Riassunto esame Matematica 1, Prof. D'onofrio Luigi, libro consigliato Esercitazioni di Matematica Parte II, Marcellini-Sbordone

Lezione del 14/12/2020

Funzioni continue in un insieme

Sia A ⊆ R.

f è continua in A se e solo se è continua ∀x∈A.

Dimostriamo che questa funzione ammette massimo assoluto in x₀ se f(x₀) = f(c) ∀x∈A.

x₀ punto di max assoluto.

Dimostriamo che questa funzione ammette massimo relativo in x₀ se ∃I(x₀) : (f(x₀) ≥ f(x)) ∀x∈I(x₀).

x₀ punto di min. relativo.

x₃ è punto di minimo assoluto.

x₄ è punto di minimo relativo.

Teorema di Weierstrass 1.5

Se una funzione f: [a, b] → R è continua in [a, b] allora f ammette massimo e minimo assoluti.

f(x) = √x in [0, 1].

Minimo = 0.

Massimo = 1.

Lezione del 14/12/2020

Funzione continua in un insieme

f: A → R.

È continua in A se e solo se è continua ∀x∈A.

Diremo che questa funzione ammette massimo assoluto in x₀ se f(x₀) = f(max) ∀x∈A.

Diremo che questa funzione ammette massimo relativo in x₀ se ∃I(x₀) t.c. f(x₀) ≥ f(x) ∀x∈I(x₀).

Diremo che questa funzione ammette minimo relativo in x₀ se ∃I(x₀) t.c. f(x₀) ≤ f(x) ∀x∈I(x₀).

x_A è punto di minimo assoluto.

x_B è punto di minimo relativo.

Teorema di Weierstrass

Se una funzione f [a, b] → R è continua in [a, b] allora f ammette massimo e minimo assoluti.

f(x) = √x in [0, 4].

minimo = 0.

massimo = 1.

f(x) = log x in (0, 1).

Nota: Non continua.

f(x) = log x in (1,).

Eterna continua.

La funzione è continua nell’intervallo quindi il teorema di Bolzano.

Minimo → 1, x = log x Punto di Min → 1.

Massimo → 0 Punto di Max → 1.

Primo teorema dei valori intermedi

Se consideriamo una funzione f: [a, b] → R continua e se f(a) ≠ f(b) allora f assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b).

∀_g(f(a), f(b)) ∃c [a, b] f(a).

Secondo teorema dei valori intermedi

Rifacendoci al teorema di Weierstrass, se f è continua in un intervallo chiuso e limitato allora ammette massimo e minimo assoluto. Quindi possiamo generalizzare il primo teorema dei valori intermedi.

Se f: [a, b] → R e se f continua in [a, b] allora f assume tutti i valori compresi tra max e min assoluti.

m = min assoluto M = max assoluto.

∀_y ∈ [m, M] ∃x ∈ [a, b] f pari.

I^a osservazione: Il teorema di D. garantisce che se f è continua in [a, b], f e M sono max e min assoluti.

II^a osservazione: Posso scegliere che ∃x ∈ [a, b] solo quando la funzione è strettamente monotona.

Classificazione delle discontinuità

a) Discontinuità eliminabile.

x₀ è una discontinuità eliminabile se ¹ lim x→0 f(x) l f(x₀).

lim_{x → 0} 0.

f(x) = { x² se x ≠ 0 { 0 se x = 0.

f(0) = 1.

f_x(x) = x²⁄_{x con x < 0} x + 1 con x ≥ 0.

lim_x→0^- f(x) = 0.

f(0) = 0.

lim_x→0⁺ f(x) = 1.

a) Discontinuità di prima specie (con salto).

x₀ è una discontinuità di 1^a specie per f se esistono finiti.

lim_x→x0^- f(x) = f₁.

lim_x→x0⁺ f(x) = f₂.

con f₁ ≠ f₂.

Salto → Si passa dal valore 3 a 1.

b) Discontinuità di seconda specie.

x₀ è una discontinuità di 2^a specie se accade.

lim_x→x0^- f(x) = ±∞.

lim_x→x0⁺ f(x) = ±∞.

lim_x→x0 f(x) = ±∞.

In questo caso la retta verticale x = x₀ si chiama asintoto verticale per f(x).

lim_x→x0^- log x = ±∞.

lim_x→x0⁺ log x = ±∞.

x = x₀ = 0 ⇒ Asintoto verticale.

Lezione del 16/12/2020

Teorema degli zeri

Supponiamo che f: [a, b] -> R sia continua in [a, b] e supponiamo che f(a)·f(b) c è l'intervallo (a, b).

Dimostrazione

f [a, b] -> R.

Si prende il punto medio dell'intervallo [a, b]: c = a+b₂.

Calcolo la funzione in f(c).

1) f(c) > 0.

• f(c) = 0 → Calcolo finito. Ho trovato lo zero.

Quindi prendo.

Alla fine del punto posso avere un nuovo intervallo [a₁, b₁]:

Adesso dobbiamo trovare il punto medio del nuovo intervallo.

c₁ = a₁ + b_{1 2}.

1) f(a₁) ⋅ f(c₁) = 0.

Calcolo finito e trovato l'esito, l'insieme è finito.

2) f(c₁) a₂, c₁ → f(b