Serie e criteri risolutivi

Serie numeriche

Sommare infiniti termini. Quanti? Infiniti quanti sono i numeri naturali: si hanno la cardinalità del numerabile.

{a_n} ∈ N ⊄ R
card {a_n} = ℵ₀
{a₁; a₂; a₃; ...} = {A_n}_n∈N

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... a_n + ... = ∑ _n=1^+∞ a_n

ex. a_n = 1/n N = 1, ...
∑_n=1⁴⁰⁰ a_n = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... somma finita.

a_n = n²
∑_n=1^+∞ n² = 1 + 4 + 9 + 16 + ... = +∞

Successione e termine generale

Si parte da una successione {a_n}_n∈N il termine a_n si chiama termine generale.
Si studia ∑_n=0^+∞ a_n = a₀ + a₁ + a₂ + ... + a_n

Sulla successione di partenza costruiamo un'altra successione ausiliaria (per ricorrenza) S_n

S₀ = a₀
s₀ = a₀
S_n+1 = S_n + a_n+1 = a₀ + a₁
s₂ = s₀ + a₂ = a₀ + a₁ + a₂
S_n = a₀ + a₁ + a₂ + ... + a_n

{s_n} successione delle somme parziali dei primi n termini
∑_n=0^+∞ a_n = lim_n→∞ S_n = lim_n→∞ (a₀ + a₁ + ... a_n)

Se esiste finito lim_n→∞ S_n = s allora ∑_n=0^+∞ a_n = s (serie convergente)
Se lim_n→∞ S_n = ∞ (serie divergente)
Se ≠ lim_n→∞ S_n (serie indeterminata)

Serie numeriche

Sommare infiniti termini. Quanti? Infiniti quanti come i numeri naturali: si hanno la cardinalità del numerabile.

{a_n} n∈N ∉ R
card {a_n} = ƛ_o
{a₁; a₂; a₃; …} = {A_n}

a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + … = ∑_n=1^+∞ a_n

ex. a_n = 1/n n = 1, …
∑_n=1⁴⁰⁰ a_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/10000 somma finita

a_n = n²
∑_n=1^+∞ n² = 1 + 4 + 9 + 16 + … = +∞

Si parte da una successione {a_n}_n∈N il termine an si chiama termine generale.
Si studia ∑_n=0^+∞ a_n = a₀ + a₁ + a₂ + … + a_n

Sulla successione di partenza costruiamo un’altra successione ausiliaria (per ricorrente) s_n

s₀ = a₀
s₀ = a₀
s_n+1 = s_n + a_n+1 = a₀ + a₁
s₂ = s₀ + a₂ = a₀ + a₁ + a₂
s_n = a₀ + a₁ + a₂ + … + a_n

∑_n=0^+∞ a_n = lim_n→+∞ s_n = lim_n→+∞ (a₀ + a₁ + … + a_n)

Se esiste finito lim_n→+∞ s_n = s allora ∑_n=0^+∞ a_n = s (serie convergente)
Se lim_n→+∞ s_n = ∞ (serie divergente)
Se ≠ lim_n→+∞ s_n (serie indeterminata)

ex. a_n=h (Serie)
∑_n=1^∞ a_n=1+¹⁄₂+¹⁄₃∗∗∗+¹⁄_n⇒a=a₁+a₂+a₃∗∗∗a_n∑_n=1^∞ (Serie)=lim_n→∞ (1+¹⁄₂∗∗∗¹⁄_n)

Serie geometrica

q∈R successione a_n=qⁿ a₀=1 a₁=q a₂=q²
∑_n=0^∞ qⁿ=1+q+q²∗∗∗+qⁿ

Se q=1 la serie diverge (∑1=∞)
Se q≠1 s_n=1+q+q²∗∗∗+qⁿ
∑_n=0^∞ qⁿ=lim_n→∞ s_n=lim_n→∞ (1+q+q²∗∗∗+qⁿ)

Consideriamo qⁿ=q(1+q+q²∗∗∗+qⁿ)=q+q²+q³∗∗∗+qⁿ❘_n-1^❶ qⁿ⁺¹ q a_n=s_n-1+qⁿ⁺¹ s_n(1-q)=1-qⁿ⁺¹ s_n=^1-qn+1⁄_1-q

∑_n=0^∞ qⁿ=lim_n→∞ s_n=lim_n→∞ ^1-qn+1⁄_1-q
se q>1 lim_n→∞ ^1-qn+1⁄_1-q=∞^❘ se 0<q<1 lim_n→∞ ^1-qn+1⁄_1-q=¹⁄_1-q
se -1<q<0 lim_n→∞ ^1-qn+1⁄_1-q≠1 ✗ se q<-1 lim_n→∞ ^1-qn+1⁄_1-q&neqs ≡^{∑_n=0∞ 1⁄_2Zn}❓∑_n=0^∞ qⁿ=❓+∞^q>1 ❜⊂❢¬

