Riassunto esame Algebra e geometria lineare, Prof. Foffani Luigi, libro consigliato Geometria, Luigi Grasselli

Studio delle coniche cap. 12

Ampliamento proiettivo dello spazio euclideo

Si dice ampliamento proiettivo (o completamento proiettivo) dello spazio euclideo e^u l'insieme c^∞ = e^u ∪ e^∞₀ dove e^∞₀, detto iperpiano improprio di e^u è l’insieme delle direzioni delle rette di c^∞ (ovvero, i sottospazi vettoriali di dimensione uno della giacitura e^u).

Gli elementi di e^u (ovvero, i punti dello spazio euclideo originario) si dicono punti propri dell’ampliamento proiettivo, mentre gli elementi di e^∞₀ si dicono punti impropri dell'ampliamento proiettivo.

Con abuso di linguaggio, quando risulterà chiaro che lo spazio euclideo e^u è stato completato con l’aggiunta del suo iperpiano improprio, si parlerà più semplicemente di punti propri e punti impropri di c^∞:

3x - 2y + 1 = 0

P_∞∞ = [y] = (l, u)

P_∞∞ = [y] = (2, 3)

P_∞∞ = [0, 2, 3]

a x + b y + c = 0

Coordinate omogenee

Dato un punto proprio P = R (y₁, y₂, ..., y_k) si dice (u+1)-pla di coordinate omogenee di P rispetto a R ogni (u+1)-pla (x_o, x₁, ..., x_u) tale che

x₂ / x_o = y₂

x₁ / x_o = y₁

...

Dato un punto improprio P_∞ individuato dalla direzione del vettore v ∈ e^u - {0}:

con V = ß (e₁ e₂, ..., e_u) si dice (u+1)-pla di coordinate omogenee di P_∞ rispetto a R ogni (u+1)-pla (x_o, x₁, ..., x_u) tale che

x_o = 0 ed esiste p ∈ R - {0}: per cui (x_o, ..., x_u) = p (e₁, ..., e_u)

Sia per i punti propri che per i punti impropri di e^u, scriveremo P = R [ x₀, x₁, ..., x_u ].

Studio delle coniche cap. 12

Ampliamento proiettivo e orizzonte

Si dice ampliamento proiettivo (o completamento proiettivo) dello spazio euclideo l'insieme dove ^-1_∞, detto l'orizzonte di, è l'insieme delle direzioni delle rette di (ovvero, i sottospazi vettoriali di dimensione uno della giacitura).

Gli elementi di (ovvero, i punti dello spazio euclideo originario) si dicono punti propri dell'ampliamento proiettivo, mentre gli elementi di ^-1_∞ si dicono punti impropri dell'ampliamento proiettivo.

Coordinate omogenee di punti propri e impropri

Dato un punto proprio P_n=(₁,₂,⋯,_n), si dice (+1)-plea di coordinate omogenee di P rispetto a ℝ ogni (+1)-plea (_o,₁,⋯,_n) tale che

_i/_o = _i per ogni i=1,...,n

Dato un punto improprio P_∞ individuato dalla direzione del vettore v ∈ ^-1/{} με v = (e₁,e₂,...,e_n) si dice (+1)-plea di coordinate omogenee di P_∞ rispetto a ℝ ogni (+1)-plea (_o,₁,⋯,_n) tale che

_o = 0 ed esiste p ∈ ℝ-{0} per cui (₁,...,_n) = p · (e₁,...,e_n)

Sia per i punti propri che per i punti impropri di ^-1_∞ scriveremo P = ℝ[x_o, x₁, ..., x_n] per indicare [..., x_n]) è una (+1)-plea di coordinate omogenee del punto P.

Se x₀ ≠ 0 ⇒ P è punto proprio di coordinate cartesiane

Se x₀ = 0 ⇒ P è punto improprio individuato dalla direzione del vettore

(x₀ = 0 ⇐ ⇒ P improprio)

Prop 2.7

Prop 2.7) Dato r (propria) di ξ² cartesiana

ax + by + cz = 0

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nel complemento proiettivo di ξ²

ax + by + cz + dx₀ = 0

Viceversa, dato

a₁x₁ + b₁y₁ + c₁