•
• 1
1. Elettrostatica nel vuoto 2
1. Elettrostatica nel vuoto
3
1. Elettrostatica nel vuoto /2.
/2
1
2 ⃗
12
1 2
=
12 2
12
1 2
⃗ = ̂
12 12
2
12
̂
12
1 2
⃗ = ⃗
12 12
3
|⃗ |
12
4
1. Elettrostatica nel vuoto
[] =
1 1
2
9
= 9 × 10 2
1
= 4
0
0 2
−12
= 8,854 × 10
0 2
1
1 2
⃗ = ̂
12
2
4
0 12
•
• 2
1 3 3
1
1 3
⃗ = ̂
13 13
2
4
0 12
2 3 3 5
1. Elettrostatica nel vuoto
1
2 3
⃗ = ̂
23 23
2
4
0 12
3
⃗ ⃗ ⃗
= +
3 13 23
= = 1
1 2
= 1
12 9
= 9 × 10
12
1 1 −19
= 1,6 × 10
⃗
1
⃗ = ̂
0 2
4
0
, , ⃗
̂
⃗ = ̂ + ̂ + ̂
⃗ ̂ + ̂ +
̂ = =
2 2 2
+ +
√
1
⃗ = ⃗
0 32
4
0 |⃗|
1 ̂)
⃗ = + ̂ +
(̂
0 3
4
0 2 2 2
( )
+ + 2 6
1. Elettrostatica nel vuoto
⃗
⃗
0
⃗⃗ =
0
1
⃗⃗ = ⃗
0 3
4
0 ̂)
1 (̂ + ̂ +
⃗⃗ =
0 3
4
0 2 2 2
( )
+ + 2
( )
, ,
0 0 0 ⃗ = ⃗ − ⃗
0 0
[] = =
7
1. Elettrostatica nel vuoto
⃗
0
⃗⃗ = lim
0
→0 ( )
, ,
1 1 1 1
⃗
1
(, , ) ⃗
1
1
⃗⃗ (⃗ )
= − ⃗
0 1
3
|⃗
4 − ⃗⃗⃗⃗|
0 1
⃗ = ⃗ − ⃗
1 1
2
1 2
⃗
1
1
⃗⃗ ( )
= ⃗−
⃗
∑
0
3
4 ⃗ −
⃗⃗
| |
0 =1
1
1 ( )
= −
∑
0
3
4
0 2 2 2
|( ) ( ) ( ) |
− + − + − 2
=1 8
1. Elettrostatica nel vuoto
= = (, , )
= = (, , )
= = (, , )
)
2
= =
9
1. Elettrostatica nel vuoto
= = 2
(, , )
⃗ ′
⃗⃗⃗⃗
′ ′ ′ ′ ′ ′
′
) ( )
( , , = , ,
1 (, , )
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
′
= ⃗ −
( )
0 3
4 ⃗⃗⃗⃗
′
|⃗ − |
0 ⃗⃗⃗⃗
′
1 (′, ′, ′)(⃗ − )
⃗⃗ ′
= ∫
0 3
4 ⃗⃗⃗⃗
′
|⃗ − |
0 ′ ′ )
1 (′, ′, ′)( −
= ∫ ′
0, 3
4
0 2 2 2
′ (( ) ( ) ( ) )
− + − + − 2
′ ′ ′ ′
= 10
1. Elettrostatica nel vuoto
2 2
|⃗| = +
√
1
=
0 2 2
( )
4 +
0
1
= ∫
0 2 2
( )
4 +
0
= tan 2
2 2 2
= + = =
2 2
cos cos
− +
2 2
2
cos 1
2 2
= ∫ = ∫ = =
0 2 2
4 cos 4 4 4
− −
0 0 0 0
2 2
1
⃗⃗ = ̂
0 2 2
( )
4 +
0 11
1. Elettrostatica nel vuoto
= cos = cos
0 0 2 2
( )
4 +
0
= sin = sin
0 0 2 2
( )
4 +
0
2
2
= ∫ cos =
0 4 4
−
0 0
2
2
= ∫ sin = 0
0 4 −
0 2 1
2
1
12
1. Elettrostatica nel vuoto
13
1. Elettrostatica nel vuoto
⃗
⃗⃗
0 ̂
(⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
= ⋅ ̂ = ⋅ ⃗
)
0 0 0
(⃗⃗
= cos
)
0 0
(⃗⃗ ∫⃗⃗
= ⋅ ̂ = ∫ cos
)
0 0 0
=
Ω= 2
4 14
1. Elettrostatica nel vuoto
(⃗⃗ ⃗⃗
= ⋅ ̂ = cos
)
0 0 0 Ω
̂
⃗⃗
0 ||
(⃗⃗ ⃗⃗
= ⋅ ̂ = cos = ± = ± =
)
0 0 0 0
2 2
4 4
0 0
± 2
Ω
(⃗⃗ 2
= Ω = Ω
)
0 2
4 4
0 0
4
(⃗⃗
= ∫ Ω =
)
0 4
0 0
0 15
1. Elettrostatica nel vuoto
0 ∑
(⃗⃗
=
)
0
0
1
(⃗⃗
= ∫
)
0
0
̂ ̂
1 2
(⃗⃗ (⃗⃗ (⃗⃗
= +
) ) )
1 2
(⃗⃗ (⃗⃗ (⃗⃗
= + = 0
) ) )
1 2
∑ 1
,
(⃗⃗
= = ∫
)
0
0 0
4 3
=
3 ⃗
16
1. Elettrostatica nel vuoto
0 1
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
( = ⋅ = ∫ ()
)
0 0
0
⃗
⃗⃗ 2
⋅ 4
0 0
1
2
() 4 = ∫ ()
0
0
()
∫ 1 ()
()
= =
0 2 2
4 4
0 0
>
(⃗⃗ 2
= = ∫ = ∫ = 4
)