Serie di Mengoli

a_n = 1/(n(n+1))
∑_n=1^∞ 1/(n(n+1))
a_n è infinitesimo con velocità 2
s_n = 1/1·2 + 1/2·3 + 1/3·4 + ... + 1/n(n+1)= (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/n - 1/(n+1)) = 1 - 1/(n+1)

∑_n=1^∞ 1/(n(n+1)) = lim _n→∞ a_n = lim _n→∞ (1 - 1/(n+1)) = 1
∑_n=2^∞ 1/(n(n+1)) = 1 - 1/2 = 1/2
∑_n=2^∞ 1/(n(n-1)) = 1 (serie di Mengoli)

Osserviamo che il termine generale della serie di Mengoli a_n = 1/(n(n+1)) → 0 con velocità 2

Proposizione

Se ∑ a_n è convergente allora lim _n→∞ a_n = 0

dim. Sia s_n = a₀ + a₁ + a₂ + ... + a_n = ∑_k=0ⁿ a_k
per ipotesi: lim _n→∞ b_n = Δ (∑ a_n < ∞)
lim _n→∞ s_n-1 = Δ a_n = b_n-b_n-1
lim _n→∞ a_n = lim _n→∞ (s_n - s_n-1) = Δ-Δ = 0
Se la serie converge allora il termine generale è infinitesimo (non vale viceversa)

Serie armonica

Se ∑ a_n<∞ allora lim _n→∞ a_n=0
Consideriamo ∑ a_n e ∑ b_n tali che a_n=b_n definitivamente (∃ n_o t.c. a_n=b_n ∀ n≥n_o)⇒ ∑ a_n e ∑ b_n hanno lo stesso carattere

Serie a termini non negativi

∑_n=0^∞ a_n t.c. a_n > 0 ∀ n ∈ N

Due possibilità:

• Converge
• Diverge a +∞

Se 0 ≤ a_n ≤ b_n ∀ n allora:

1. Se ∑ b_n converge ⇒ ∑ a_n converge
2. Se ∑ a_n diverge ⇒ ∑ b_n diverge

In realtà è sufficiente che la condizione 0 ≤ a_n ≤ b_n valga definitivamente

Criterio del confronto asintotico

Siano ∑ a_n e ∑ b_n serie a termini > 0 ∀ n; se lim_n→∞ a_n/b_n = l (l ≠ 0 finito)⇒ le due serie hanno lo stesso carattere

ex. ∑_n=1^∞ sin ( 1/n² )
vale: lim_n→∞ sin ( 1/k² ) / 1/k² = 1
per il criterio del confronto armonico: ∑ sin ( 1/k₂ ) ⇒ ∑ 1/n² per n ≥ 21/n² ≤ 1/n(n-1) ∀ n
∑_n=2^∞ 1/n(n-1) = 1 converge (serie Mengoli)1/n² ≤ 1/n(n-1)⇒ ∑ 1/n² n=1^∞ sin ( 1/n² ) Serie Armonica

Serie armonica

∑_n=1^∞ 1/n
a_n = 1/n
lim_n→+∞ a_n = 0 (debolezza)

Osserviamo 1/n ∼ ln (1+1/n)
Studiamo la serie ∑_n=1^∞ ln (1 + 1/n) che ha lo stesso carattere della serie armonica

Ricordiamo che ln a + ln b = ln (a · b)

s_n = ln (1+1) + ln (1 + 1/2) + ln (1 + 1/3) + ... + ln (1 + 1/n) =
= ln 2 + ln 3/2 + ln 4/3 + ... + ln (n+1)/n = ln 3 +
= ln 3 + ln (n+1)/n = ln 4 + ... + (ln n_{n+1} = ln(n+1))

lim_n→+∞ s_n = lim_n→+∞ ln (n+1) = +∞ ⇒ ∑ ln(1+1/n) = +∞
&implies; ∑ 1/n = +∞

La serie armonica è un esempio di serie il cui termine generale a_n è infinito ma la serie ∑ a_n non converge.

Criterio della radice

∑ a_n a termini positivi;
se esiste l ∈ [0; 1) t.c. √ⁿ{a_n} ≤ l ∀ n ∈ ℕ (definitivamente)
&implies; ∑ a_n è convergente

(dim. breve)
√ⁿ{a_n} ≤ l &implies; a_n ≤ lⁿ (lⁿ serie geometrica)
l &implies; ∑ a_n ≤ ∑ lⁿ Corollario
sia lim_n→+∞ √ⁿ{a_n} = l &implies; se l se l > 1 ∑ a_n = +∞

