Riassunto esame Psicometria , Prof. Primi Caterina, libro consigliato Introduzione alla psicometria, Caterina Primi

Psicometria

Variabili e la loro misurazione

Variabili e misurazione

Variabile: un qualsiasi attributo o caratteristica che è stata misurata e che può cambiare o assumere valori o categorie diverse da caso a caso.

• Variabili quantitative: sono quelle i cui valori osservati sono numeri (es. età, reddito, …)
• Variabili categoriali: sono quelle i cui valori osservati sono rappresentati da categorie (genere, titolo di studio, religione, …)
• Variabili discrete: se i suoi possibili valori formano un insieme di numeri distinti come 0,1,2,3…
• Variabili continue: se può assumere come valori ogni possibile numero reale incluso in un continuum infinito

Scale di misura

• Scala nominale (Proprietà dei numeri: Classificazione)

Attribuzione di ogni caso ad una classe o categoria definita in base ad una certa caratteristica (ad ogni categoria della variabile associo un numero).

Ogni numero è un simbolo che esprime soltanto la diversità tra le classi (varia il genere e non la quantità).

Operazioni matematiche: nessuna, solo conteggio delle frequenze per ogni categoria.

• Scala ordinale (Proprietà dei numeri: Ordine)

Disporre o classificare gli eventi secondo un ordine.

Il numero rappresenta la posizione e non la quantità posseduta, le differenze non sono quantificate.

Operazioni matematiche: nessuna, solo conteggio delle frequenze per ogni categoria ordinata (non è possibile quantificare le differenze di intensità tra le osservazioni).

• Scala ad intervalli (Proprietà dei numeri: Quantificazione)

Classificare secondo un ordine quantificando le differenze.

Ad ogni modalità della variabile associo un numero secondo una determinata grandezza di ordine.

Il numero rappresenta la quantità posseduta ma è arbitrario poiché la scala non possiede uno zero assoluto, può avere uno zero convenzionale (può assumere valori sia negativi che positivi).

Operazioni matematiche: addizione e sottrazione, non è possibile stabilire rapporti diretti tra le misure.

• Scala a rapporti (Proprietà dei numeri: Quantificazione)

Classificare secondo un ordine quantificando le differenze partendo da uno zero assoluto.

Ad ogni modalità della variabile associo un numero secondo una determinata grandezza di ordine.

Il numero rappresenta realmente la quantità, lo zero indica assenza della caratteristica e il numero non può assumere valori negativi.

Operazioni matematiche: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Ogni scala possiede le caratteristiche di quella che la precede (i test statistici applicabili alle precedenti sono utilizzabili anche per scale più avanzate, mentre non è vero il contrario).

La scala di misura utilizzata per la variabile può dipendere dalla definizione operativa della variabile e dal suo uso all’interno della ricerca.

Scala Likert

Descrivere i dati

Statistica descrittiva

• Distribuzioni di frequenza
• Indici di tendenza centrale
• Indici di variabilità
• Indici di posizione
• Rappresentazioni grafiche

Distribuzione di frequenza

• Frequenza assoluta

La frequenza misura quante volte una certa modalità è stata osservata nel campione.

• Sia X una generica variabile che si intende misurare
• Precisare le modalità in cui si articola la variabile oggetto di studio, si dice frequenza assoluta il numero n di unità che presentano la modalità j

• Distribuzione di frequenza assoluta

L’insieme delle modalità della variabile e le frequenze di ciascuna modalità produce la distribuzione di frequenza dei dati.

Per indicare la somma la notazione usata è N= n + n +…+n =1 2 m

Sommatoria: quando dobbiamo indicare la somma di più addendi (X + X + … + X ) possiamo utilizzare una modalità sintetica utilizzando la lettera ∑ (sigma) con le seguenti specificazioni: che significa che dobbiamo sommare tutte le X con da 1 ai n

• Distribuzione di frequenza relativa

Si chiama frequenza relativa di una modalità X la frazione o proporzione j di unità statistiche che presentano tale modalità.

