Riassunto esame Analisi matematica 2, Prof. Arcozzi Nicola, libro consigliato Elementi di analisi matematica due, Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone

Curve: definizioni e traccia

CurverMUnaDEF. Curva funzione in un intervallo I SR "definito da *I GIR continua. t.c. I(ri) punto generico t54 x-reFit vit!R 2I 1 3 = e tRIRM·tel. CRMUIt) traccion L'insieme la è della 8curva la ITRAIETTORIA) è curva ↓ Una funzione ila una di traccia curva é insieme umLa uma circonferenza traccia cula, Mon una una é ES. rette 1) piano nel y↓- M., ad) b)= (c(a,b) a,d·(c,0) - = --b- P(a,b)· = (a,b) Wit) b) a,dt(c= + -->↓a XY 1tQ >1Sta =M · Es tt 1=x0=P· t 0S= > IR25:IR0t c= X U(t) t(c,0)t)(a,b)(1= + =--(E12a)=tQt)P=(1 +- velocità(a,b),(a,b)Se(c,0) 5(t) 0b== = =Quindi: {1a,b1}WIR)P una punto se é· == la E(,d(a,b)(IR)PFQ WSe passante retta per è· 5UltelWe t1fte Itel

Curve semplici e iniettività

Iniettiva: D +=DEF Oc IRMWIR? La inettiva Is semplice curve è Se è UltelF Wite)ts, t.c.te che che B][2, (P),U(A)nel Vtouce I e caso ==auwetioulo.

Problema: traccia e insieme

Problema IR (1). la Consideriamo evento inzette 2x 1yeq: +=( traccia.t semplice Trovere avente come unva una IcR2 un insieme. é um2xy 1 eq.. é += j <1R l WIR) cerchione IR *t.c. sim· (0,11)ha (es.leg.y soluzioni 2x+1= 1R2x,y) t.c.yG 2x 1= + lel soluzioni di l'insieme tutte è &Ax,y) soluzione y(x,y) di 1c c 2x> è +==*Prendo (1,3)(0,1), e punti 2 es. su e procede come supra 1 &(1,3)]5(t) [10,1)(1,3) t =+ -= 2t)-2t) (3=(e -t,3 =- -It)=2(1 1 =+-=(1,3) S2)1 1,++ --dall'eq.· parto 12xy += Le funzione interprete la scrittura 2x4(x) 1,y per come +==Y IRIR R}((X,y(x1): éY, grafico il di x= =1 4xy 1= 4⑤!~ R1=8 Paugo y(x)Uximum, 1x,=CIRI 5 IR2I >(se continua luna ammette come curve è funzione 7.tracie grafico della il Esercizio CCIR"Scrivere abbiache la traccia zette come curve une 1,21P=(1,0,01 10.Q passante e per = -V, M l=IR,Se IIR traccia= semplice una evento wave come è 1.5che parametrizza diciamo

Grafici di funzioni

Grafici funzioni: di IR,C, IR), y(1);4 IR,(I U:1x,Se W()I IC allora= pezoeue:= +2izz3{(x,y(x): Grafico(H) ==x=ES. IRY,Parametrizza x2 IR grafico il 9(x)y = =2y x= 5(x) (x,x2)=W,721 IR(X, IRC↓

Circonferenza e parametrizzazioni

Circonferenza ES. +ydieq. x 1= sim(t))Ust1 (COS(t,Wi 2K ==+ 1 =(x(t),y(t))1 1- I5 512π)(0) == W, 1R21 IR=51-25)- = semplice é non =VIK2T), IkeW, IRi][-T, semplice Invece è1 I Parametrizzazioni altre Sim(vtl)(COS(VE),5(t) fissato vso= 1,]- >IRr:πi vt ==- I It= =-

Notazione e classe C

Notazione 8, f c(1,1R) di a1,I classe CIRI è= se f' è I derivabile è continua. e WIRM fulIVs,U J2Se I , .. ,.c/RM) C(I,(R)1IWe Us, W2...., Une<=)(DEF. 1I, RM) c,Se 5 velocità tinte la è é:IC di= cava una RRYIRWithf(t) HiedULt) - e= oot IRim e(ultth-Un(t)) lI Wel+R-Walt, da line intendere come: ...,2 0- PUlt +h)WithHy it h)D · +itlIRM 1]((t0 u(2) += -+ES. QYcIRMt1Q-p);PU(t) IRretta: += PoIRM:PFp, a Qallona UtI PQ= - Prt(aPr + - PsQpit -=DUst)ritl Pi Q= == --Pultam Qu-Pusim(t)) UIt=1-sim(t), cos(t)5(t)=/cos(t), circonferenza: D=

