Scarto quadratico medio e varianza

Scarto quadratico medio

Data una serie di valori, modalità di una variabile quantitativa, se si considera la somma degli scarti al quadrato rispetto alla loro media aritmetica, e se ne estrae la "radice quadrata", l'indice di dispersione che si ottiene è lo scarto medio.

Formula scarto quadratico medio

_ⁿΣi=1 (x_i - M)²_ni

In presenza di "distribuzioni di frequenza" occorre tenere conto delle frequenze (n_i) associate ad ogni singola modalità x_i.

Per i singoli scarti al quadrato:

• (x₁ - M)² si ripete n volte
• (x₂ - M)² si ripete n₂ volte
• (x_i - M)² si ripete n_i volte
• (x_n - M)² si ripete n_n volte

Scarto quadratico medio σ

Data una serie di valori, modalità di una variabile quantitativa.

Se si considera la somma degli scarti al quadrato rispetto alla loro media aritmetica, e se ne estrae la "radice quadrata", l'indice di dispersione che si ottiene è lo scarto medio.

Formula scarto quadratico medio

σ = √(Σ (x_i - M)² / n_i)

In presenza di "distribuzioni di frequenza" occorre tenere conto delle frequenze (n_i) associate ad ogni singola modalità x_i.

Per i singoli scarti al quadrato:

• (x₁ - M)² si ripete n₁ volte
• (x₂ - M)² si ripete n₂ volte
• (x_i - M)² si ripete n_i volte
• (x_n - M)² si ripete n_n volte

Scarto quadratico medio

La formula si modifica, mantenendo inalterate le "proprietà"^{Distribuzione di freq}

σ = √_{i = 1}∑ⁿ (x_i - M)² n_i / _{i = 1}∑ⁿ n_i

Range = Intervallo di variazione

R = x_[n] - x_[1]

σ² La varianza

Nel caso di una distribuzione di frequenza con "media aritmetica" M, la varianza viene modificata tramite ponderazione:

σ² = _{i = 1}∑ⁿ (x_i - M)² n_i / _{i = 1}∑ⁿ n_i

La devianza

Nel caso di una "distribuzione di frequenza," la devianza assume la forma

Dev. (x) = _i=1ⁿ ∑ (x_i - M)² n_i

La devianza e la varianza

Procedure alternative di calcolo per la devianza:

Dev (x) = _i=1ⁿ ∑ (x_i - M)²

Dev = _i=1ⁿ ∑ (x_i² + nM² - 2nM × M)

Devianza (x) = _i=1ⁿ ∑ x_i² - n M²

La devianza e la varianza

Nel caso di una "distribuzione di frequenza" la devianza calcolata nel modo alternativo, assume la forma

Dev (x) = _i=1ⁿ ∑ x_i² n_i - n M²

Indice di disuguaglianza

Se si prendono in considerazione tutte le differenze tra gli n valori e tutti i rimanenti (n-1) valori, l'indice di differenza considerato è chiamato senza ripetizione

Δ₁ = ^n(n-1)∑_i=1 |x_j-x_i| n(n-1)

Differenza semplice media

Nel caso della distribuzione di frequenza ponderata:

Indice di De Finetti-Paciello:

Δ₁ = 2∑_i=1^N(N-1) N_i(N-N_i)(x_i+1-x_i) N(N-1)