Preparazione all'esame di Fisica 2 - Seconda parte

Fisica II – Parte II

Riassunto del libro “Fisica volume II”

Capitolo 7 - Forza magnetica. Campo magnetico

Magnetismo: proprietà di attirare limatura di ferro.

Non è una proprietà uniforme infatti, in campioni cilindrici, si trova solo nelle basi che prendono il nome di poli magnetici.

Tre casi di magnetismo

• Magnete sospeso nel centro tramite un filo a cui si avvicina un altro magnete. Il magnete sospeso genera un campo magnetico di cui l’altro magnete risente. Tra i due magneti si forma una forza attrattiva o repulsiva a seconda di come sono disposti i loro poli. In ogni magnete sono sempre presenti due poli di segno opposto.
• Bacchetta sottile di ferro a cui si avvicina della magnetite. La bacchetta inizia a poter attirare limatura di ferro, quindi si è magnetizzata trasformandosi in una calamita. Una piccola calamita viene detta ago magnetico.
• Ago magnetico sospeso da un filo. L’ago tende a disporsi in una posizione di equilibrio; la sua posizione segue il campo magnetico terrestre orientandosi verso nord (segno positivo).

In tutti i tipi di interazioni di poli magnetici essi si attraggono solo se sono di segno opposto, se no si respingono.

∗ ∗! ! legge di Coulomb per l’interazione magnetica! ! = ! !! e si chiamano masse magnetiche ∗ ∗! !

Questa formula, a differenza del campo elettrico, non ha una corrispondenza fisica dato che i poli magnetici esistono sempre in coppie, cioè sotto forma di dipoli magnetici con massa magnetica nulla e momento di dipolo magnetico m.

Ampère dimostrò che il magnetismo si manifesta grazie a cariche elettriche in movimento; quindi dobbiamo sempre pensare che esistano delle correnti microscopiche locali chiamate proprio correnti amperiane.

Inoltre:

• Faraday dimostrò che campi magnetici variabili nel tempo producono campi elettrici.
• Maxwell dimostrò che campi elettrici variabili nel tempo producono campi magnetici.

Quindi se esiste un campo elettrico esiste anche un campo magnetico e viceversa, si parla di campo elettromagnetico.

Legge di Gauss per il campo magnetico

B

Chiamiamo il campo magnetico che sarà un vettore (direzione, verso e modulo) che varierà sia da punto a punto (campo non uniforme) sia nel tempo 1 (campo non costante); inoltre questo campo dipenderà anche dallo spazio in cui si trova la sorgente.

Per ora considereremo campi magnetici costanti nel tempo, cioè stazionari.

Un campo magnetico:

• Se è uniforme ha linee di forza parallele ed equidistanti.
• Si indica con un punto se è uscente, con una croce se è entrante.
• Un campo magnetico in presenza di un magnete rettilineo ha le linee di forza disposte come quelle per il dipolo elettrico.

Consideriamo una superficie chiusa con al suo interno un magnete (facendo Σ attenzione che la superficie non tagli i dipoli magnetici); dato che la somma delle masse magnetiche è sempre nulla è nullo anche il flusso del campo magnetico attraverso la superficie chiusa:

Legge di Gauss Σ 0 ∙ =! equazione di Maxwell 0 ∇ ∙ = Dato che il flusso è nullo il campo magnetico è solenoidale.

La legge di Gauss vale per qualsiasi superficie chiusa contenente il magnete. In tal caso ad ogni linea di forza entrante corrisponde una linea di forza uscente cosicché il flusso sia sempre nullo. Le linee di forza del campo magnetico sono quindi linee chiuse senza né inizio né fine.

Forza magnetica su una carica in moto

Mentre su una carica ferma non agisce nessuna forza, se essa è in movimento su di essa agisce la forza di Lorenz: il cui modulo si trova come = × =

• Nulla se la velocità è parallela al campo magnetico.
• Massima se la velocità è ortogonale al campo.

Il suo verso dipende dalla regola della mano destra.

Questa forza è sempre ortogonale alla velocità e quindi anche allo spostamento, pertanto e dato che il lavoro equivale anche alla 0 = ∙ =! !! essa resta costante. Dato che la variazione di energia cinetica ! ! 0 − =! !!! forza di Lorenz non compie lavoro la carica nel campo magnetico cambia velocità solo in direzione, ma non in modulo.

EMentre la forza elettrostatica era parallela al campo, la forza magnetica è B. ortogonale al campo !

Campo magnetico uniforme

Campo magnetico uniforme è = ! B

La velocità è sempre nel piano ortogonale al campo e la forza di Lorenz è massima!! !" !à1 = = = = =! ! !" !"

Il raggio di curvatura è costante dato che tutte le grandezze sono costanti e la forza è solo centripeta. 2

Dato che il raggio è costante la traiettoria è un arco di circonferenza, il moto è velocità angolare circolare uniforme (con velocità sempre quella iniziale) e! !" ! B; in termini vettoriale (sempre parallela a). = = = −! ! !

