Riassunto esame Econometria, prof. Fiorentini, libro consigliato Introduzione all'Econometria, Stock Watson

Capitolo 1 Dati economici

Varianza: valore atteso del quadrato della deviazione di Y.

Dati sperimentali: osservazione comportamento reale; dalla sua media. Per una variabile casuale di Bernoulli: ( ) ( ).

Esperimento controllato casualizzato (gruppo di controllo, gruppo di trattamento) ∑ ([( ) ] ) [stimatore dell’effetto causale del trattamento/effetto atteso trattamento= E(gr.tratt.)-E(gr.control.)]

Deviazione standard: radice quadrata della varianza.

Dati non sperimentali: osservazione indagini campionarie. Se: ,

Si dividono in: dati sezionali, serie temporali, dati panel.

Tipi di dati

• Dati sezionali: entità diverse osservate (numero di osservazione) per un solo periodo; analisi delle differenze;
• Serie temporali: singola entità raccolti in momenti diversi; analisi dell’evoluzione delle variabili nel tempo e predizione;
• Dati panel (o longitudinali): più entità n in più periodi T; analisi di un fenomeno nelle diverse entità ed evoluzione temporale;

Altre misure della forma di una distribuzione

La media, la varianza, l’asimmetria e la curtosi sono momenti di una distribuzione.

Asimmetria: [( ) ]

Se uguale a zero c’è simmetria.

Curtosi: misura di quanto della varianza di Y deriva dai valori estremi outliers, da cui dipendono le code, (probabilità di outliers). [( ) ]

Le code rappresentano probabili allontanamenti significativi di Y dalla sua media. La curtosi di una variabile casuale che si distribuisce normalmente è 3, se maggiore di 3 è detta leptocurtica.

Momento r-esimo è il valore atteso di .

Capitolo 2 Richiami di probabilità

Risultati: esiti potenziali di un processo casuale.

L’insieme dei risultati compone uno spazio campionario;

Sottoinsieme di uno spazio campionario, insieme di risultati, è l’evento.

Probabilità di un risultato: proporzione di volte con cui si verifica il risultato.

Variabile casuale: indicatore numerico sintetico di un risultato casuale.

Variabile casuale discreta

Distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta è l’elenco di tutti i possibili valori della variabile e delle probabilità con cui ciascuno di essi si verifica.

Distribuzione di probabilità cumulata di una variabile casuale discreta è la probabilità che una variabile casuale sia minore o uguale ad un particolare valore, indicata come funzione di ripartizione o CDF (cumulative distribution function).

Distribuzione di Bernoulli: distribuzione di probabilità cumulata di una variabile casuale binaria, quindi i cui risultati possibili sono 0(1-p) e 1(p). (Da cui variabile casuale e distribuzione Bernoulli).

Variabile casuale continua

Funzione di densità di probabilità: rappresentazione di una distribuzione di probabilità cumulata di una variabile casuale continua, la cui area sottostante tra due punti rappresenta la probabilità che la variabile casuale cada tra quei due punti. Anche chiamata PDF (probability density function).

Analisi della variabile casuale

Valore atteso: valore medio della variabile casuale, indicato con E(Y). Indicato anche come “aspettativa” o “media” di Y, . Il risultato è moltiplicato per la probabilità condizionata corrispondente.

Per una variabile casuale discreta: è media ponderata dei possibili risultati, con pesi pari alle rispettive probabilità; ( ) ∑

Per una variabile casuale Bernoulli: il valore atteso è la probabilità che questa assuma valore 1, ; ( ) ( | ) ∑ ( )

Detto anche: l’aspettativa di y è l’aspettativa dell’aspettativa condizionata di y data x: ( )|

Varianza condizionata: varianza della distribuzione condizionata di Y data X. Var(Y|X=x)= ∑ ( | ) ( | )

Indipendenza: X e Y sono indipendenti se la distribuzione condizionata di Y data X è uguale alla distribuzione marginale di Y. Se per tutti i valori di x e y: ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( )

La distribuzione congiunta è uguale al prodotto delle distribuzioni marginali.

Variabili casuali doppie

Distribuzione di probabilità congiunta di due variabili discrete: identifica la probabilità che le variabili X e Y assumano simultaneamente certi valori. Espressa come Pr(X=x,Y=y), probabilità congiunta.

Distribuzione di probabilità marginale: distribuzione di probabilità di una sola delle variabili casuali. Calcolabile come la somma di tutti i suoi possibili risultati.