• Distribuzione di frequenza cumulata

• Si chiama frequenza cumulata assoluta la somma delle frequenze assolute sino alla modalità considerata
• Si chiama frequenza cumulata relativa la somma delle frequenze relative sino alla modalità considerata

Indici di tendenza centrale

Consentono di sintetizzare una distribuzione una distribuzione di dati con un singolo valore.

• Moda
• Mediana
• Media

Per ogni scala di misura dei dati occorre scegliere l’indice adeguato.

• Moda

Si può utilizzare per variabili misurate su tutte le scale ed è rappresentata dalla categoria o dal valore più frequente della distribuzione osservata.

Si indica con Mo, Mod.

• Mediana

Si può utilizzare solo per variabili misurate almeno su scala ordinale ed è rappresentata dal valore che occupa la posizione centrale della distribuzione osservata (valore al di sopra o al di sotto del quale sta il 50% dei casi o un uguale numero di casi).

Si indica con Me, Mdn.

Per calcolare:

• Ordinare i casi in modo crescente
• Calcolare la frequenza cumulata
• Calcolare la posizione

Casi dispari

Casi pari

• Media

La media aritmetica è data dalla somma delle misure osservate diviso il numero delle osservazioni fatte (totale dei casi).

Si indica con M (y con linea sopra) per i campioni.

Quando ci si riferisce alla popolazione si indica con μ.

∑ = Sommatoria

X = generica osservazione

i n = totale casi osservati

X = generica osservazione

i f = frequenza associata ad ogni valore

i k = numero dei diversi valori

n = totale casi osservati

Proprietà della media

• Il calcolo della media è appropriato solo per variabili quantitative
• La media aritmetica è sempre compresa tra il minimo e il massimo dei valori osservati (internalità)
• La somma degli scarti dalla media è sempre uguale a zero
• La media è il centro di gravit à della distribuzione e risente delle variazioni apportate dai valori anomali (quei valori molto al di sotto o al di sopra di quello assunto dalla maggioranza delle restanti osservazioni)
• Tale valore prende il nome di outlier
• La media tende a spostarsi nella direzione della coda più lunga della distribuzione

Media e valori anomali

• La media aritmetica non è sempre l’indice che meglio rappresenta la tendenza centrale di una distribuzione, in particolare, per la presenza di valori anomali outlier
• In tali casi, la tendenza centrale della distribuzione è meglio rappresentata dalla mediana
• Un compromesso viene calcolata la media (trimmed mean) eliminando i valori estremi della distribuzione e facendo la media aritmetica dei dati rimanenti

Indici di dispersione o di variabilità

• Campo di variazione
• Devianza
• Varianza
• Deviazione standard
• Coefficiente di variazione

• Campo di variazione (range)

Il campo di variazione è dato dalla differenza tra il valore maggiore e quello minore della distribuzione di frequenza osservata.

Poco usato perché trascura la maggior parte dell’informazione disponibile e risente dei valori estremi.

• Devianza

È la somma degli scarti dalla media al quadrato.

Elevando al quadrato trascuriamo il segno degli scarti e l’unità di misura è il quadrato di quella della variabile.

• Varianza

Indice unico e sintetico sulla variabilità.

Si calcolano gli scarti dei valori osservati dalla media, elevati al quadrato si fa una media di questi scarti.

Proprietà della varianza

Sempre maggiore o uguale a zero, non è mai negativa.

• Deviazione standard

Radice quadrata della Varianza: indice di dispersione con unità di misura uguale alla media, misura la dispersione intorno alla media ed è fortemente influenzata dai dati anomali.

Proprietà della deviazione standard

• Maggiore o uguale a zero
• S = 0 solo quando tutte le osservazioni hanno lo stesso valore
• Più grande è la variabilità intorno alla media, maggiore è il valore di s
• Quando ci si riferisce al campione si indica con s (talvolta ds o sd), quando ci si riferisce alla popolazione con σ

• Varianza e deviazione standard

Esistono formule che consentono il calcolo a partire dai dati grezzi (non occorre calcolare la media e i singoli scarti da essa).

• Coefficiente di variazione

Determina la dispersione dei dati osservati mediante l’uso della media come unità di misura ed è un indicatore di variabilità relativa.