Periodo del moto circolare uniforme non dipende dal raggio e dalla velocità: Il !!! (frequenza). = =! ! qualsiasi

Campo magnetico uniforme e moto elicoidale

Campo magnetico uniforme, scomponiamo la velocità nelle due componenti:

• Ortogonale a B = ! B
• Parallela a B = ! (perché paralleli) 0 = × = + × = × × =! ! ! !
• Nel piano ortogonale a B abbiamo un moto circolare uniforme come prima con velocità !
• Nel piano parallelo a B abbiamo un moto rettilineo uniforme (! costante e non c’è forza).

L’insieme di questi due moti si chiama moto elicoidale uniforme con la B direzione quella di. !"#$!!"# passo dell’elica. Chiamiamo = =! !"

Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente

Supponiamo di avere un moto di elettroni (con velocità e densità di corrente !) sotto l’azione di un campo elettrico. Se questo conduttore è = − ! B possiamo calcolare la forza di Lorenz per immerso in un campo magnetico ciascun elettrone = − ×.! !

Se il conduttore ha sezione ed è lungo al suo interno saranno presenti Σ Σ elettroni e la forza risultante sarà dove ×= Σ = −Σ × = Σ! ! è la forza agente per unità di volume sul conduttore.

Se il conduttore è filiforme la formula diventa e prende il nome ×= di seconda legge elementare di Laplace e non dipende dal segno di portatore di carica.

Se vogliamo ottenere la forza su un filo di lunghezza finita indeformabile! B (supponiamo costante in tutti i punti e corrente stazionaria). × = !

Questa forza è generalmente diversa da 0 anche se il percorso è chiuso e in generale non dipende dalla forma del filo ma solo dai punti iniziali e finali. Se il filo giace su un piano e forma un percorso chiuso la forza è nulla.

Momenti meccanici

La forza magnetica può essere dovuta a più forze applicate in punti diversi; dato che il momento risultante è diverso da zero è possibile che il circuito ruoti.

Consideriamo solo circuiti piani rigidi percorsi da corrente e immersi in campo magnetico uniforme (no spostamento, no deformazione, sì rotazione).

Il circuito è immerso in un campo magnetico che risulta complanare:

• Sui lati e sono presenti due forze uguali e contrarie braccio nullo e quindi momento à nullo.
• Sui lati e sono presenti due forze di 3 modulo uguali e contrarie braccio à, e quindi momento = = = = parallelo al piano del circuito. Σ

Chiamiamo momento magnetico della spira il vettore e quindi il = Σ ! momento meccanico diventa Nonostante questa formula sia valida = ×. per una spira rettangolare in realtà è applicabile ad un circuito qualunque a B sia uniforme. patto che il campo

• M è nullo se è parallelo a B: equilibrio stabile.
• Quando si parla di 0= equilibrio instabile.
• Quando si parla di = M m tende a far ruotare la spira in modo che parallelo.
• Per tutti gli altri B e concorde a.

Se la spira è sospesa opportunamente è possibile generare uno !!!" e periodo moto oscillatorio con = = !!

Ampère ha dimostrato che una spira e un ago magnetico hanno dei comportamenti simili.

Principio di equivalenza di Ampère: Una spira piana di area Σ percorsa da corrente ha gli stessi effetti magnetici di un dipolo elementare di momento magnetico perpendicolare al piano della spira e orientato con la Σ= ! regola della mano destra.

Energia. Sia per la spira che per l’ago magnetico è possibile definire una potenziale (minima in massima in 0, = − ∙ = − Σ = = ).! M U

Il momento magnetico e l’energia potenziale sono legate dalla p!! relazione: ! .= − = − !"

Il galvanometro

NBobina di spire rettangolari di area sostenute da Σ Bdue molle è sottoposta ad un campo magnetico. Al suo interno si trova un cilindro che fa sì che il campo sia sempre perpendicolare alla superficie.

Momento magnetico che forma un angolo = Σ! ! B con il campo = ! momento meccanico, la bobina entra in = Σ rotazione.

Le molle esercitano un momento elastico che si oppone alla rotazione; la posizione di equilibrio si trova !"!! quindi come: à θ = M = !

La scala presente sul galvanometro mi serve per misurare la corrente con che dipende dalla: = costruzione dello strumento e divisioni della scala.

Un tipo di galvanometro è quello a zero centrale che oltre a misurare la corrente ne indica anche il verso. 4

Forza, momento e lavoro tramite il flusso magnetico

L’energia potenziale di qualsiasi circuito Σ= − ∙ = − ∙ = −Φ()! ! di area infinitesima può essere iscritta come il prodotto, cambiato di segno, Σ B tra la corrente e il flusso infinitesimo del campo magnetico attraverso la superficie. Se quindi si vuole calcolare l’energia potenziale complessiva sulla Σ ∙ = −Φ()Σ: = − !! !

Dato che il campo magnetico è solenoidale, il flusso non dipende dalla superficie su cui si appoggia il circuito percorso da corrente. Σ

Sapendo che il lavoro è uguale all’energia potenziale cambiata di segno: à ()] Φ()= − = = ΔΦ = i[Φ − Φ]!! !

