Ripasso di Matematica, utile per superare l'esame di Analisi Matematica

Revisionato il 10/09/2026

di dominikks

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Ripasso di Matematica, utile per ripassare e superare l'esame di Analisi matematica, Ingegneria industriale. Se questo documento ti è stato utile, lascia una recensione! Grazie e buon …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Catania Davide

Università Università telematica "e-Campus" di Novedrate (CO)

A.A. 2024-2025

77 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Ripasso di matematica

Capitolo 1

Polinomi

Dati n + 1 numeri reali a₀, a₁, a₂, ..., a_n, con a_n ≠ 0, si definisce polinomio di grado n nell’indeterminata x, l’espressione algebrica P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀.

I numeri a₀, a₁, a₂, ..., a_n, si dicono coefficienti del polinomio.

Esempio 1.0.1 P(x) = 2x³ - ³/₂x - 4 è un polinomio di terzo grado i cui coefficienti sono a₃ = 2, a₂ = 0, a₁ = -³/₂, a₀ = -4.

1.1 Operazioni tra polinomi

Dati due polinomi P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀, Q(x) = b_mx^m + b_m-1x^m-1 + ... + b₁x + b₀ con m < n, la somma tra i due polinomi è data da P(x) + Q(x) = (a_n + b_n)xⁿ + (a_n-1 + b_n-1)x^n-1 + ... + (a₁ + b₁)x + a₀ + b₀ dove tutti i coefficienti b_m+1, b_m+2, ..., b_n sono uguali a zero (perché il polinomio Q(x) è di grado m < n).

Esempio 1.1.1 Dati P(x) = 3x² - 5√2x - 4, Q(x) = 4x⁵ + 7x³ + 3√5x² - √3, si ha P(x) + Q(x) = 4x⁵ + 10x³ + 2√5x² - 4 - √3.

Definiamo ora la moltiplicazione tra due polinomi. Consideriamo i due monomi a_ixⁱ e b_kx^k. Il prodotto tra tali monomi è dato da a_ixⁱ ∙ b_kx^k = (a_i ∙ b_k)x^i+k.

Supponiamo ora di voler moltiplicare i seguenti due polinomi: P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ Q(x) = b_mx^m + b_m-1x^m-1 + ... + b₁x + b₀.

Si deve moltiplicare la quantità a_nxⁿ del primo polinomio per tutte le quantità del secondo polinomio e così via per tutte le quantità del primo polinomio.

Esempio 1.1.2 (x⁶ - 3x⁴) - (-x³ - 2x²) = -x⁹ - 2x⁸ + 3x⁷ + 6a⁶ (3x³ + 7x - 1) : (x² + 1) (2^x₃ + 1^x₂) = 2x⁴ + 3^x₂ + 14^x₃ + 7^x₂ - 2^x₃ - 1^x₂ 2x⁴ + 3^x₂ + 14^x₃ - 17^x₆ - 1^x₂ = -2x⁴ + 7x³ - 8x² + 7x - 6

Esercizio 1.1.1 Calcolare:

(3x² + 5x - 1) : [x²(x² - 2) + 2x] [3x⁶ + 5x⁴ - x³]
(5x³- 1^x₂ - 3^x₂) - (4x + 1) - 7 (x³ + 1^x₂) [-20x⁴-1^x₂ + 6x - 5]
X + 2 (x³ - 5^x₂) [2x³ + x - 5]
(X + 2) (x³ - 5^x₂) [x⁴ + 2x³ - 5^x₂ - 5]

1.2 Prodotti notevoli

Valgono i seguenti prodotti notevoli:

(A – b)(a + b) = a² – b²
(A + b)² = a² + b² + 2ab
(A – b)² = a² + b² – 2ab
(A + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
(A + b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab²
(A – b)³ = a³ – b³ – 3a²b + 3ab²
(A + b)(a² + b² – ab) = a³ + b³
(A – b)(a² + b² + ab) = a³ – b³

Esempio 1.2.1 Calcolare la seguente espressione: 4(x – 1)(x + 1)(x² + 1) – 2(x² – x + 1)².

Si ha 4(x – 1)(x + 1)(x² + 1) – 2(x² – x + 1)² = 4(x² – 1)(x² + 1) – 2(x⁴ + x² + 1 – 2x³ + 2x² – 2x)

4(x² – 1) – 2(4 – 2x³ + 3x² – 2x + 1) = 4x⁴ – 4 – 2x⁴ + 4x³ – 6x² + 4x – 2 = 2x⁴ + 4x³ – 6x² + 4x – 6

Divisione tra polinomi

Esempio 1.2.2 Calcolare la seguente espressione: \[\left( \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 \right)^3 - 2(x + 2)(x^2 - 2x + 4).\]

Si ha \[\left[ \

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