Indici di posizione

• Forniscono informazioni sul valore della variabile osservata al di sotto del quale ricade una certa proporzione di osservazioni della distribuzione

• Quartili
• Decili
• Percentili

• La variabile deve essere misurata almeno su una scala ordinale

• Per il calcolo

• Ordinare in senso crescente le modalità o valori della variabile
• Calcolare le frequenze cumulate
• Calcolare la posizione del quartile/decile/percentile con le apposite formule
• Cercare nella distribuzione il valore corrispondente alla posizione trovata

• Quartili

Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in quattro parti uguali; sono tre:

• 1° quartile (o inferiore): valore sotto il quale ricade il 25% dei casi
• 2° quartile (o mediano): valore sotto il quale ricade il 50% dei casi
• 3° quartile (o superiore): valore sotto il quale ricade il 75% dei casi

Formule

• Decili

Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in dieci parti uguali; sono nove:

• 1° decile: valore sotto il quale ricade il 10% dei casi
• 2° decile: valore sotto il quale ricade il 20% dei casi
• 9° decile: valore sotto il quale ricade il 90% dei casi

Formule

• Percentili

Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in cento parti uguali; sono novantanove:

• 24° percentile: valore sotto il quale ricade il 24% dei casi
• 89° percentile: valore sotto il quale ricade il 89% dei casi

Formule

• Standardizzazione

Questa operazione consente di definire la posizione di un soggetto all’interno di una distribuzione di frequenza e, dunque, di:

• A. Confrontare due prestazioni dello stesso soggetto entro distribuzioni diverse
• B. Confrontare le prestazioni di soggetti diversi in differenti distribuzioni

• Punti zeta

Trasformando i valori X in valori Z esprimiamo tali valori come distanze i i dalla media usando come unità di misura la deviazione standard.

Il punto Z indica la distanza dalla media del valore Xi i dell’i-esimo soggetto, distanza espressa in deviazioni standard.

Il punto Z fornisce indicazioni attraverso valore e segno.

• Il valore indica la distanza del punteggio dalla M in s
• Il segno positivo indica che il punteggio è sopra M
• Il segno negativo indica che il punteggio è sotto M

Rappresentazioni grafiche

• Grafico a barre
• Istogramma
• Box-plot

• Grafico a barre

• Rappresentazione grafica per una variabile qualitativa
• Altezza delle barre uguale al numero di osservazioni (frequenza assoluta) o alla proporzione di osservazioni (frequenza relativa o percentuale)

• Istogramma

Rappresentazione grafica di una distribuzione di frequenza per una variabile quantitativa.

• Curva continua

Quando una variabile continua ha molti valori o classi ed n è grande il poligono diventa una curva.

• Box-plot

• Il valore mediano (50° percentile)
• Il 25° e il 75° percentile

Associazione tra variabili

Descrivere relazione tra variabili

• Analisi bivariata (studio della relazione tra due variabili)

La relazione può essere di covariazione (quando al variare di X varia Y), o causale (quando X causa Y).

• Definire le variabili e il tipo di scala di misura

• Variabili nominali
• Variabile ordinale
• Variabile ad intervalli
• Variabile a rapporti

• Tabelle di frequenza

Consentono di raccogliere i dati derivanti dal calcolo della distribuzione di frequenza.

• Tabelle semplici (1 variabile)
• Tabelle a doppia entrata (2 variabili): i dati sono classificati secondo due variabili e le frequenze sono calcolate tenendo conto delle combinazioni delle modalità delle due variabili
• Tabelle a entrata multipla (più di 2)

Tabelle a doppia entrata o di contingenza.

Relazione tra variabili

• Diagramma di dispersione

I valori della variabile indipendente X sono rappresentati sull‘asse delle ascisse e i valori della variabile dipendente Y sono rappresentati sull’asse delle ordinate.

