Riassunto esame Fisica 2, Prof. Migliorati Mauro, libro consigliato Fisica Generale 2, Mencuccini Silvestrini

Elettrostatica

Elettrostatica nel vuoto

Azione elettrica

Sin dall'antichità è noto che tra oggetti macroscopici opportunatamente trattati si esercita una forma di azione a distanza detta azione elettrica. Due materiali o si attraggono o si respingono e la loro attività dipende dalla sostanza di cui sono fatti. Se hanno lo stesso tipo di comportamento si respingono, se invece sono sostanze diverse si attraggono. I materiali usati come paragone sono l'ambra e il vetro. In greco infatti l'ambra si scrive ἤλεκτρον, parola che va ad indicare la carica negativa del materiale, di contro il vetro si carica positivamente.

Per il terzo principio della dinamica:

• Se un corpo A e un corpo B sono separatamente attratti da un corpo C, allora A e B si respingono fra loro;
• Se A è attratto da C e B è respinto da C, allora A e B si attraggono fra loro.

Tutto ciò porta a concludere che in natura esistono due tipi di cariche elettriche: la carica elettrica positiva, come appunto il vetro, e la carica elettrica negativa, come l'ambra. Quindi le cariche elettriche dello stesso segno si respingono e le cariche elettriche di segno opposto si attraggono.

L'atomo è composto da protoni, neutroni ed elettroni. Le masse dei neutroni e dei protoni sono molto simili, mentre quella degli elettroni è 2000 volte più piccola: M_p=1,6725 x 10^-27 kg; M_n=1,6748 x 10^-27 kg; M_e=9,1091 x 10^-31 kg.

Protoni e neutroni vengono anche detti nucleoni. Il protone ha carica positiva, l'elettrone negativa e il neutrone nulla. Il valore assoluto delle cariche degli elettroni e dei protoni è uguale: la loro carica è definita carica elementare. Infatti la carica elettrica si manifesta come una grandezza fisica quantizzata.

Il modello atomico quindi è composto da:

• Protoni e neutroni legati tra loro tramite una forza nucleare formando così il nucleo degli atomi;
• Il nucleo di carica positiva e la sua massa può essere approssimato alle masse dei nucleoni. Il numero di nucleoni costituenti il nucleo viene detto numero di massa;
• Intorno al nucleo orbitano gli elettroni, in numero pari al numero atomico (numero di protoni) nel nucleo.

Quindi l'atomo nel suo complesso è elettricamente neutro. Se a parità di numero atomico cambia il numero di massa, si hanno diversi isotopi dello stesso elemento. Un sistema costituito da più cariche manifesta una carica elettrica complessiva pari alla somma algebrica delle cariche costituenti.

Possiamo distinguere tra materiali conduttori e materiali isolanti.

• Negli isolanti le cariche elettriche restano localizzate;
• Nei conduttori le cariche elettriche negative sono libere di migrare all'interno del corpo e non restano localizzate.

Elettrizzazione per contatto

Se prendiamo per esempio un conduttore carico positivamente e uno neutro e li poniamo vicini, gli elettroni all'interno del corpo neutro tendono ad addensarsi vicino al corpo positivo. Nel conduttore neutro avrò la somma delle cariche uguale a zero, ma con la loro distribuzione simmetrica. Stabilendo il contatto meccanico alcuni di questi elettroni si trasferiscono dal corpo neutro al corpo carico. Se stacchiamo i due corpi, quello neutro sarà diventato carico positivamente e a quello carico si sarà ridotto il suo stato di positività.

Induzione elettrostatica

Consideriamo un conduttore C elettricamente scarico, sostenuto da un supporto isolante e ad esso venga avvicinato un corpo C' carico ad esempio positivamente. Le cariche negative di C si avvicinano a C' ed il loro moto genera una parte positiva, opposta a C'. Se faccio un collegamento a massa con un conduttore come la Terra, che può essere considerata come sorgente infinita di cariche, allora le cariche positive si allontanano molto da C'. Se a questo punto si interrompe il collegamento di C a T, il conduttore C resta carico negativamente; e se C' viene allontanato, le cariche negative si distribuiscono su C.