Distribuzione condizionata di Y data X: distribuzione di una variabile casuale Y condizionatamente al fatto che un'altra variabile casuale X assuma un valore specifico, si indica con Pr(Y=y|X=x), probabilità condizionata.

Esempio

La probabilità condizionata di Y data X per Pr(Y=0/X=0) è uguale a 0,18/0,41, ovvero 43,9%. [distribuzione condizionata di y data x] [probabilità condizionata=probabilità congiunta/probabilità marginale] ( ) Pr(Y=y|X=x)= ( )

Aspettativa condizionata di Y data X: è la media della distribuzione condizionata di Y data X, con Y che assume k valori e X=x.

E(Y|X=x)=∑ Pr(Y= |X=x)

Legge delle aspettative iterate: la media di Y è la media ponderata delle aspettative condizionate di Y data X, con pesi dati dalla distribuzione di probabilità di X. Con x che può assumere l valori:

Somme di variabili casuali

X, Y e V sono variabili casuali. ( ) ( ) ( )

( )( ) ̅)( ∑ ( )( )| ( )| | | √ ; (disuguaglianza della correlazione) (̅)( ( ∑ )

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ̅( ) ( ) ( )

Distribuzioni

( ):

Distribuzione normale ha una forma campanulare, è simmetrica attorno alla sua media e concentra il 95% della sua probabilità tra µ-1,96σ e µ+1,96σ. La normale standard ha µ=0 e σ=1 N(0,1), con distribuzione indicata da Z, quindi Pr(Z≤c)=φ(c), φ è la funzione di ripartizione normale standard. La standardizzazione avviene sottraendo prima la media e dividendo poi il risultato per la deviazione standard: ( )

Calcolo della probabilità con variabili casuali normali: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Distribuzione normale multivariata: descrive la distribuzione congiunta di un gruppo di variabili casuali. Se due variabili X e Y sono bivariate, con covarianza e se a e b sono due costanti, allora aX+bY ha una distribuzione normale. ( )

Distribuzione normale chi-quadrato: è la distribuzione della somma dei quadrati di m variabili casuali indipendenti, ognuna con una distribuzione normale standard, con m gradi di libertà.

Distribuzione t di Student: è la distribuzione del rapporto di due variabili casuali indipendenti, la prima delle quali è una normale standard e l’altra è la radice quadrata di una variabile casuale chi-quadrato(W) con m gradi di libertà divisa per m.

La variabile casuale ha una distribuzione t Student. Per distribuzioni con m uguale o maggiore a 30, si approssima ad una normale standard. Se minore essa ha code più pesanti.

Distribuzione F: è la distribuzione del rapporto di una variabile casuale chi-quadrato(W) con m gradi di libertà, divisa per m, con una variabile casuale chi-quadrato(V) indipendentemente distribuita con n gradi di libertà, divisa per n.

La variabile casuale ha una distribuzione .

Capitolo 3 Richiami di statistica

Dal campionamento casuale ottengo la distribuzione di probabilità di alcuni valori i.i.d., da questi valori posso ricavarmi le variabili casuali che sintetizzano la distribuzione campionaria e stimano la distribuzione della popolazione. Esempio:

( )( ) ̅)( ∑ ( )( )| ( )| | | √ ; (disuguaglianza della correlazione) (̅)( ( ∑ )

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ̅( ) ( ) ( )

Legge dei grandi numeri

Con n grande, con probabilità molto alta lo stimatore convergerà in probabilità al valore reale, consistenza. ̅ ( )

Teorema del limite centrale

Quando n è grande, lo stimatore tenderà a distribuirsi secondo una normale asintoticamente. Anche tramite standardizzazione, con n 100.

Stima della media di una popolazione

Uno stimatore è una funzione di un campione di dati estratti casualmente da una popolazione. La stima è il valore numerico dello stimatore, quando questo viene calcolato usando i dati di uno specifico campione. Uno stimatore è una variabile casuale, mentre la stima è un numero. Le tre caratteristiche desiderabili per un campione sono:

• Non distorsione (correttezza): ;
• Consistenza: , per la legge dei grandi numeri;
• Varianza ed efficienza: tra due stimatori si sceglie quello con varianza minore, perché più efficiente.

( ̂ ) ( ̃ )

̅ è lo stimatore della media meno distorto, consistente e più efficiente. Si dice che è il miglior stimatore non distorto o BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). Inoltre, la media campionaria minimizza la differenza quadratica media tra le osservazioni e ̅ (stimatore dei minimi quadrati). ̅