Ciascuna osservazione è rappresentata nel grafico come un punto definito dalle coordinate (X e Y ) corrispondenti ai valori delle due variabili. i i

• Relazione lineare: quando nel diagramma di dispersione la nube dei punti può essere approssimata ad una retta
• Intensità della relazione lineare tra le due variabili: quanto sono distanti i punti del diagramma dalla retta
• Direzione della relazione lineare tra le variabili

Mettere in evidenza la relazione esistente tra le due variabili:

• Stabilire il tipo di relazione
• Stabilire il grado di tale relazione
• Stabilire la direzione di tale relazione

Due indici quantitativi:

• Covarianza
• Correlazione

• Covarianza

Misura del grado di associazione di due variabili.

È data dalla media aritmetica del prodotto degli scarti di due variabili quantitative dalle loro rispettive medie.

• Limite: misura relativa, dipende dall’unità di misura delle variabili
• Si preferisce usare un indice indipendente dall’unità di misura delle variabili (Coefficiente di correlazione di Pearson)

• Correlazione di Pearson

Media dei prodotti dei punteggi X e Y standardizzati. i i

Trasformazione in unità standard: si perdono le unità di misura originali di ogni variabile (r: numero senza unità di misura).

Segno della correlazione di Pearson

• Il prodotto è positivo se X e Y assumono entrambi valori superiori alle i i rispettive medie o assumono entrambi valori inferiori alle medie
• Il prodotto è negativo se una variabile assume un valore superiore alla media e l’altra un valore inferiore

• Segno e direzione dell’associazione

• La correlazione assume valore positivo quando c’è una relazione positiva tra X e Y
• La correlazione assume valore negativo quando c’è una relazione negativa tra X e Y
• La correlazione assume valore nullo se le variabili sono linearmente indipendenti
• Il coefficiente di correlazione è un numero puro (non dipende dall’unità di misura delle variabili) e assume valori compresi tra -1 e +1

• r = -1 : perfetta relazione negativa; tutti i punti si trovano esattamente su xy una retta con pendenza negativa
• r = +1 : perfetta relazione positiva; tutti i punti si trovano esattamente su xy una retta con pendenza positiva
• r = 0 : assenza di relazione lineare tra X e Y xy

• Correlazione

Attraverso passaggi matematici si possono ottenere le seguenti formule per ricavare attraverso i dati grezzi r

L’assenza di relazione lineare non implica l’assenza di relazione tra variabili.

• Relazioni non lineari, anche di forte intensità, possono produrre una correlazione r = 0 xy
• Anche se r ≠ 0, il coefficiente di correlazione non è appropriato per xy rappresentare il grado di associazione tra variabili nel caso di una relazione non lineare

La formula della correlazione non assegna un ruolo diverso alle variabili X e Y: se l’associazione tra due variabili viene descritta mediante il coefficiente di correlazione (o mediante la covarianza) le due variabili non vengono distinte assegnando ad una il ruolo di variabile indipendente e all’altra il ruolo di variabile dipendente.

Relazione simmetrica

• Covariazione (o covarianza o correlazione o associazione): quando osserviamo che due variabili presentano variazioni concomitanti; al variare di una varia anche l’altra (relazione simmetrica)
• Causazione: implica nozione di produzione; una variabile causa l’altra (relazione asimmetrica)

• Misure di associazione

• Stabiliscono la forza del legame esistente tra le variabili
• Misurano quanto varia una variabile al variare dell’altra
• Diverse a seconda del tipo di variabile (scala di misura)

• Misurare la causalità

• Difficoltà a sottoporre a verifica l’ipotesi di un nesso causale in psicologia dove la relazione tra variabili di tipo probabilistico
• I nessi causali sono inferiti e mai osservati direttamente (siamo solo in grado di osservare dal punto di vista empirico e di verificare mediante le analisi statistiche la covariazione e non la causalità)
• L’associazione tra due variabili non prova l’esistenza di un rapporto di tipo causale (il fatto che le variabili varino insieme è condizione necessaria ma non sufficiente perché si possa stabilire un nesso causale)

Per misurare la causalità occorre soddisfare tre criteri:

• Esistenza di covariazione tra la variabile dipendente e la variabile indipendente
• Esistenza di una sequenza temporale tra le variabili; il cambiamento nella variabile indipendente deve precedere il cambiamento della variabile dipendente
• Assenza di sp