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Dynamics of space structures

Deterministic vs non-deterministic functions

Example: sin(ωt)

Example: Random F.

Introductory example

Hypothesis: Rigid body

First method

∑Ö(t) = Md(t) (From fundamental law of rotational dynamics)

ODE II order with constant coefficients:

(Ö = dΘ/dt => Θ = 1/∑ ∫ Md dt

Second method

Θ(t) → Θ(s) = ∫0∞Ö(t) est dt

Ö(t) → s Θ(s) - Θ(0)

ÖÖ(t) → s2Θ(s) - sΘ(0) - Ö(0)

Md(t) → Md(s)

∑Ö(t) = Md → s2∑Θ(s) = Md(s)

Algebraic equation

Frequency description approach

I can demonstrate this property with INT. P. P.

Lumped model

Introductory example

Hypothesis: Rigid body

First method

∑θ̈(t) = Md(t) (From fundamental law of rotational dynamics)

ODE II order with constant coefficients:

θ̈ = dθ̇/dt => θ = 1/J ∫ Md dt

Second method

Θ(t) → Θ(s) = ∫0∞ θ(t) est dt

θ̇(t) → sΘ(s) - Θ(0)

θ̈(t) → s2Θ(s) - sΘ(0) - θ̇(0)

Md(t) → Md(s)

∑θ̈(t) = Md → s2 ∑Θ(s) = Md(s)

Frequency description approach

I can demonstrate this property with INT. P. P.

Algebraic equation

Θ(s) = 1/s 1/s2 Mj(s)

Bode diagrams

s = jω

HR(s) = 1/s 1/s2

Transfer function "double integrator"

  • |H| dBω (rad/s)
  • Roll-off rate (per decade) = -40 dB or -2

Only mass effect (no Fo)

Hp.s = 1

Mass effect ω ↑ apparent mass ↑ (seen from fr. approach)

Warning! Θj will cause the value to be lower than its baseline

Flexible body

Now: 2 DOF

We'll use Lagrange equations to derive equations of motion (There are many ways)

T = 1/2 s1 𝕬12 + 1/2 s2 𝕬22

V = 1/2 k (Θ2 - Θ1)2

δ Wext = δΘ1, Md => {s1 𝕬1(t) - k (Θ2(t) - Θ1(t)) = Md(t)}

s2 𝕬2(t) - k (Θ2(t) - Θ1(t)) = 0

Θ(t) = {Θ1(t), Θ2(t)}

Equations of motion

2 DOF

M {s1 00 s2} Θ + K {k -k -k k} Θ = {10} Md =>    MΘ̈(t) + KΘ(t) = LdMd(t)

Now Θ1    Θ2 Θ1,  Θv (= Θ2 - Θ1)

T = ½I1Θ1̇2 + ½I2(Θ1̇ + Θv̇)2 = ½I2Θ1̇2 + ½IΘv̇2

V = ½K(Θ2 - Θ1)2 = ½KΘv2

 =>     {I1 + I2}Θ1̈ + I2Θv̈ = Md

I2Θ1̈ + I2Θv̈ + KΘv =         0

Θ = {Θ1, Θ}

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Ingegneria industriale e dell'informazione ING-IND/04 Costruzioni e strutture aerospaziali
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher leonardo.maniscalco.79 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Space structures e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Dozio Lorenzo.
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