Riassunto esame Matematica finanziaria ed attuariale, Prof. Allevi Elisabetta, libro consigliato Matematica finanziaria e attuariale, Elisabetta Allevi, Magalì Zuanon, Gianni Bosi e Rossana Riccardi

Matematica finanziaria: concetti fondamentali

Lezione 1

La matematica finanziaria fornisce gli strumenti matematici per lo studio delle operazioni che riguardano lo scambio di importi di denaro disponibili a epoche diverse, volti a garantire l'equivalenza finanziaria tra tali capitali non immediatamente disponibili. Da sempre, l'impiego di capitale viene remunerato attraverso il pagamento di interessi. Gli elementi fondamentali per valutare un'operazione finanziaria sono gli importi e i tempi, cioè le scadenze nelle quali i capitali sono disponibili.

Nella prima parte vediamo la "teoria del credito", che studia le operazioni finanziarie in condizioni di certezza.

Operazione finanziaria

Un'operazione finanziaria (OFA) è un qualsiasi scambio di importi monetari riferiti a istanti temporali differenti, quindi lo scambio si protrae nel tempo. Quando l'operazione coinvolge lo scambio tra due importi in due epoche diverse si dice semplice, mentre se gli importi coinvolti sono più di due si dice complessa.

Una situazione finanziaria elementare (SFE) è una coppia ordinata (C, t) che rappresenta la disponibilità di un importo C al tempo t ≥ 0 (ad esempio, 1000€ tra un anno). L'importo C se è positivo rappresenta un'entrata, se è negativo rappresenta un'uscita. Definiamo invece una situazione attuariale elementare (SAE) una coppia ordinata (C, t) con distribuzioni di probabilità per C e t (ad esempio, 1000€ tra un anno se sarà ancora vivo, altrimenti 0).

Una prima distinzione si può fare tra condizioni di certezza e di incertezza rispetto a importi e tempo: nel primo caso si parla di operazioni finanziarie e nel secondo di operazioni attuariali.

Operazioni di capitalizzazione e attualizzazione

Ipotizziamo un'operazione finanziaria semplice, ossia un contratto mediante il quale un importo C (capitale iniziale) disponibile a una data epoca t₀ viene dato o ricevuto in cambio di un importo M (capitale finale), disponibile a una data epoca t₁ ≥ t₀. Il capitale iniziale C è detto valore attuale di M e, rispettivamente, il capitale finale M è detto montante di C.

L'operazione finanziaria con la quale si determina il valore a una determinata scadenza futura di un importo disponibile al tempo presente si chiama operazione di capitalizzazione, mentre l'operazione che stabilisce il valore al tempo presente di un importo con scadenza futura si dice operazione di attualizzazione o di sconto.

Si può anche dire che in un'operazione di capitalizzazione (o di montante) M è determinato in t₁ a partire da (C, t₀), e che M è detto montante di C per l'intervallo [t₀, t₁]. Allo stesso modo, diciamo che in un'operazione di attualizzazione (o di sconto) C è determinato in t₀ a partire da (M, t₁), e che C è detto valore attuale di M per l'intervallo [t₀, t₁].

Dopo tutto ciò, affermiamo che rinunciare oggi a un importo cedendolo a un altro soggetto richiede che poi venga corrisposto alla scadenza futura un importo non inferiore a quello ceduto, mentre se si anticipa oggi una disponibilità futura si percepisce un importo non superiore all'importo a scadenza: quindi si ha che 0 ≤ C ≤ M, con t₀ ≤ t₁.

La differenza M – C prende il nome di interesse (I) mentre prende il nome di sconto (D) nelle operazioni di capitalizzazione, sul capitale M disponibile all'epoca t₁ ed anticipato in t₀ nel caso di operazioni di attualizzazione.

I = M – C = D, quindi M = C + I e C = M – D.

Definizioni di tasso

Si definisce tasso di interesse relativo al periodo [t₀, t₁] la quantità I / (C * (t₁ - t₀)) nelle operazioni di capitalizzazione. Si definisce tasso di sconto relativo al periodo [t₀, t₁] la quantità D / (M * (t₁ - t₀)) nelle operazioni di attualizzazione.

Leggi di capitalizzazione e attualizzazione

Legge di capitalizzazione

In un problema di capitalizzazione, vogliamo vedere come (C, t₀) evolve al trascorrere del tempo t ≥ t₀. Possiamo allora, come vedremo, riassumere tutte le SFE (M, t) con la funzione M(t) = F(C, t₀, t).

