Riassunto esame Econometria, Prof. Billio Monica, libro consigliato Introduzione all'econometria, Stock, J. and Watson, M.

Econometria: serie storiche interpretate con processo probabilistico

Econometria serie storiche interpretate vanno con processo probabilistico un modello → stocastico. Successione infinita di variabili casuali, caratterizzata da un asse reale.

Definizione 1 processo stocastico

Definizione 1 Processo Stocastico) = e da una distribuzione di probabilità (densità di probabilità) Tt T TT t t X to determinazioni misure osservazioni Spazio Campionario X t X tT TX tTX tt realizzazione del processo stocastico Tt.

Figura 1 X . Facendo un taglio t riesco a visualizzare una sola variabile casuale tra le infinite e riesco a visualizzare in un certo momento le realizzazioni della variabile casuali. In ogni t è possibile immaginare una distribuzione normale che va da -a + infinito.

Come si rappresenta un processo stocastico? Immagineremo sempre che una estrazione sia indipendente da un’altra estrazione. Se le estrazione provengono tutte dalla x.

Figura 1: Segmenti di 10 realizzazioni del processo stocastico t* !' O estrazioni +0 di da a vanno M che - Figura 2 X X X X X X , Figura 2.

Il qui sono rappresentate le intercette che le variabili casuali incontrano il taglio in vari t… Le distribuzioni in ogni taglio potrebbero essere diverse!!! x x x x x x.

Figura 2: Determinazioni di 6 variabili casuali matrimaicale ogni punto è stocasticamente indipendente dagli altri perché immagino che ogni v.c sia stocasticamente indipendente ma in orizzontale ogni punto è dipendente dagli altri perché stiamo ragionando a livello temporale.

Variabili casuali e distribuzioni

°X YX YF x F y identicamente distribuite 'densità X Y congiunta F x F y quasi certamente X Y X YX Y se a x b esame ! f x b a estremi X ← densità altrove [ )/- : :": : "": "' stessa insieme densità nuovoai ✗ a ☐ se a y b Prob di include estrarre f y b a → un estremo è zero estremi Y altrove a b X Y XYab ab.

Densità congiunta variabili tutte tra le + densità marginali variabile ogni di? variata uni ✗ descrivere come → variata Di? ✗ 4e →? trivariata Ye 2-e ✗ → ? Sono indipendenti legate tra loro loro o tra (variabili Se casuali ho a) molte da 1 : a infinite) Cowezizione (multivariata di V. C.

Processo stocastico es: distribuzione uniforme continua 1 densità =-. b- a ✗ ba densità cui ha b includo in ✗ ' ea .. densità cui y ha b in ' e escludo a o_0 probabilistico Pdv perché dal ZCY sono '=be probabilità la si estragga 0 'a zero che mentre matematico diverse sono PDV dal yZ e .. .

Devo processo saper stocastico distinguere le del C.v.lfeEt Zls oppure ? Ye¥e: = X Y X Y → YY a Y b X Y sono uguali in distribuzione a meno di un insieme finito a misura nulla di probabilità, d T.

Teorema fondamentale dei processi stocastici

Teorema Fondamentale dei processi stocastici F x x x X x X x X xX X X n n nn n (1) Simmetria F x x x F x x xX X X i i i X X X ni i i n nn ni i in Compatibilità F x x x F x x xX X X X X m X X X mm m n mm nX Xm n X xi it tX XF x x xX X X X X mm m n F x x x x xX X X X X m m nm m nx x xm m n X X X m.

Devo immaginare che la mia serie storica sia generata da un processo (un solo colore delle curve del grafico sopra) e che sia solamente un segmento di una realizzazione.

Devo immaginare che dietro di essa vi sia un modello probabilistico che la ha originata e devo capire di che modello si tratta.

Definizione 2 serie storica

Definizione 2 Serie storica) 4 teoremi ergodici. Sul modello che interpreta il processo stocastico, posso calcolare la media del processo o della V.c., la varianza del processo o della V.c. (Momenti del processo stocastico sono descrizioni parametriche del comportamento del processo stocastico).