Carica elettrica e legge di Coulomb

Per misurare la carica elettrica utilizzo l'elettroscopio. In un recipiente trasparente isolante penetra un'asta metallica M attraverso un opportuno foro che mantiene l'asta bloccata. All'estremità inferiore dell'asta, nella parte interna del recipiente, sono appese due foglioline metalliche. Quando l'asta è elettricamente scarica, queste saranno disposte verticalmente. Se si tocca l'asta M con un corpo carico C, l'asta M si carica anch'essa e parte della carica posseduta da M si dispone sulle foglioline, che si respingeranno poiché caricate dello stesso segno. La loro distanza formerà un determinato angolo: maggiore è l'angolo maggiore è la carica del corpo C. Per cui con questo metodo possiamo misurare l'angolo, capire la carica del corpo C e notare alcune proprietà:

• Se due corpi uguali C₁ e C₂ toccando M producono la stessa deflessione, allora su C₁ e C₂ si trovava la stessa carica elettrica;
• Qualora una sfera metallica C₁ carica venga messa a contatto con una seconda sfera C₂ uguale alla prima ma inizialmente scarica, allora la carica presente inizialmente in C₁ si suddivide in parti uguali fra C₁ e C₂;
• Principio di conservazione della carica: in un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche si mantiene costante nel tempo.

Se andiamo a misurare la forza che agisce tra queste due cariche notiamo che dovrebbe essere proporzionale alle due cariche, inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra le cariche e la direzione della forza è quella che va dalla carica 1 alla carica 2.

Dove k è una costante di proporzionalità il cui valore dipende dalle unità di misura, che però noi assumiamo come k=9 x 10⁹ [(N x m²) / C²]. Nel sistema internazionale, l'unità di misura delle cariche è il Coulomb, C, definito come la carica che attraversa in un secondo un conduttore percorso dalla corrente di un Ampère, A.

La legge si può anche scrivere come:

Dove ε₀ è la costante dielettrica del vuoto e vale 8,854 x 10^-12 [C² / (N x m²)]

Alcune proprietà di questa forza:

• È una forza centrale, quindi è conservativa, di conseguenza ha un'energia potenziale;
• Varia con 1 / r²;
• Principio di sovrapposizione degli effetti: Se un sistema produce un effetto su un altro sistema, un terzo sistema produrrà un effetto che è la somma dei due effetti dei due sistemi come se questi fossero indipendenti tra loro.

Campo elettrico

Consideriamo una carica puntiforme Q disposta in una certa posizione nello spazio. Se una seconda carica q viene posta ferma in presenza della prima, essa subisce una forza F che dipende dalla posizione di q ed è in modulo proporzionale a q. Se q è una carica qualunque puntiforme, posta nella posizione r=(x,y,z), il rapporto E=F / q viene detto campo elettrico generato in posizione r dalla carica Q. Definisco quindi come campo elettrico il rapporto tra la forza subita dalla carica q e la stessa carica q.

Se Q è nell'origine il campo elettrostatico è una grandezza che si misura con N / C = V / m. Dove V, Volt, è l'unità di misura del potenziale elettrostatico.

La forza non è proporzionale a q, infatti se le cariche sorgenti sono disposte su corpi estesi, allora la presenza della carica di prova q può modificare la distribuzione delle cariche macroscopiche. Si definisce quindi il campo elettrico generato da quella distribuzione delle cariche sorgenti come il rapporto F / q purché la carica di prova q sia abbastanza piccola da produrre una perturbazione trascurabile nella configurazione delle cariche circostanti. Il modulo E di E viene detto intensità del campo elettrico.

Gli effetti prodotti dalle cariche sorgenti possono manifestarsi con intensità significativa anche in porzioni di spazio molto lontane da quelle occupate dalle sorgenti; e il ritardo con cui tali effetti si manifestano può essere interpretato in termini del tempo che il campo impiega a propagarsi nello spazio.

Campo elettrostatico generato da sistemi di cariche con distribuzione spaziale fissa e nota

Supponiamo di essere in un sistema di riferimento inerziale e consideriamo due cariche sorgenti puntiformi ferme, Q₁ e Q₂: siano r₁ e r₂ i rispettivi vettori posizione costanti nel tempo. Supponiamo che nelle vicinanze sia posta ad una distanza r una carica di prova q.

