Sistemi di punti materiali, urti, corpo rigido

Sistemi di punti materiali

Sistema di punti materiali

Insieme di N punti materiali che interagiscono tra loro con forze interne che rispettano il principio di azione e reazione.

Forze interne provocate da altri oggetti del sistema.

Forze esterne non causate da altri oggetti del sistema.

Anche se la somma delle forze interne del sistema è 0 per il principio di azione e reazione.

La somma delle forze esterne non è nulla.

Quantità di moto totale.

Momento angolare totale.

Energia cinetica totale.

Centro di massa

Il centro di massa è il punto del sistema definito dal vettore posizione Rcm, ovvero la somma vettoriale dei singoli vettori posizione dei punti del sistema diviso il peso totale del sistema.

Velocità del centro di massa.

Quantità di moto del centro di massa.

Proprietà del centro di massa.

Espressione del momento inerziale solido con Cm.

Accelerazione del centro di massa.

Teorema del moto del centro di massa.

Energia cinetica

Energia cinetica di un sistema di punti materiali.

Teorema di Koenig dell'energia cinetica.

Energia cinetica associata al moto dei punti del sistema relativamente al centro di massa.

Sistemi di punti materiali

Sistema di punti materiali

Insieme di N punti materiali che interagiscono tra loro con forze interne che rispettano il principio di azione e reazione.

Forze interne provocate da altri oggetti del sistema.

Forze esterne non causate da altri oggetti del sistema.

Somma delle forze interne del sistema per il principio di azione e reazione.

Somma delle forze esterne non è nulla.

Quantità di moto totale.

Momento angolare totale.

Energia cinetica totale.

Centro di massa

Centro di massa N definito come xcmycmzcm.

Il centro di massa è il punto del sistema definito dal vettore posizione Rcm ovvero la somma vettoriale dei singoli vettori r equiponderati rispetto mi.

Velocità del centro di massa Vcm.

Derivata rispetto al tempo.

Quantità di moto del centro di massa con quelle di un punto materiale con massa uguale alla massa totale che si muove come il centro di massa non vale per momento angolare e/o energia cinetica.

In un sistema isolato con CM.

Proprietà del centro di massa

Proprietà del centro di massa 10 comando MomentEquazione def. centro di massa.

Accelerazione del centro di massa.

Definizione.

Teorema del moto del centro di massa.

Ogni corpo mobile del centro di massa è un punto materiale che avrebbe in sé concentrata tutta la massa del sistema e a cui fosse applicata la risultante di tutte le forze esterne agenti sul sistema.

Dim.

Definizione forze esterne.

Parti simmetriche.

Sistema deve essere isolato.

Energia cinetica di un sistema di punti materiali

Teorema di Koenig dell'energia cinetica.

Energia cinetica associata al moto dei punti del sistema relativamente al centro di massa.

Teorema di Koenig dell'energia cinetica.

E_k = E_kc + E_kr ⇒ E_k = 1/2 M V_c² + ∑ 1/2 m_i v_i².

Dim E_k = 1/2 ∑ m_i (V_i²) = 1/2 ∑ m_i (V_cm + v_i)².

= 1/2 ∑ m_i V_cm² + ∑ m_i V_cm ⋅ v_i + 1/2 ∑ m_i v_i².

= 1/2 M V_c² + 1/2 ∑ m_i v_i² + V_cm ⋅ ∑ m_i v_i.

= 1/2 M V_c² + E_kr + V_cm ⋅ 0.

Momento angolare di un sistema di punti materiali

Momento angolare di un sistema di punti materiali.

Teorema di Koenig del momento angolare.

L = ∑ r_i × m_i v_i = R_cm × M V_cm + L_cm.

Dim L₀ = ∑ r_i × m_i v_i = ∑ (r_cm + r_i') × m_i (V_cm + v_i').

= r_cm × ∑ m_i V_cm + ∑ r_i' × m_i V_cm + r_cm × ∑ m_i v_i' + ∑ r_i' × m_i v_i'.

= r_cm × M V_cm + ∑ r_i' × m_i V_cm + 0 + L_cm.

L₀ = M ⋅ r_i × V_i + L_cm.

Momento risultante di un sistema di forze

Momento risultante di un sistema di forze.

Dipende dal polo che si considera.

M₀ = ∑ OP_i × F_i = ∑ (OR_c + r_c) × F_i = ∑ OR_c × F_i + ∑ r_c × F_i = 0.

Se R_i (risultante forze) passa per il punto con posizione indifferente del polo considerato, allora ∑ OP_i × F_i = 0.

Teorema del momento angolare

Teorema del momento angolare.

dL/dt = d/dt (V_c × AT_c) = V_c × A_c + ω × (L_c).

Dim d/dt L = ∑ r_i × m_i a_i = ∑ r_i × F_i = M_i V_cm.

Osservazione del momento angolare se il polo è fisso nel sist. inerziale aleggiando dalle forze esterne agenti sul.

dJ_O/dt - m_cd_O/dt _CM(dt) - I_O,cost.

Teorema dell'energia cinetica

Teorema dell'energia cinetica.

∆E_K = ∑_E,est + ∑_R calcolato su tutte le trazione A_jin seguite dai vari punti V_i(s_i(t)).