Definizione 3 momento di ordine r-esimo

E momento di ordine r-esimo ' delle te Una Definizione 3 momento di ordine r-esimo) dell’atteso valore barre verticali ✓ stocastico 7 alla Processor grafico, me interi E X numeri tutti ✓ = rt t CI1 NOI??0 da a ← tempo te 2 fermiamo a TX N t.

Esempio 1 t t t moltiplico la media teorica non è uguale alla, - punti tutti i r media campionaria sugli x numeri - x f x dx ascissa in =| _ rt t t t estratti: quando parliamo dei momenti parliamo con la - probabilità ~ solamente di caratteristiche del processo che _1- frequenze cinesi generano le serie storiche e non al valore realizzi relative teorico che ha originato la serie???

rpyFX X X mF x x x k mk mX X Xx mk xt tf xt ttr t ttf x rt r trrt varianza.

Definizione 4 varianza di un processo stocastico

Definizione 4 varianza di un processo stocastico) Sarà sempre positiva o al più nulla… E Xt t tt t t t funzione di autocovarianza funzione di autocorrelazione.

Definizione 5 funzione di autocovarianza

È la covarianza tra elementi dello stesso Definizione 5 funzione di autocovarianza) processo ovvero tra x1 e x2 nello stesso t ( ) Cov X X E X EX X EX EX X EX EX ktk t t k t t t k t k t t k t t k se Xtflttk ( XtE e) E✗ ( ) )ECXEte→ • =[ + -1k.TX tt.

La correlazione è la covarianza standardizzata.

Definizione 6 funzione di autocorrelazione

Definizione 6 funzione di autocorrelazione) Ha un campo di variazione da -1 a 1. Serve per confrontare la correlazione di due V.c. Correlate formula tra loro generale µ tk' modificata poi sarà ( tk).

Stazionarietà hpdila✗ COVCXC tt t kt ke)✗ (COV Xttk )Xttk, ← ,→( ✗ )var un mmm Varcxttk)t= t t ktt t kt k tktt asimmetria temporale della funzione autocorrelazione di covarianza auto etk t k tk t k7 relazione in mette Xte✗ con K-passato (nel).

Definizione 7 stazionarietà in senso forte o stretto

Definizione 7: (Stazionarietà in senso forte o stretto) TX tt stocastico scrittura 'processo ripartizione completa del e 1 Funzione di Non varia rispetto alla transazione F x x x F x x x k nel tempo: tutti i momenti sono t kt k t k n t t t nn n indipendenti dal tempo Fn comédie )-1Tt k tkk perdita memoria della del temporale punto.

I primi due momenti sono imcuisononnamoula " " finestra temporale presa considerazione in costanti rispetto al tempo: la TUMII " Utazionarietà in Cov X X k momenti funzione di covarianza per det t k k senso stretto la traslazione perdono ' variabilità rispetto al tempo . . .

Definizione 8 stazionarietà in senso debole o in covarianza

Definizione 8: (Stazionarietà in senso debole o in covarianza) proprietà TX t che definiscono t'eaitazionarieta TE X t stazionarietà sempre costante t ⅏ TE X t tempo debole dal nanaipede t ⅋ TE X X t k considerata dalla solo dipende finestra "" temporale t t k k.

Rispetto alla stazionarietà in senso stretto, sono coinvolti solamente i momenti 1 e 2, mentre tutti gli altri momenti potrebbero variare rispetto al tempo asimmetria text✗ -1k visto tra avevamo prima ☐ [ simmetria, la funzione è pari Xt Xttkk k Xt Xt K- - - s t k E X E X X E Xk t t t k t k EE X E X X E XI • k s k s k s s k ⅋ → ? ? ? k¥0.