Queste formule valgono a patto che, durante lo spostamento, la corrente resti costante e quindi possiamo dire con certezza che l’energia potenziale non è l’unica forma di energia di tutto il processo.

Circuito che compie una traslazione rigida lungo l’asse x

!! lavoro per uno spostamento infinitesimo lungo x = = ! !!!! !!!! forza agente (lungo tutte le + + = ∇Φ = −∇ = ! ! ! !!! !!!! coordinate) vale per qualsiasi circuito immerso in un campo magnetico, anche non uniforme B (se è uniforme allora il flusso non varia e la forza è nulla).

Circuito che compie una rotazione rigida infinitesima

!! !! con momento lungo l’asse di rotazione = − = = !! !" !"! ! nel caso di un circuito piano di area immerso in (= ∙ Σ = ∙) Σ! !!" !! un campo magnetico (non uniforme ma consideriamo che abbia lo stesso valore in tutti i punti di dato che è piccola) Σ

Le forze magnetiche hanno sempre il compito di fare evolvere il sistema ovvero portarlo nella configurazione in cui il flusso è massimo, e quindi è minima l’energia potenziale.

Unità di misura

• B -4[T] Tesla oppure [G] Gauss = 10 T à
• [Wb] Weber à Φ
• 2[Am ] oppure [J/T] à 5

Effetto Hall

iConduttore di sezione percorso da una corrente Σ = ! nel verso dell’asse x; la densità di corrente vale == !!! che per definizione è anche uguale a e = ! !!" non dipende dal segno dei portatori di carica.

B jSe è presente un campo magnetico uniforme (perpendicolare a e lungo y) su ogni portatore agisce la forza di Lorenz: e quindi esiste un campo = ×! elettromotore: = × = ×: = !! !"!e E

• Se > 0 allora è concorde all’asse z He E
• Se < 0 allora è discorde all’asse z HE

E prende il nome di campo di Hall e tende ad accumulare cariche diverse H sulle facce del conduttore ortogonali all’asse z; questo accumulo raggiunge E che si oppone. Dato chesubito un equilibrio grazie al campo elettrostatico el c’è equilibrio e il conduttore si comporta come un generatore di 0 + =! !" !tensione in cui non circola corrente: E in à = ∙ = ∙ = ±H ! ! !!!"!"# !" ! !! d con lunghezza del conduttore. Questo modulo: E ! != ==H !"# !"# !!" fenomeno viene chiamato effetto Hall trasversale e può essere utilizzato ne per ricavare la densità di carica conoscendo il campo magnetico e la tensione del generatore.

Forza di Lorentz generalizzata

Se sono presenti sia campo magnetico che campo elettrico, la forza di Lorentz che agisce su una particella carica è + × =

Spettrometri di massa

Lo spettrometro è uno strumento in grado di separare ioni aventi la stessa carica ma massa diversa. L’esempio tipico del suo utilizzo è quello per separare degli isotopi, cioè atomi con lo stesso numero di protoni ma numero di neutroni diverso.

1. Spettrometro di Thomson: aggiungendo un campo magnetico parallelo al campo elettrico nel dispositivo da lui utilizzato per misurare il rapporto e/m degli elettroni, e introducendo degli ioni positivi accelerati da una 4 differenza di potenziale di 10 V, egli ha notato che ioni egualmente ionizzati, ma con masse diverse, cadono su parabole diverse.
2. Spettrometro di Dempster (esclusivamente magnetico): egli ha dimostrato che a parità di energia cinetica e di carica, a ioni di masse diverse corrispondono velocità diverse e raggi diversi.
3. Spettrometro di Bainbridge (selettore di velocità): un selettore di velocità si ottiene facendo agire contemporaneamente un campo E Belettrostatico e un campo elettrico uniformi e tra loro ortogonali; la velocità è data dal loro rapporto: quindi variando uno o entrambi i = campi è possibile ottenere vari velocità. Lo spettrometro di Bainbridge funziona facendo passare delle particelle cariche attraverso un selettore B; le di velocità e immettendole in un campo magnetico uniforme 0 6r cariche hanno una traiettoria a semicirconferenza di raggio e si può ! !! dimostrare che != .! !

Il ciclotrone

Dato che l’accelerazione di particelle cariche tramite campi elettrostatici ha un limite posto da una massima differenza di potenziale raggiungibile, Lawrence e Livingstone hanno inventato una macchina, il ciclotrone, in cui viene applicata ripetutamente una differenza di potenziale variabile.

DTra due cavità metalliche semicilindriche, immerse in un campo magnetico uniforme ad esse ortogonale, viene applicata una tensione alternata detta (= sin)! !" radiofrequenza.

m qe carica. Grazie Supponiamo di immettere nel sistema uno ione di massa alla tensione presente in quel momento, lo ione compie una semi circonferenza! !"!! !!!spinto dalla forza di Lorentz; in un tempo lo ione di raggio ! ! = = = !! ! !"!" !!D Des