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Adrichiami lineare: algebra

Prodotto scalare in Rn

Il prodotto scalare è definito per vettori x e y in uno spazio vettoriale Rn. Per due vettori x = (x1, x2, ..., xn) e y = (y1, y2, ..., yn), il prodotto scalare è:

x ⋅ y = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn

Proprietà del prodotto scalare:

  • Commutativa: x ⋅ y = y ⋅ x
  • Associativa rispetto al prodotto per scalare: (ax) ⋅ y = a(x ⋅ y)
  • Distributiva: x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z
  • Positività: x ⋅ x ≥ 0; x ⋅ x = 0 se e solo se x = 0

Norma di un vettore

La norma di un vettore x in Rn è data da:

||x|| = √(x ⋅ x)

Proprietà della norma:

  • ||x|| ≥ 0 per ogni x ∈ Rn
  • ||x|| = 0 se e solo se x = 0
  • ||ax|| = |a| ||x|| per ogni scalare a

Disuguaglianze

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

|x ⋅ y| ≤ ||x|| ||y||

Matrici

Una matrice è un array bidimensionale di numeri. Una matrice A in Rm×n ha m righe e n colonne.

La matrice trasposta AT è ottenuta scambiando righe e colonne di A.

Esempio di matrice A e trasposta AT:

A =

a11a12
a21a22

AT =

a11a21
a12a22

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher ale_morara di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Bologna o del prof Arcozzi Nicola.
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