Criterio del rapporto

∑a_n senza a termini positivi;
se esiste un numero l ∈ (0,1) t.c. a_n+1/a_n ≤ l ∀ n ∈ ℕ
⇒ la serie converge

dim.
⇒ a_n ≤ l a_n-1 ≤ l a_n-2
⇒ a_n ≤ lⁿ a₀

Corollario
via lim
a_n+1/a_n = l
se l < 1 la serie converge
se l > 1 la serie diverge

ex.∑_n=0 ^+∞ 1/n!
a_n = 1/n!
a_n+1 = 1/(n+1)! = 1/n!(n+1)
lim_n→+∞ a_n+1/a_n = lim_n→+∞ (1/(n+1)! n!)/1/n!
lim_n→+∞ 1/n+1 = 0 (criterio del rapporto)
⇒ la serie converge

Criterio di convergenza integrale

f: [0, +∞) -> ℝ, non negativa, monotona decrescente
a_n = f(n)
studiare la serie ∑_n=0^+∞ a_n nc ∑_n=0^+∞ f(n)
∑_n=0^+∞ f(n) converge ⇔ ∫₀^+∞ f(x) dx < +∞

ex: serie armonica
f(x) = 1/x
a_n = f(ln 2^1/n) 1,2,3,...
∫₁^+∞ f(x) dx = ∫₁^c 1/x dx = lim_c->+∞ [ln c - ln 1] = +∞->
∑_n=1^+∞ 1/n = +∞

1 -> ∑_n=1^+∞ 1/n² < +∞
∫₁^+∞ 1/x² dx = lim_c->+∞ ∫₁^c 1/x² = lim_c->+∞ [-2 x^-1/2 ]^c = lim_c->+∞ [-2/c+2] = 2 serie converge

∑ 1/n^3/2 < +∞
∑_n=1^+∞ 1/n^α < +∞ α > 1
1/n^α <= x < α   => a_n = 1/n∙ln⁡n
∑^+∞_n=2 1/n^α ?

criterio integrale
∫^+∞₂ 1/x ln⁡x dx = lim_c->+∞ ∫^c₂ 1/x ln⁡x dx = lim_c->+∞ ln_c ∫^ln⁡c_ln⁡2 1/y dy = lim_c->+∞ [ln_y]^ln⁡c_ln⁡2 = = lim_c->+∞ [ln⁡(ln⁡c) - ln⁡(ln⁡2)] = +∞   => ∑ 1/n ln⁡n = +∞

∑^+∞_n=2 1/n ln⁡n f(x) = 1/x ln(x)
∫^+∞₂ 1/x ln⁡x dx = lim_c->+∞ [1/ln⁡c - 1/ln⁡2] = +∞
∑^+∞_n=2 1/n ln⁽ⁿ⁾ < +∞ α > 1

Serie a termini di segno qualunque

Diciamo che ∑a_n converge assolutamente se ∑|a_n| < +∞
Se ∑|a_n| < +∞ => ∑a_n < +∞

Definiamo:

a⁺_n = {a_n se a_n >= 00 se a_n < 0       parte positiva
a^-_n = {0 se a_n >= 0-a_n se a_n < 0     parte negativa

Osserviamo che a⁺_n e a^-_n >= 0   e limiti raramente
a⁺_n + a^-_n = |a_n| —> a⁺_n <= |a_n| e a^-_n <= |a_n|
a⁺_n - a^-_n = a_n

∑|a_n| < +∞ —> ∑ a⁺_n < +∞ (per lu limite) —> ∑ a_n = ∑(a⁺_n - a^-_n) Converge

Non vale il viceversa, cioè se la serie converge semplicemente non implica, in generale, che la serie converga assolutamente.

Serie a termini a segno alternato

∑_n=0^+∞ (-1)ⁿ a_n ∀ n

Criterio di Leibniz

Supponiamo che:

1. La successione {a_n} sia monotona decrescente
2. lim_n→+∞ a_n = 0

=> ∑ (-1)ⁿ a_n è convergente

ex.∑_n=1^+∞ (-1)^{n 1}/_n non converge assolutamente
∑_n=0^+∞ |(-1)^{n 1}/_n| = +∞
Converge semplicemente (per il criterio di Leibniz)

a_n = ¹/_n ¹/_n+1 = a_n => decrescente lim_n→+∞ a_n = lim_{n→+∞ 1}/_n = 0
=> la serie converge

Dunque ∑_n=1^+∞ (-1)^{n 1}/_n converge semplicemente ma non assolutamente

ex.∑_n=1^+∞ (-1)^{n 1}/_1+ln(n) a_n = ¹/_1+ln(n) > 0 a_n→0 per n→+∞
a_n+1 = ¹/_1+ln(n+1) ≥ ¹/_1+ln(n) = a_n
=> la successione converge semplicemente per il criterio di Leibniz

∑_n=1^+∞ |(-1)^{n 1}/_1+ln(n)| = ∑_n=1^{+∞ 1}/_1+ln(n) serie non convergente assolutamente