In generale si ha a che fare con numeri molto grandi di cariche puntiformi, per ovviare a questo problema si introduce il concetto di distribuzione continua di carica. dτ è l'elemento di volume attorno al punto di coordinate x,y,z e dq è la carica contenuta in tale elemento di volume. ρ(x,y,z) sarebbe una funzione fortemente variabile nello spazio e nel tempo, ma ciò nella pratica non è valido perché tutte le misure si riferiscono alle medie effettuate su volumetti dτ che per quanto piccoli, contengono sempre un numero assai grande di cariche microscopiche.

Capita spesso che le cariche sorgenti anziché essere localizzate in una regione tridimensionale, occupino un dominio spaziale ben approssimato da una superficie (distribuzione superficiale) o da una linea (distribuzione lineare). La densità superficiale è: La densità lineare è: Di cui i campi elettrici sono:

Teorema di Gauss

Il teorema di Gauss vale per qualunque campo vettoriale che sia additivo e che, per sorgenti puntiformi, abbiamo modulo proporzionale all'inverso del quadrato della distanza e sia diretto come la congiungente con il punto sorgente.

Il flusso

Sia dato un campo vettoriale A(x,y,z), e immersa nel campo una superficie S cui si assegna convenzionalmente una faccia come positiva: nel caso di superficie chiusa la faccia positiva è quella verso l'esterno. Consideriamo una porzione elementare dS della superficie: ricordiamo che l'elemento vettoriale dS è definito come n dS, dove n è il versore normale alla superficie (con verso uscente dalla faccia positiva) e dS è l'area dell'elemento di superficie stesso.

Si definisce come flusso elementare del vettore A attraverso l'elemento di superficie dS. Il flusso del vettore A attraverso l'intera superficie S è definito come l'integrale dei flussi elementari.

Teorema di Gauss

Il flusso del campo elettrostatico nel vuoto E attraverso una superficie chiusa qualunque S è pari alla somma algebrica delle cariche contenute all'interno di S, divisa per ε₀. Eventuali cariche disposte esternamente alla superficie chiusa S non portano alcun contributo al flusso di E.

Dimostrazione

Consideriamo che all'interno della superficie S si trova una sola carica puntiforme Q. Il flusso elementare è dato da:

Dove con dS = dScosθ abbiamo indicato la proiezione dell'elemento superficie dS sulla sfera di raggio r e centro Q. D'altra parte il rapporto dS / r² rappresenta l'angolo solido dΩ del cono (l'angolo massimo è 4π), con vertice in Q, delimitato dall'elemento di superficie dS; Integrando sulla superficie chiusa S si ha: Infatti la superficie S copre intorno a Q l'intero angolo solido. Vediamo dunque che il flusso di E uscente dalla superficie non dipende dalla forma della superficie, né dalla posizione che Q occupa all'interno della porzione di spazio racchiusa da S.

Se ho più cariche: Integrando: Consideriamo una carica Q_e che si trovi esterna alla superficie S.

Ogni cono di angolo solido dΩ con vertice in Q_e o non intercetta la superficie S o la intercetta in due elementi di superficie dS₁ e dS₂. I flussi elementari dΦ₁ e dΦ₂ attraverso questi due elementi di superficie hanno per conseguenza della (20) lo stesso valore assoluto. Tuttavia, mentre dΦ₂ è positivo (θ < π/2), dΦ₁ è negativo (θ > π/2); per cui la loro somma è nulla.

Ricorda: flusso nullo, non significa campo nullo.

Distribuzione continua di cariche

Il teorema di Gauss è diretta conseguenza della legge di Coulomb.

Linee di forza

Dato un campo vettoriale definito in una regione dello spazio, per linea di forza del campo si intende una linea che in ogni punto ha la direzione del campo come tangente. Le linee di forza si addensano dove cresce l'intensità del campo elettrico e si diradano dove il campo decresce. In ogni regione in cui il campo elettrico è presente viene disegnato un numero di linee di forza tale che la loro densità sia proporzionale all'intensità del campo. Le linee di forza sono entranti o uscenti a seconda della carica di q, uscente se positivo, entrante se negativo. Un dipolo è formato da una carica negativa e una positiva.