0 0 0 0
0
=
0 2
4
0 17
1. Elettrostatica nel vuoto
< <
4 4
3 3 3
() = = =
4 3
3 3
3
3
(⃗⃗ ∫⃗⃗ 2 3
= ̂ = (4 ) = =
)
0 0 0 3
0 0
<
1 1
()
= =
0 3
4 3
0 0
1
= ∫()
0 2
4
0
2
= 4
1 2
= ∫ 4
0 2
4
0 0
⃗
<
′ ′′
Ω 18
1. Elettrostatica nel vuoto
⃗⃗ ⃗⃗
0′ 0′′
′ ′
1 1 1
0′
= = = Ω
2 2
′ ′
4 4 cos 4 cos
0 0 0
′ ′
′
′
Ω = 2
1
0′′
= Ω
′
4 cos ′
0
0′ 0′′
′′
′ =
1
2
> 1
(⃗⃗ ∫⃗⃗
= ̂ = = ∫
)
0 0
0 0
19
1. Elettrostatica nel vuoto
|⃗| →
, ,
, , , , , , ,
+ ̅ , ̅ ̅
(⃗⃗ ⃗⃗ (, ̅) (, ̅)
= ̅, ⋅ ̂ = − ̅,
)
0 0 0
(⃗⃗ ⃗⃗ ( ̅) ( ̅)
= + , ̅, = + , ̅,
)
0 0 0
[ ( ̅) (, ̅)]
= + , ̅, − ̅,
0 0
( + ) = () +
20
1. Elettrostatica nel vuoto
0
=
[ ]
=
0
=
[ ]
0
=
[ ]
0
=
[ ]
0
0 0
= ]+[ ]+[
([ ])
0
0 0
⃗⃗
= ]+[ ]+[
[ ]
⃗
⃗
∇
⃗⃗
⃗
⃗≡
∇ , , ≡ ⃗ + ⃗ +
( )
⃗
⃗ ⃗⃗
∇ ⋅ 0
0
0 0
⃗
⃗ ⃗⃗
∇ ⋅ = + +
([ ] [ ] [ ])
0
⃗
⃗ ⃗⃗
= ∇ ⋅
0
(⃗⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗ ∫⃗⃗
= ∫ = ∫∇ ⋅ = ⋅ ̂
)
0 0 0
21
1. Elettrostatica nel vuoto
1
⃗
⃗ ⃗⃗ ∫⃗⃗
∫∇ ⋅ = ⋅ ̂ = ∫
0 0
0
1
⃗
⃗ ⃗⃗
∫∇ ⋅ = ∫
0
0
⃗
⃗ ⃗⃗
∇ ⋅ =
0
0
(, , )
1
⃗⃗ = ̂
0 2
4
0
∫⃗⃗ ⋅ ̂ =
0
0
22
1. Elettrostatica nel vuoto ℎ
(⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
= ∫ ⋅ ̂ + ∫ ⋅ ̂ + ∫ ⋅ ̂
)
0 0 0 0
1 2
(⃗⃗ ⃗⃗
= ∫ ⋅ ̂ = 2 ℎ =
)
0 0 0
0
= ℎ
ℎ
2 ℎ =
0
0
=
0 2
0
=
0 2 2
( )
4 +
0
cos
= =
0 3
2 2
( )
4 +
0 2 2
( )
4 + 2
0 2
= ∫ = ∫ =
0 0 3 3
2 2 2 2
( ) ( )
4 + 4 +
2 2
0 0
= ≈
≫
3 2
4
0
2 2
( )
4 + 2
0 23
1. Elettrostatica nel vuoto
+ = 2
=
2 2
=
0 3
2 2
( )
4 + 2
0
+∞ +∞
= ∫ = ∫
0 0 3
2
0 2 2
0 0 ( )
+ 2
2
2 2
+ = = tan =
2 2
cos cos
3
cos
2 2
= ∫ tan = ∫ tan cos
0 2 2
2 cos 2
0 0
0 0
2
= ∫ sin =
2 2
0 0
0 24
1. Elettrostatica nel vuoto
2
0
2 =
0
0
=
0 2
0
⃗⃗
∫
0
⃗⃗
∫ =
0
̂
⃗
⃗⃗
∫ = ∫ ⋅
0 2
4
0
25
1. Elettrostatica nel vuoto
⃗
⃗
⃗
̂ 1 1
⃗
∫ ⋅ = ∫ = −
[ ]
2 2
4 4 4
0 0 0
1
()
= +
0 4
0
1
()
= +
0 4
0
⃗⃗ ()
∫ = − ()
0 0 0
: (, , )
( )
: , ,
0 0 0 0 ⃗⃗
(, ( )
, ) = , , − ∫
0 0 0 0 0 0
0
=
[] =
⃗
⃗⃗ ⋅ = −
⃗⃗⃗⃗⃗
0 0
(, , )
( + , + , + ) ⃗
0
( (,
+ , + , + ) − , ) =
0 0 0
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
= − ⋅
0 0 26
1. Elettrostatica nel vuoto ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
( (,
+ , + , + ) − , ) = − ⋅
0 0 0
0 0 0
( (,
+ , + , + ) − , ) = + +
0 0
⃗ ̂
= ̂ + ̂ +
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⋅ = − − −
0 0 0 0
0 = −
0
0 = −
0
0 = −
0
{
⃗
⃗ −⃗⃗
∇ =
0 0
⃗
⃗=
∇ , ,
( )
⃗ ⃗ ||⃗|
−⃗⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗
= ⋅ = ∇ ⋅ = cos
|∇
0 0 0 27
1. Elettrostatica nel vuoto
(, , )
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