Una legge di capitalizzazione è assegnata mediante una funzione a valori reali non negativi F(C, t₀, t) che consente di determinare il montante, generato a un generico istante t da un capitale C investito alla data t₀, e che soddisfa le seguenti proprietà:

• F(C, t₀, t) è definita per ogni C ≥ 0, per ogni 0 ≤ t₀ ≤ t ≤ T, con T estremo superiore delle scadenze future, a volte escluso;
• F(C, t₀, t) non è negativa;
• F(C, t₀, t₀) = C: il montante generato da un capitale con durata di impiego nulla è pari al capitale stesso, questa operazione infatti non produce interesse;
• F(0, t₀, t) = 0: il montante generato a qualsiasi epoca futura da un capitale nullo è nullo;
• Se 0 ≤ t₀ ≤ t₁ < t₂ ≤ T, allora F(C, t₀, t₁) ≤ F(C, t₀, t₂): il montante è una funzione crescente nel tempo, ossia un capitale non può perdere valore;
• Se 0 ≤ C₁ < C₂, allora F(C₁, t₀, t) < F(C₂, t₀, t): il montante è una funzione strettamente crescente del capitale, ossia con una medesima durata d'impiego il capitale C₂ genera un montante maggiore di quello generato da C₁;
• F(C, t₀, t) = C * F(1, t₀, t): il montante generato da un capitale C alla scadenza t, è uguale a C volte il montante generato da un capitale unitario;
• Fissato C ≥ 0, la funzione F(C, t₀, t) dipende solo dalla durata (t - t₀).

In base a quest'ultima proprietà, il montante dipende solo dalla durata dell'operazione, quindi se per semplificare poniamo che t₀ = 0 la durata dell'operazione finanziaria di capitalizzazione diventa t - 0 = t. Ponendo inoltre C = 1, la funzione f(t) = F(1, 0, t) è detta fattore di montante e determina il montante generato alla scadenza t da un capitale unitario in t₀ = 0. Ogni funzione f(t) che soddisfa le seguenti proprietà:

• f(t) è a valori reali non negativi definita per ogni 0 ≤ t ≤ T;
• f(0) = 1;
• f(t) è una funzione crescente rispetto alla variabile t, ossia se derivabile allora f’(t) ≥ 0;

è un fattore di capitalizzazione o di montante (ossia il montante in t di un capitale unitario in t₀). Da questa ultima scrittura troviamo anche l'interesse I(t) e il tasso d'interesse i(t) alla scadenza t:

I(t) = M(t) – C = C*f(t) – C = C* [f(t) – 1]
i(t)= I(t) / C = C*[f(t)-1] / C = f(t) – 1 ... i(t) = f(t) – 1

È detto poi tasso unitario d'interesse l'interesse maturato da un capitale unitario al tempo t: i = i(1) = f(1) – 1.

NB: in seguito indicheremo la somma (1 + i) con il simbolo u. Il tasso unitario di interesse è l'interesse prodotto da un C iniziale unitario per una durata di capitalizzazione di 1 periodo (al fine di ottenere il montante f(1)) (vedi esercizi 1 e 2 dal quaderno, con il seguito a inizio pagine). Ricorda anche che se il tempo ci risulta in anni, occorre moltiplicare la grandezza ottenuta per 12 così da ricavare i mesi, mentre se i mesi hanno i decimali occorre moltiplicare per 30 e ottenere i giorni.

Legge di attualizzazione

Si consideri ora il caso in cui si rinunci a un importo M dovuto a una scadenza t pur di entrare in possesso dell'importo C alla data t₀ ≤ t. Si definisce legge di attualizzazione una funzione a valori non negativi V(M, t₀, t) che consenta di determinare il valore attuale in t₀ di un capitale M, disponibile alla data t, con t ≥ t₀ e che soddisfi le seguenti proprietà:

• V(M, t₀, t) è definita per ogni M ≥ 0, per ogni 0 ≤ t₀ ≤ t ≤ T, con T estremo superiore dei tempi, eventualmente escluso;
• V(M, t₀, t) è non negativa;
• V(M, t₀, t₀) = M: il valore attuale di un capitale con durata d'impiego nulla è pari al capitale stesso, ossia questa operazione non produce sconto;
• V(0, t₀, t) = 0: il valore attuale di un capitale nullo è nullo;
• Se 0 ≤ t₀ ≤ t₁ < t₂ ≤ T allora V(M, t₀, t₁) ≥ V(M, t₀, t₂): il montante è una funzione decrescente del tempo, quindi se V è derivabile allora V’(t) ≤ 0;
• Se 0 ≤ M₁ < M₂ allora V(M₁, t₀, t) < V(M₂, t₀, t): il valore attuale è una funzione strettamente crescente del capitale M;
• V(M, t₀, t) = M * V(1, t₀, t): un C = 10, 100, 1000 non altera il fattore moltiplicativo;
• Fissato M ≥ 0 la funzione V(M, t₀, t) dipende solo dalla durata (t-t₀).