Covarianza disuguaglianza di Cauchy-Schwartz per Nik Ttk -1Ke=una maggiore mai di ,.eu?=I!+em! ! varianza (È t-t.tk Allora n n ttk ( )t Kttk? ? ? non - = funzione positiva semi-definita a.e.ae? • a. ,i j i j spiegata var modulo sempre modulo cov i j D +nY Xt j t jj nY Var Y Var Xt t j t jjn n n n nVar X Cov X X i jj t j i j t i t j i jj i j i jk kkn n i j i ji j f x f xf x f x.

Proposizione 1 disuguaglianza di Cauchy-Schwartz

Proposizione 1 Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz) EXY EX EY Dimostrazione. E X Y E X E XY E YE X Y E XY E X E YE XY E X E YE XY E X E YX EX X EXt t t k t kE X EX X EX E X EX E X EXt t t k t k t t t k t kkk k.

Lezione del 3 novembre 2021

Nov3. 2021 y variabile dipendente, x x x variabili esplicative k osservabili )sono (y f x x x u ✗ dati' Yl completamente spiegata ye k dan )osservabile dati Xrnnaanohl ' rumore (muone, fu x x xku→ variabile non osservabile.

Figura 1 – Grafico delle tre serie (cons_f, inv. Pil) sulla stessa scala comandi su views: View GRAPH → tempo dal '96 al 2020 Figura 2 – Grafico delle tre serie (cons_f, inv. Pil) su grafici separati SINGLE GRAPH → Fig. 3 - Grafico delle tre serie (cons_f, inv. Pil) con diversa scala GRAPH MULTIPLE → views e fa bidimensionali grafici solo e Figura 4 - Grafico a dispersione Cons_f /PIL SCATER → ordinamento.

Non c'è ! temporale vista della di Dal punto tipo questo di regressione grafico importante molto 'e Figura 4.

Figura 5 - Scatter plot Cons_f / INV variano come i consumi al variare degli investimenti ?? A parità di reddito (cioè di PIL) cosa succede ai consumi se aumentano gli investimenti? \ ↳ residuo investimenti degli (depurato) Pil dal residuo del consumo ( ) depurato dal Pil.

Figura 6 - Scatter plot CONS_PIL / INV_PIL linea la di regressione 'e negativa ovvero, a parità reddito di consumo e investimento prelati sono negativamente Figura 8.

Figura 7 - Superficie in 3D di CONS, PIL e INV.

Figura 8 - Grafico a dispersione in 3D di CONS, PIL e INV e relative proiezioni in 2D consumo rispetto consumo Pil rispetto al [ agli investimenti ✓ - sospesi punti (di tra incontro) tremorii - investimenti rispetto al Pil Figura 4 Figura 5 Figura 9.

Figura 9 - Grafico a dispersione in 3D con proiezione sul piano (CONS, INV) rappresentazione di investimento consumo e Pil "parità di" A . ... 1 ' la regressione ma e questo effettuata ... algebrica in forma Figura 8 piano di regressione CONS PIL INV.

Figura 10: Istogramma della variabile CONS eq01_cons_pil Tabella 1: Regressione di cons su pil regressione bivariata coefficiente pangolare * significato: Pil il 1 di 9 * di 0,48 il * consumo e' il residuo resto Figura 11 fitted fitting “variabilità strutturata” eq02_cons_t_pil_ar1 Tabella 2.

Figura 11: Confronto tra curva effettiva (actual) e curva interpolante (fitted) l' soddisfacente questa interpolazione ? \ retta crescente è C' un errore = interpolante =.

Tabella 2: Regressione di cons su pil e componente autoregressiva nei residui componente rauto regressiva Figura 12: Confronto tra curva effettiva (actual) e curva interpolante (fitted) (modello Tabella 2) la retta interpolante → si sovrappone perfettamente curva ama effettiva il disturbo → oscilla attorno amo zero.