Dim d W = ∑ _{i,j ext}dF_i = ∑ _iidmi 3,5 + ∑ _{i,j mi}3_Zi + ∑ _i,jd W_i.j = ∑ ∑_i,j dd W_i,j - ∑ _i F_ext. _s F_ext - ∑ _i Z_i.

dE_{Ktotale del sistema} = ∑ ∫ d(∑ дE_ki - ∑ E_K ) = ∂ E_{Ktotale del sistema}.

Lavoro delle forze interne ed esterne

Lavoro delle forze interne ed esterne.

Il lavoro delle forze interne del sistema è in generale non nullo.

d W_i = ∑ _{i,j j}(_Fext d_i,j) = F_ijd_j1₁(_i,f - r_in)1₁ (_i,f... + F_int ...1₁ (_i,1 = ∑ _i,j. _i,j. j'(i)1₁ (_j,.

1 eq cardinale della dinamica dei sistemi: Mʛ₁ = dp_dtdt dᶿ/dt ; R_(t) - R_(t).

2 eq cardinale della dinamica dei sistemi: dLdγ(E) dL/dt ) - M_O = V_txMVt'O.

Polo fisso polo == CMt. oγ(E)О = L0'соef dhe'] L' dL_(t)CMOs 2 - I.□ - _XW.□ ■dL/dt - п₁ dL/dt n₁(λ,0)I_mb = J_{1n cm} d/∑ dAП□ Σ ³- ∫ ∫ dpsd J_0g۱۹ dtd PURTI.

Urto

Urto.

Interazione che avviene in un tempo Δt molto breve tra corpi che descrivono forze molto intense (impulsive) tali da causare variazioni molto grandi delle velocità e delle quantità di moto dei corpi coinvolti.

Forze non impulsive sono trascurabili. Costanti nel tempo dell'urto (es. forza peso), impulso nullo, non incidono nella variazione della quantità di moto.

Sistema isolato

• La quantità di moto del sistema si conserva.
• Non agiscono forze esterne impulsive.
• Momento angolare totale si conserva.
• Mancano tutte le forze esterne impulsive nulle (oppure ΔL=0).

Urti elastici

• Exi = Exf.
• ΔEx = 0.

Il lavoro delle forze interne al sistema è nullo.

Urti anelastici

• Exi ≠ Exf.
• ΔEx ≠ 0.

Il lavoro delle forze interne al sistema non è nullo.

Risolvere problemi con gli urti

• Capire se e quali dei 3 principi di conservazione possono essere applicati.
• Conservazione L, Eg. del ripasso i principi di conservazione e le condizioni iniziali determinano le condizioni finali (verboats finali). Le volte serve conoscere anche qualche condizione finale.

Esempio.

• No forze impulsive.
• Urto elastico.

Rispetto al centro di massa.

Exi = Exf.

Adjungamento Vi_2f = -Vi_1c.

Urto elastico in uno spazio in 3 dimensioni

• Lavoro delle forze interne nulle conservato.
• Conservazione energia cinetica (che non toglie linee che continuano a due cerchi).

Urto obliquo contro una parete.

Urto completamente anelastico.

Coefficiente di restituzione (e).

Urto elastico.

Urto compl anelastico.

Urti corpo rigido esercizio.

Sistema vincolato in y.

Vedi esercizi lezione 11-06.

Esercizio.

Corpo rigido

Corpo rigido.

I corpi i cui punti mantengono una certa distanza.

V_i = V_cm velocità dei punti = velocità del centro di massa.

Gradi di libertà

Gradi di libertà.

Numero di parametri n indipendenti necessari per descrivere il moto ➔ descrivere completamente la posizione.

Punto: Materiale 3 (x,y,z).

A 3 elementi 3 massa.

2 elementi 5 (3+2=5) vincolato.

(x-x_k)² + (y-y_i)² + (z-z_i)² = d² eq. di vincolo.

Rigido 6 x,3, posizione3 0,ϑ,φ rotazione.

Densità

Densità di volume su volumi infinitesimi in pratica può essere considerata una distribuzione continua di massa.

ρ = dm/V.

Densità di massa ϱ(x) = lim _{ΔV → 0} dm/dV.

Densità superficiale σ(x,y,z) = lim _{Δs → 0} dm/dS.

Densità lineare λ(x) = lim _{Δl → 0} dm/dL.

Centro di massa del corpo rigido

Centro di massa del corpo rigido.

σȯ = r_cm = Σ_i m_i o M^tot sistema.

σȯ = r_cm = Σ_c m_c o M^tot sistema.

Volume del corpo σȯ = r_cm = 1/V ∫ rV dV.

σȯ = r_cm \[σȯ = r_cm = 1/σ ∫ rV dV]\.

V volume del corpo (corpo rigido).

Definizioni di quantità di moto, momento angolare, energia cinetica totali

Definizioni di quantità di moto, momento angolare, energia cinetica totali stessa dim dei sistemi di punti materiali.

L_ext = R_cm x V_cm M + Σ_ext o sistema σȯ L_cm.

1/2 Σ_ext o rot.

Moto puramente traslatorio

Moto puramente traslatorio.

V_cm = r^xx p = m·vc.

F_cm x V_cm = (m _{vd(c) )Cateral m/V}.

Moto di rotazione

Moto di rotazione attorno ad un asse fisso.

V = 0.

ω = r x m.

Momento di inerzia

Momento di inerzia.

I = ∬ r² dm(r^l . dm) rispetto al punto o σ d⁡l = R, simil o σ R dm L_p = (∬ R² dm = ur² dm.