Posto M = 0, se V(M, 0, t) soddisfa le proprietà 7 e 8 allora si può scrivere:

C(t) = V(M, 0, t) = M* V(1, 0, t) = M*v(t)

dove la funzione v(t) è detta fattore di sconto e determina il valore attuale generato in t₀ = 0 da un capitale unitario disponibile alla scadenza t; ossia la funzione v(t) è funzione della durata dell'operazione. Possiamo aggiungere che v(t) è il fattore di attualizzazione o di sconto, ossia il valore attuale in 0 di un capitale unitario in t. Mi dice quanto devo scontare il capitale M per avere il capitale a un certo tempo iniziale. In pratica, vogliamo vedere come (M, t) evolve all'avvicinarsi del tempo t ≥ t₀. Possiamo riassumere tutte le SFE (C, t₀) con la funzione C = V(M, t₀, t).

Ogni funzione v(t) che soddisfa le seguenti proprietà:

• v(t) è a valori reali non negativi definita per ogni 0 ≤ t ≤ T;
• v(0) = 1;
• v(t) è una funzione decrescente rispetto alla variabile t, quindi se derivabile, v’(t) ≤ 0;

è un fattore di sconto.

Analogamente a quanto fatto in precedenza per il tasso d'interesse, andiamo a ricavare esplicitamente il tasso di sconto. Dalla relazione C(t) = M * v(t) si determinano lo sconto e il tasso di sconto alla scadenza t:

D(t) = M – C(t) = M – M*v(t) = M* [1 – v(t)]
d(t) = D(t) / M = M* [1 – v(t)] / M = 1 – v(t) ... d(t) = 1 – v(t)

Il numero d = d(1) = 1 – v(1) è detto tasso unitario di sconto ed è lo sconto generato da un capitale unitario disponibile in t = 1 anticipato in t = 0. Se t = 1, allora d(1) = 1 – v(1), quindi d, che rappresenta il tasso di sconto per una durata unitaria o tasso unitario di sconto è lo sconto da applicare a un capitale finale unitario per una durata di attualizzazione di un periodo (al fine di ottenere il valore attuale v(1)).

Osservazione: v(1) = 1 – d ≤ 1 = v(0), quindi d ≥ 0.

Leggi di capitalizzazione e di attualizzazione coniugate

Una legge di capitalizzazione ed una di attualizzazione si dicono coniugate quando il capitale iniziale C che genera il montante M, ottenuto con una legge di capitalizzazione, coincide con il valore attuale dello stesso capitale M, determinato con una legge di attualizzazione. Sia f(t) il fattore di montante associato a una assegnata legge di capitalizzazione, allora si ha che M(t) = C * f(t), quindi C = M /f(t), e sia v(t) il fattore di sconto associato alla legge di attualizzazione coniugata alla legge di capitalizzazione data, allora si ha C = M* v(t) = [C* f(t)] * v(t), quindi 1 = f(t) * v(t), e quindi f(t) = 1 / v(t).

v(t) allora è un fattore di sconto coniugato a f(t) quando è uguale al reciproco del fattore montante e quindi v(t) * f(t) = 1. Possiamo trasportare questa relazione fattore montante – fattore sconto anche sui tassi:

1 / (1 + i) = 1 – d ... quindi i(t) = 1 / d(t), con 0 ≤ t ≤ T.

In particolare, con t = 1, si ha che i > d per ogni i, tranne che per i = 0, a cui corrisponde d = 0.

NB: vedi esercizi sul quaderno, per verificare se un certo f(t) è un fattore montante, occorre valutare la sua derivata prima e scoprire se è maggiore o uguale a zero. Ciò accade se la funzione f(t) è crescente.

In altre parole, f(t) e v(t) sono detti fattori di montante e di sconto coniugati se f(t) · v(t) = 1. Se vale C=M·v(t) e M=C·f(t), allora possiamo scrivere M·v(t)·f(t)=M, o, alternativamente, C·f(t)·v(t)=C. Queste due uguaglianze significano che il valore attuale, M·v(t), del capitale finale M produce un montante, M·v(t)·f(t), uguale al capitale finale stesso, o, alternativamente, che il montante, C·f(t), del capitale iniziale C produce un valore attuale, C·f(t)·v(t), uguale al capitale iniziale stesso. Inoltre, per M ≠ 0, o, alternativamente, per C ≠ 0, f(t) · v(t) = 1.

