Riassunto esame Algebra lineare, Prof. Franciosi Marco, libro consigliato Esercizi di algebra lineare, Marco Franciosi

Numeri complessi

Unità immaginaria

i = √-1

i² = -1

Potenze di i

i³ = -i

i⁴ = 1

i⁵ = i

i⁶ = -1

i⁷ = -i

i⁸ = 1

Forma algebrica di un numero complesso

z = x + iy con x ∈ ℝ, y ∈ ℝ

Re(z) = x parte reale

Im(z) = y parte immaginaria

ℝ = numeri reali

C = numeri complessi ⋃ ℝ

Operazioni con i numeri complessi

• Z₁ = x₁ + iy₁
• Z₂ = x₂ + iy₂
• Z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

Esempio: (3 + 2i) + (4 + 5i) = 7 + 7i

• Z₁ = x₁ + iy₁
• Z₂ = x₂ + iy₂
• Z₁ * z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + i(x₂y + x₁y₂)

Esempio: (3 + 2i) * (4 + i) = (3 * 4 - 2 * 1) + i(3 * 1 + 2 * 4) = 10 + 11i

Teorema

z * ^-1 = 0 - ¬ i

Uno = 1 + 0i

Rappresentazione dei numeri complessi piano di Gauss

Per quanto riguarda i numeri complessi, è possibile individuare una corrispondenza biunivoca fra elementi dell'insieme C e i punti del piano, detto piano complesso o piano di Gauss.

ℝ / x₁ = retta con coordinate x

C {x+iy: x,y=ℂ^x-iy} = piano con coordinate (x; y): [Re(z); Im(z)]

Numeri complessi

Unità immaginaria

i = √-1 = -1

Potenze di i

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

i⁵ = i

i⁶ = -1

i⁷ = -i

i⁸ = 1

Metodo gerarchico:

• - i¹ - i⁵ - i⁹
• I¹ = i⁵ = i⁹
• I² = i⁶ = i¹⁰
• I² = 1
• -i³ - i⁷ - i¹¹

Forma algebrica di un numero complesso

z = x + iy con x ∈ ℝ y ∈ ℝ

Re(z) = x parte reale

Im(z) = y parte immaginaria

Numeri complessi

Numeri reali (cioè numeri complessi con parte immaginaria = 0)

Insieme dei numeri reali è un sottoinsieme dei numeri complessi

Operazioni dei numeri complessi

z₁ = x₁ + y₁i

z₂ = x₂ + y₂i

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i

(1 + 2)+i+(3 - 4)i = (3 - 2) + (1 + 5) = -1 + i

z₁ = x₁ + y₁i

z₂ = x₂ + y₂i

z₁ * z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + (x₂y₁ + x₂y₂)i

(3-i) * (2+i) = 3(2+i)-(i)(2+i) = 6+3i - 2i - i²= 6+3i-2-1 = -5+5i

Teorema

(0,0)

(0,-i)

Rappresentazione dei numeri complessi nel piano di Gauss

Per quanto riguarda i numeri complessi, è possibile individuare una corrispondenza biunivoca tra elementi dell'insieme C e i punti del piano, detto “piano complesso” o piano di Gauss.

ℝ = {x} = retta con coordinate x ℂ = {x + iy} = piano con coordinate (x; y); [Re(z); Im(z)]

- Sull'asse reale rigettiamo la parte reale del numero complesso, mentre sull'asse immaginario proiettiamo la parte immaginaria del numero complesso Im(z) = y

x|ℝ|ha coordinate (0,0); molti modelli reali di solito si usano solo i moduli dei vettori

Asse orizzontale reale

Asse verticale immaginario

Opposto: z − x+iy → −z ₒₕₐ̅ −x+i(−y)

Coniugio: z → ₒₐ̅ → x − iy (x┼y)

Modulo: z → ∫ \[ \mathbf{l} = x^{2} + iy^{2} = |z| \] (lunghezza del vettore corrispondente)

Proprietà fondamentale: |z|² = |z|

Dim: \[\langlez 2 = x^{≈} + iy²\[ |z|^{2} \cdot |{2}| = |z|^{2} \cdot x^{2} \cdot y^{2}\]

x^{2}+y^{4} \cdot y = x^{2} + 4y^{2} + |z|^{2} + 4y^{2} \[ |(x^2) + 4y + 8) = \cdot \Bigl| |

Conclusione: posso scrivere il quoziente di z² = 1 nella seguente forma:

z² = \left(\frac{z}{2}\right.) =...

Ripensare z² : || \frac{|\frac{2}{3}|}{z\right)}{3 \cdot \overset{1/2}{2 5}}

Definizione:

\[ r^{1} = \cos(t) + i\sin(t) \]