Integrali curvilinei e formula di Taylor

Integrali curvilinei Formula Taylor ordine al I curve di per W r ch/1, RM).RM,IR? ISidue =intervallo the Allora, Iset, tWithWit+h) E(h)UCE) ++= IRIR11 1 h,cIRM o-piccolo dove di un E: RR è Lim hER11E(h)11 cioè 0,=h 0- IRY

Esempi di curve in IR

Esempi di curve in IRU,e) RI,)Uct) (cost, simt,= "(x,y,z)x(t) cos(t)=Sim(t)y(t) =tz(t) = as>j-2-!!#)-- - zO(t) el1 sin(t), cos(t),= -

Vettori, angoli e sistemi ortogonali

Ortogonali basi vettori e IR: vettori angolo tra due in se (ul). 11w1-cOS(t)=u,v) 4.2 == t Prodotto salare Pr0U.Ti ortoconal Ue 01=DSome =IRM.DEF. Siamo iU,I sono ortognolali IULI Allora wc<u, 0.=RM famiglia Und vettori è us, di imda..... Un·

Sistema ortogonale e ortonormale

Sistema ortogonale Umba) 0)uj(xi j 1...k ui,ujxeui1 = = = = =+b) Ue tO, UKtO.to,Ue ...,(Us,..., Un}famiglia La ortonormale é è se· ortogonale più: ine(uell 14ell llUKII.1 ==...== IR* La base che Teorema: anche une un è octonormale. sistema DIM.la base E comunica:(3).em(), (8)ex es= = = IRM

Proprietà dei sistemi ortogonali

Proprietà: Non ortogonali sistemi esistono indi aventi più vettori. e DIM. fatto Segue che ortogonali dal un un sono se ...allora letol, linearemente indipendenti sono-Dk =M IR:che XmXs,...,Supportiamo 6c4e+...2141 2x4k 0++ =k)Allora (per i ==1 (rust 6kux)ui.0 ...0 ui =+-= ==2r(Ui4r) 2i(aiui) 2x(uiUx)... ...+ ++ +Will, DIYIl cioe: 2. UIFO toMar0 = = xxd1 xei cioé quindi 0,0,= =... = ==Un(un, lineamente indipendenti. cioe: sono..., MW, 1Ex,RM,B] We RM).[2,DEF. Six J,La é:diU

Lunghezza di una curva

Lunghezza palline vuol↳ il derivata. di ze(PlUctIIILunghezza (W)= ot* W(B)·! U(t)Ult+2) -U(2)· M11UCt2+Echill1lWLt+h) SchUst)11 11com >=- I h Taylor ordine 0I per 118(t)h11 Ust11. 12111 approssimare posso con =IRM IRh dt Immagina Utd0 =="Somme" *dt tutti i ottengo esu

Esempi di lunghezza

Per es.:(Cost, simItIl;U(t) t 2==0= *111lunghezza (Simlt);[(t)(t) cos(t)UstIl at === 110(t)11 11.=I =2dt =Per 2:es. WcIRYt2);(t,W(t)2 [0,13=y1 == B*iLe [(t) (1, 2t)= 113 UCHIldt=lunghezza(t)0 ==So otHut2

Funzioni iperboliche

Calcola iperbolici: coseno usando seinSi e ix ix+-ecosh() -+e ·COSA ee= =. 22 eix_exx-simh() -e e Sin ==· .2 2 iCOS2(x)=simh(A ·cos Simx=. -Simh(x) cosh (x) costSimx =·· =coshx-sinhx Sinxcosx 11 +· =.=E

Non materia d'esame

Non materia d'esame ES.31 Sinh(x)42 dy y= =+ cosh()sinLAy2 11 + + == =-cosh(x)cosh(dsimh()dy dx= ==SCOSRIXI. COShx dx =cosh (x dx=> W, * chSia IRDEF. &I curva one

Elemento d'arco

Elemento d'arco sud0(t) 11I(t)Il dt= (dot(da lunghezza [2,3 cioe, I(H) == =Us RM, WECb][a,Siaus