Esempio 2

Espressione del campo elettrico generato da una distribuzione di cariche dotata di simmetria sferica

Una distribuzione di cariche con simmetria sferica è caratterizzata da una densità di carica ρ=ρ(r). La densità di carica varia dunque in generale da punto a punto dello spazio, ma in modo tale da assumere lo stesso valore nei luoghi di punti equidistanti da un punto O. Per conseguenza di questa simmetria delle cariche, segue che anche il campo elettrico deve avere necessariamente simmetria sferica: sarà diretto radialmente rispetto ad O e il suo modulo è costante su ogni sfera concentro in O e dipende pertanto solo dal modulo di r.

Se si sceglie una sfera centrata in O, il calcolo dell'integrale quindi è semplice: Abbiamo tenuto conto del fatto che dS è parallelo a r, essendo un elemento di superficie sferica, e (r) lo è. Quindi avremo: del fatto che r è costante su tutta la superficie sferica S e quindi anche E.

A distanza r dal centro O, la distribuzione sfericamente simmetrica di cariche produce un campo elettrico pari a quello che sarebbe prodotto da una carica puntiforme q(r) disposta nel centro O, e pari alla carica totale contenuta all'interno della sfera di raggio r.

Esempio 3

Consideriamo una regione sferica S di raggio R, dotata di carica Q uniformemente distribuita sul suo volume (ρ=cost). Calcolare il campo elettrico E₀(r) presente internamente ed esternamente alla sfera. Consideriamo una sfera s di raggio r, concentrica con la sfera S. Se r>R, allora dentro s è contenuta la carica Q e quindi abbiamo: Se r

La prima equazione di Maxwell

La prima equazione di Maxwell esprime la legge di Gauss in forma locale.

Teorema della divergenza

Consideriamo un campo vettoriale E(x,y,z), definito entro un dominio spaziale all'interno del quale le componenti di E sono derivabili rispetto alle tre variabili x,y,z. Ci proponiamo di calcolare il flusso di E uscente da un volumetto elementare di forma parallelepipeda e dimensioni lineari dx, dy, dz. Dove x è il valore della coordinata x all'altezza della faccia ABCD e sono il valore medio delle coordinate y e z sulla faccia ABCD. Il segno meno deriva dal fatto che la normale n uscente dalla faccia ABCD ha verso opposto all'asse x. Analogamente si ha per il flusso attraverso la faccia EFGH:

Quindi si ha E dunque.

Da cui In maniera analoga si trovano i contributi di flusso attraverso le coppie di facce ortogonali agli assi y e z, ottenendo in definitiva:

Si definisce divergenza del vettore E la quantità:

Teorema della divergenza: Il flusso di un vettore E attraverso una superficie chiusa S è pari all'integrale della divergenza di E calcolato sul volume τ racchiuso da S.

Notiamo che la divergenza è un operatore differenziale che applicato al campo vettoriale E fornisce una funzione scalare divE.

Significato fisico di divergenza

Osservando le linee di campo di un qualsiasi campo A, quando questo penetra in un mezzo, si osserva che la sua divergenza è nulla quando le linee di campo, che entrano all'interno del mezzo, ne escono inalterate e nella stessa quantità; si ha invece che la divergenza è maggiore di 0 se il numero delle linee di campo varia e/o cambia la direzione del campo.

Operatore nabla

Dove i, j, k sono i versori degli assi coordinati. Se accoppiamo il teorema della divergenza con il teorema di Gauss si ha: Poiché il teorema di Gauss vale qualunque sia la superficie chiusa di integrazione S, la formula varrà qualunque sia il volume di integrazione: ciò implica l'uguaglianza delle funzioni integrande.

La prima equazione di Maxwell richiede che il campo vettoriale E sia derivabile in ogni punto del dominio considerato.

Il potenziale elettrico

Se moltiplichiamo scalarmente la (5) per uno spostamento elementare dl e poi integriamo lungo una qualunque traiettoria che porti da una posizione A ad una posizione B, si ha:

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo. Ponendo si ha: Dove, se A è una posizione generica di riferimento e P la posizione generica di coordinate x, y, z.