Tabella 3 Figura 13 Tabella 3: Regressione di cons su pil e inv modello variato multi no . investimenti sugli * significato: 9 di reddito 1 * 0,74 µ di consumo disturbo 'il resto e di 'piu' 0,74 e 0,48 di credibile col ottenuto ! variato bimodello Figura 13: Confronto tra curva effettiva (actual) e curva interpolante (fitted) (modello Tabella 3) la curva ☐ residuo del un non ha trend "tutta la variabilità 'e spiegata stata Figura 11 Tabella 1 Figura 6 generatore processo dei Data Generating dati da moolllro + teorico Process – DGP.

Lezione 2 e modello teorico

Lezione 2 (più avanti si esamineranno altri modi di scrivere il modello) coefficiente angolare modem ^ è un modeuw cons pil u t Q Q> teorico statico t t ta 9 costante (disturbo componente osservabile) non NB Qui quantità ' fisse stoche lavorando:= conmonsirnuavono bivariato modello cons pi l u t Q Qt t t cons pil ut t t mnanosserrabn.li cons pilt t ][ sono dati hai cui quelle per u tu t 2 diretta cons pil t Q Q componenti regressione t t9 strutturale modello del 9 che passa trai serie Ivan punti stocastica ferie numerica non = ☐ assegnata.am armarono.ee{ stocastica ossia probabilistica " epparametri insiste ✗ su se esatta fosse non stima sarebbe necessaria alcuna .. . .

Modello probabilistico genera i dati delle variabili "00 Il processo generatore dei dati è dato dalla legge di probabilità che descrive il loro realizzarsi.

Disturbo ✓ u è inclusa laureato non mat esogena variabile pilt HP Cov pil u covarianza u merat tt stocastica a indipendenza trauma q esplicativa era variabile componente latente const IID nullo e valore atteso =u µt incognite costante varianza HP u t LY- ✗ errori ) ELXY :D" tnailsuoll ↳ ogni anno tvutila stessa distribuz ) EH ) ELY-t st s u t [ distribuzione errori normale degli u → s Manmahoohltt numerosità ogni distribuzione converge ad una ]normare.

KTEMPO fissato nel ' normale una → u N u Nt u s u9 R più ' u a varianza e grande -10 mi errori sono curva grandi gaussiana con media teorica zero u matrice covarianza varianza notazione Eu riferimento matriciale mea ☐ - bivariata normale varianza di ne è urguoueaua: varianza MS introduco un ims- stessa l' cambia errore non errore = innn = imprecisione u periodo stt t u Che int N t sdi u → s.in u errore lei-relazionato inomocent' vettore di medie errore ins u N u Nt u s ut s Cov u u matrice zeri covarianza varianza gli nella → t s ! estrazioni immagina indipendenti da un’urna Bernoulli ( ) ama 2×1 vettore di nneale inventore u ✗ t N Scritto 1.5mA= u scalare u in maniera s) diversa (comodo [+ moltiplicata che D) I ozfa ✗ : I → [= Io:]01 multivariata normale vettore ✓ 96 data u 62 identica matrice ✗ → =? N [ ? omoschedastici " disturbi:.gr • u 0202 stessa vari la: hanno u =o . . c non autocorrelati. • fuori hatlutizeri !== IID stessa hanno la • stessa media la nave e, , presi 292 sono Ldata la normalità u tuu esiste hb non latornnueeat → : cumulata analitica della disturbi devo generare µ{ innamora indipendente OOMMANNNDDAA ☒ eravate/esistono para testo l' uno dall' altro * semplificazione OORRAALUEEEI pdcvuatormula u u immorale u trasposto riga vettore vettore diventa colonna u =tt l' normale una → sono medie le tutte → zero nttm testocam.com → ente indipendenti cons ?? gli errori → dint .. . N n gravare ✓ è :L""" ' di densità una vettore giga; riga * op → quausialsi multivariata normale n Tifare^ media q 96×96 quadrata matrice → varianza covarianza e' scalone El uno determinante → pilesoqcnal' poiché """"""" )( / Pile cause cons pilt tu pilt t mmm const serialholareddito generare devo, Grierson)/