Seconda parte appunti Fisica 2

MAGNETOSTATICA

Nel VII sec. a.C. si e scoperto che la magnetite (Fe₃O₄) attira la limatura di ferro, nonostante entrambi siano neutri

Nel XVII sec. si eseguono studi sistematici di questo fenomeno ed emerse un'azione magnetica, che si manifesta attraverso due azioni:

1. reagire piccoli aghi magnetici
2. attrarre/respinger piccoli aghi magnetici (aghi fatti di magnetite)

NB: Sia gli aghi che le barette sono costruite da magnetite

Nel 1820 avviene la rivoluzione: Oersted ha scoperto che un filo percorso da corrente agisce su un ago magnetico allo stesso modo delle bacette magnetiche

Emersero le seguenti caratteristiche sperimentali:

1. l'azione magnetica si esercita anche su oggetti neutri
2. l'azione magnetica viene generata da correnti in moto
3. "principio di azione e reazione": l'azione magnetica agisce su correnti in moto

Campo magnetico

Sperimentalmente, la forza F(v)=F che agisce su una carica q con velocita v ha le seguenti caratteristiche:

1. F proporzionale a q
2. F e lineare in v
3. Il modulo di v resta costante

Da queste caratteristiche vogliamo determinare la forma di F

Req 1) + 2) => Fⁱ = qA^ijv^j "Somma di Einstein"

Dal th. dell'energia cinetica: dT = dL = F di^e

T = 1/2 mv² => dT = F di^e = F(→v dt) = 0 => v.F = 0 <- vⁱFⁱ = 0

=> 0 = vⁱA^ijv^j q ∀v

vⁱA^ijv^j = 1/2(vⁱA^ijv^j + v^jA^jivⁱ) = 0

1/2 vⁱ(A^ij + A^ji)v^j = 0

Conclusione: (v,Sv) = vⁱs^ijv^j = 0 ∀v

Rcp S = S^T, allora (v,Sv)=0 ∀v <=> S = 0

Dim. Diagonalizzando: S e_α = λ_αe_α, (e_α,e_β) = δ_αβ

0 = (e_α,S e_α) = (e_α,λ_αe_α) = λ_α(e_α,e_α) = λ_α => λ_α=0 α=1,2,3 => S=0

Sⁱ_j = 0 <=> A^ij = -A^ji, A e antisimmetrica => vale la qualita' di Hodge

=> Fⁱ = qε^ijkB^kv^j

=> F(v) = qv x B, prende il nome di forza di Lorentz

B = B(x) viene chiamato campo magnetico

Conclusione: l'azione magnetica viene esercitata da un campo magnetico

Unita' di misura: [B] => [q v x B] = [F] = [qE] => m/s [B] = [E] = v/m => [B] = vs/m² = tesla = T

In presenza di un campo magnetico B e di un campo elettrico E, una carica q obbedisce all'equazione

m a = q(E + v x B) => equazione di Lorentz non relativistica

NB: Se B = 0 e E = cost.: v(t) = v(0) + qE/m t, quindi v(t) -> oo per t -> oo ma nel caso non relativistico, tutte le velocità devono essere < c

In ambito relativistico, il membro di sx m a = d/dt m v dovra' essere sostituito con d/dt (m v / sqrt(1 - v²/c²))

Per costruzione, il campo magnetico non compie lavoro: dL = q(v x B) d r = q(v x B) v dt = 0

Simbolo per B

• ⊗ = B entrante nel foglio
• ⊙ = B uscente dal foglio

Esercizio 2 2012/13

Due biglie conduttrici, r1 = r2, raggio => (1) e (2) collegate da un filo

r1 = 2r

Una particella di prova (m,q) passa per P(0, 1/2, 0) con v = v0 e possiede accelerazione a in modulo, a x < 0

a) Determinare Q1, Q2 e d2

D >> b => E e' approssimato con il campo Coulombiano: E = Q/(4 pi epsilon0 D²) u

Eq. di Newton lungo la traiettoria: m(-a) = -qQ/(4 pi epsilon0 D²)

=> Q = - m a 4 pi epsilon0 D² / q < 0

Siccome c'e' un unico conduttore i potenziali delle biglie sono uguali

Q1/(4 pi epsilon0 r) = Q2/(4 pi epsilon0 2r) => Q2 = 2Q1 e Q1 + Q2 = Q => Q1 = Q/3

Q2 = 2Q/3

=> d1 = Q1/(4 pi epsilon0 r), d2 = Q2/(4 pi epsilon0 (2r))

c) C'e' anche un campo magnetico B ex y, Bz = 0. Si osserva che q passa per P con a = 0. Calcolare f = vx/vy

m a = q(E + v x B) = 0 => E + v x B = 0

B = (Bx, By, 0)

E = Q/(4 pi epsilon0) (0, 1/2, 0) / D²

Ex + (vy Bz - vz By) = 0

Ey + (vz Bx - vx Bz) = 0

Ez + (vx By - vy Bx) = 0

v z = Ex/By - Ey/Bx

Ex/Ey - Bx/By = 1 => Bx = -By

quindi f = -1

a) Si collega la biglia 1 a terra. Calcolare l'energia dissipata per Joule durante il collegamento

W3 = L = -(U_p - U_i) = U_i = 1/2 C Q_i² = 1/2 Q Q_i = Q²/(24 pi epsilon0 r)

Q1/(4 pi epsilon0 r) = Q/(12 pi epsilon0 r)

Azione del campo magnetico su coperti

Bisogna distinguere i seguenti casi:

1. Forza esercitata da B su una carica singola con carica q e velocita v

   F = qv x B

2. Forza esercitata