f n×n

A(t) = R

∈

= ⋮ ⋱ ⋮

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

∂ x x

ˉ (t), u

ˉ (t) ∂ f ∂ f

n n

​ ​

⋯

​ ​

∂ x ∂ x

1 n x

ˉ (t), u

ˉ (t)

​ ​

∂ f ∂ g ∂ g

n×m p×n p×m

B (t) = R , C (t) = R , D(t) = R

∈ ∈ ∈

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

∂ u ∂ x ∂ u

x

ˉ (t), u

ˉ (t) x

ˉ (t), u

ˉ (t) x

ˉ (t), u

ˉ (t)

Le matrici sono valutate lungo la traiettoria nominale .

( x

ˉ (t), u

ˉ (t))

Sistema linearizzato a tempo continuo (intorno di , ):

x

ˉ (t) u

ˉ (t)

Δ ẋ (t) ≈ A(t) Δx(t) + B (t) Δu(t)

{ ​

Δy(t) ≈ C (t) Δx(t) + D(t) Δu(t)

2

Valida per piccoli (si trascurano i termini ).

Δx

∥Δx∥, ∥Δu∥ O ( ( ) )

​ ​ ​

Δu

Sistema linearizzato a tempo discreto (intorno di , ):

x

ˉ (k) u

ˉ (k)

Δx(k + 1) ≈ A(k) Δx(k) + B (k) Δu(k)

{ ​

Δy(k) ≈ C (k) Δx(k) + D(k) Δu(k)

Calcolo degli stati di equilibrio con ingresso costante :

u = u

ˉ

Tempo continuo Tempo discreto

Risolvere Risolvere

f ( x

ˉ , u

ˉ ) = 0 f ( x

ˉ , u

ˉ ) − x

ˉ = 0

In entrambi i casi: sistema non lineare di equazioni in incognite.

n n

3. Proprietà, Teoremi e Risultati

Teo