Lezione 2

Istantaneità d’interesse o forza d’interesse

Si osservi che la differenza f(t + Δt) – f(t) rappresenta l'interesse prodotto tra t e Δt da un capitale unitario investito all'epoca t₀ = 0. Tale interesse si indica con I(t, t + Δt).

Sia ora f(t) una funzione differenziabile, allora si ha:

f(t + Δt) – f(t) = f ‘(t)*Δt + o(Δt)

I(t, t + Δt) ≈ f ‘(t) * Δt

Ossia, l'interesse generato da un capitale nell'intervallo di tempo [t, t + Δt], con Δt sufficientemente piccolo, è proporzionale al montante f(t) generato in t, all'ampiezza Δt e al valore assunto dalla funzione f ‘(t) / f(t) in t.

Si dice intensità istantanea d'interesse o forza d'interesse la funzione δ = [ln f(t)]’. Quindi, a parità di capitale investito nell'intervallo di tempo [t, t + Δt], a maggior intensità istantanea di interesse corrisponde un maggior interesse.

Data una funzione di intensità istantanea di interesse, si può determinare in modo univoco la legge di capitalizzazione associata, integrandola tra 0 e t nel seguente modo:

f(t) = e^{∫₀t δ(τ) dτ}

e quindi

f(t) = e^{∫₀t δ(τ) dτ}

Leggi scindibili

Si supponga ora di impiegare un capitale unitario all'epoca t₀ = 0 ottenendo, alla scadenza t il montante f(t) e di reinvestire immediatamente la somma ottenuta, con la stessa legge finanziaria, sino alla scadenza t + h generando il montante:

M = f(t) * f(h).

Ci si chiede sotto quali condizioni l'importo f(t) * f(h) coincida con il montante che si ottiene investendo un capitale unitario dall'epoca 0 alla scadenza t + h senza interruzione. Una legge di capitalizzazione per la quale ciò accade è detta scindibile, ossia il corrispondente fattore di montante soddisfa la seguente relazione:

f(t + h) = f(t) * f(h), ∀t, h ≥ 0

Teorema 1.1: Sia data una legge di capitalizzazione con corrispondente fattore di montante f(t), funzione differenziabile. Condizione necessaria e sufficiente affinché tale legge di capitalizzazione sia scindibile è che il fattore di montante f(t), funzione differenziabile, sia del tipo f(t) = e^δt, con δ ≥ 0.

Teorema 1.2: Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge di capitalizzazione sia scindibile è che la forza d'interesse associata al f.d.m., associato alla legge, con il f.d.m. con funzione differenziabile, sia costante (e non negativa), cioè δ(t) = costante, δ ≥ 0.

Vedi pag. 12 per avere la dimostrazione. Per ora ci basti sapere che il rapporto f ‘(t) / f(t) = δ, ciò significa che tale rapporto non dipende da t ed è quindi costante. Inoltre, integrando da 0 a t si ottiene che f(t) = e^δt.

La condizione è sufficiente, e questo ci permette di dire in altre parole che una legge di capitalizzazione è scindibile se e solo se la sua intensità istantanea di interesse è costante, cioè non dipende da t.

NB: cerca di svolgere esercizi conclusivi del capitolo 1 a pagina 13.

Regime di interesse semplice

Consideriamo f(t) f.d.m. differenziabile e osserviamo le seguenti 4 SFE: l'incremento f(t + h) – f(t), f(t + h) – f(t) = αh, α ≥ 0, e imponiamo che valga f(t + h) – f(t) = αh, ossia che l'incremento sia proporzionale ad h. Se ciò è imposto, allora si ha:

f(t + h) = (1 + it), i = α

Applicando il limite ad entrambi i membri, otteniamo che f'(t) = α.

Dato che, in generale, i = f(1) – 1, abbiamo, per questo f.d.m.

i = f(1) – 1 = 1 * – 1 = i = α

f(t) = 1 + it

Pertanto è il f.d.m. in [0, +∞) del Regime dell'Interesse Semplice (R.I.S.).

Ovviamente, dato ciò, nel regime di interesse semplice subiscono delle variazioni anche le altre grandezze:

• M(t) = C * f(t) = C * (1+ it) = C + C*i*t, con i >0 e C >0;
• I(t) = M(t) – C = C * (1 + it) – C = C*i*t, con i >0 e C >0;

inoltre, δ = i / (1 + it)